Anneaux principaux et critère d’Eisenstein : contrôle de maths en L3

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Ce qu’évalue le contrôle : anneaux principaux et critère d’Eisenstein

Le sujet du contrôle : anneaux principaux et critère d’Eisenstein

Exercice 1 – Deux quotients de Z[X] (3 points)

Dans tout l’exercice, les anneaux sont commutatifs et unitaires. Pour un nombre premier \(p\), on note \(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), puis on considère dans \(\mathbb{Z}[X]\) l’idéal \(J_p = (p, X^2 + 2)\) engendré par \(p\) et \(X^2 + 2\).

1. Montrer que l’idéal \((X)\) de \(\mathbb{Z}[X]\) est premier, mais qu’il n’est pas maximal. (0,75 point)
2. Construire un isomorphisme d’anneaux entre \(\mathbb{Z}[X]/J_p\) et \(\mathbb{F}_p[X]/(X^2 + \overline{2})\). (0,75 point)
3. Prouver que \(J_5\) est un idéal maximal, puis donner le cardinal du corps \(\mathbb{Z}[X]/J_5\). (0,75 point)
4. Établir en revanche que \(J_3\) n’est pas un idéal premier. (0,75 point)

Exercice 2 – Trois polynômes irréductibles (4 points)

On considère les trois polynômes de \(\mathbb{Z}[X]\) suivants :

\(P = X^5 – 6X^3 + 12X + 18\), \(\quad Q = X^4 – 4X^3 + 6X^2 – 4X + 3\), \(\quad R = X^3 + 4X^2 + 9X + 15\).

1. Énoncer le critère d’Eisenstein. Montrer alors que \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\), puis dans \(\mathbb{Z}[X]\). (1 point)
2. Calculer \(Q(X + 1)\). En déduire que \(Q\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\), en justifiant le passage par la translation. (1,25 point)
3. On s’intéresse enfin au polynôme \(R\).
   1. Expliquer pourquoi le critère d’Eisenstein ne s’applique directement à \(R\) pour aucun nombre premier. (0,25 point)
   2. Montrer que la réduction \(\overline{R}\) de \(R\) modulo 2 est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). (0,5 point)
   3. Conclure que \(R\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\), en citant le lemme de Gauss. (1 point)

Exercice 3 – Un idéal maximal qui n’est pas principal (4 points)

On note \(I = (3, X + 1)\) l’idéal de \(\mathbb{Z}[X]\) engendré par 3 et \(X + 1\). Soit aussi \(\varphi : \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{F}_3\) l’application qui, à un polynôme \(A\), associe la classe modulo 3 de l’entier \(A(-1)\).

1. Vérifier que \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux surjectif. Montrer ensuite que son noyau est exactement \(I\). (1,5 point)
2. En déduire que \(I\) est un idéal maximal de \(\mathbb{Z}[X]\). (0,5 point)
3. Démontrer que \(I\) n’est pas un idéal principal. (1,25 point)
4. Que peut-on en conclure sur l’anneau \(\mathbb{Z}[X]\) ? Situer alors cet anneau dans la chaîne « euclidien, principal, factoriel », en justifiant. (0,75 point)

Exercice 4 – Norme et division dans Z[i] (4 points)

On note \(\mathbb{Z}[i] = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\}\) l’anneau des entiers de Gauss, muni de la norme \(N(a + bi) = a^2 + b^2\). La figure représente le réseau \(\mathbb{Z}[i]\) dans le plan complexe, le quotient \(z = \frac{a}{b}\) calculé dans \(\mathbb{C}\) pour \(a = 7 + 5i\) et \(b = 2 + i\), ainsi que le point \(q\) du réseau le plus proche de \(z\).

1. Montrer que \(N(zw) = N(z)\,N(w)\) pour tous \(z, w\) de \(\mathbb{Z}[i]\). En déduire que les inversibles de \(\mathbb{Z}[i]\) sont \(1, -1, i, -i\). (0,75 point)
2. Soit \(a\) et \(b \neq 0\) dans \(\mathbb{Z}[i]\). En vous appuyant sur la figure, prouver qu’il existe \(q\) et \(r\) dans \(\mathbb{Z}[i]\) tels que \(a = bq + r\) et \(N(r) < N(b)\). Justifier ensuite que \(\mathbb{Z}[i]\) est principal. (1 point)
3. Effectuer la division euclidienne de \(7 + 5i\) par \(2 + i\), puis vérifier l’inégalité sur les normes. (0,5 point)
4. Décomposer \(11 + 7i\) en produit d’éléments irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\), en prouvant l’irréductibilité de chaque facteur. (1,25 point)
5. Montrer que 3 est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\). (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : les classes modulo 2 – i (5 points)

Ce problème réutilise les résultats de l’exercice 4. On note \(\pi = 2 – i\), puis \((\pi)\) l’idéal de \(\mathbb{Z}[i]\) qu’il engendre. La figure montre en orange les multiples de \(\pi\) : ils forment un réseau engendré par \(\pi\) et \(i\pi = 1 + 2i\), dont une maille est coloriée.

1. Montrer que l’application \(\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}[i]\), \(A \mapsto A(i)\), induit un isomorphisme entre \(\mathbb{Z}[X]/(X^2 + 1)\) et \(\mathbb{Z}[i]\). (0,75 point)
2. Établir que \(\mathbb{Z}[i]/(3)\) est un corps, puis donner son nombre d’éléments. (1 point)
3. Prouver au contraire que \(\mathbb{Z}[i]/(5)\) n’est pas intègre, en exhibant deux classes non nulles de produit nul. (1 point)
4. Soit \(\psi : \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{F}_5\) définie par \(\psi(x + iy) = \overline{x + 2y}\). Montrer que \(\psi\) est un morphisme d’anneaux surjectif, puis que son noyau est \((\pi)\). Que vaut alors \(\mathbb{Z}[i]/(\pi)\) ? (1,25 point)
5. Justifier que \(0, 1, 2, 3, 4\) forment un système de représentants des classes modulo \(\pi\). Déterminer ensuite le représentant de \(w = 3 + 4i\) dans ce système. (1 point)

Réviser anneaux principaux et critère d’Eisenstein avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours idéaux premiers, anneaux principaux et factoriels ; entraînez-vous sur les exercices idéaux premiers, anneaux principaux et factoriels avant de retenter le sujet.

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