Inclusions et complétude des L^p : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « inclusions et complétude des L^p », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se passe en fin de semestre 5, une fois le chapitre sur les espaces de Lebesgue achevé. La question de cours vous fait d’abord redémontrer l’inégalité de Hölder à partir de celle de Young. Ensuite, deux exercices comparent les normes : sur un espace de mesure finie, les exposants élevés sont les plus exigeants, alors que sur les espaces de suites l’ordre s’inverse. Puis des contre-exemples sur la droite réelle montrent qu’aucune inclusion ne subsiste en mesure infinie. Enfin, le problème établit le théorème de Riesz-Fischer et la convergence presque partout d’une sous-suite, avant de fabriquer une suite qui converge en norme sans converger en aucun point.
Ce qu’évalue le contrôle : inclusions et complétude des L^p
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Inégalités de Hölder et espaces L^p complets (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer l’inégalité de Young par concavité du logarithme, puis en déduire l’inégalité de Hölder
- Comparer les normes p et r sur un espace de mesure finie et calculer la norme d’une puissance négative
- Établir l’inclusion inverse entre espaces de suites et la rendre stricte par une suite de Riemann
- Construire sur la droite réelle des fonctions qui réfutent toute inclusion entre L^1 et L^2
- Prouver la complétude de L^p et extraire une sous-suite qui converge presque partout
Avant de commencer le devoir
Avant toute inégalité, écrivez les exposants conjugués utilisés et vérifiez qu’ils sont bien dans le bon intervalle. Pour une intégrale de puissance, ramenez-vous aux intégrales de Riemann de référence, car toute la discussion s’y réduit. De plus, quand une norme est nulle, traitez ce cas à part, sinon la normalisation divise par zéro. Dans le problème, citez précisément Beppo Levi et la convergence dominée, avec leurs hypothèses. Enfin, gardez au moins quarante minutes pour lui.
Le sujet du contrôle : inclusions et complétude des L^p
Dans tout le sujet, \((X, \mathcal{A}, \mu)\) est un espace mesuré et les fonctions sont mesurables à valeurs réelles. Pour \(1 \leq p < \infty\), on note \(\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p}\), et \(\|f\|_\infty\) désigne la borne supérieure essentielle de \(|f|\). Sur \(\mathbb{R}\) ou sur une partie de \(\mathbb{R}\), la mesure est celle de Lebesgue, notée \(\lambda\).
Exercice 1 – Young puis Hölder, question de cours (4 points)
Soit \(p \in \left]1, +\infty\right[\) et \(q\) son exposant conjugué, défini par \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\).
- Montrer que, pour tous réels \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\), on a \(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\). On pourra utiliser la concavité du logarithme ; la figure donne par ailleurs une lecture de cette inégalité en termes d’aires pour \(p = 3\).
- Soit \(f \in L^p(\mu)\) et \(g \in L^q(\mu)\). Démontrer l’inégalité de Hölder \(\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \, \|g\|_q\), en traitant à part le cas où l’une des normes est nulle.
- En déduire que, pour toute \(f \in L^3([0, 2])\), on a \(\int_0^2 |f| \, \mathrm{d}\lambda \leq 2^{2/3} \, \|f\|_3\).
Exercice 2 – Puissances négatives sur un segment (3,5 points)
On suppose ici \(\mu(X) < \infty\), et l’on fixe \(1 \leq p < r \leq \infty\).
- Prouver que \(L^r(\mu) \subset L^p(\mu)\), avec \(\|f\|_p \leq \mu(X)^{\frac{1}{p} – \frac{1}{r}} \, \|f\|_r\) pour toute \(f \in L^r(\mu)\) (où \(\frac{1}{r} = 0\) si \(r = \infty\)).
- Sur \(X = \left]0, 1\right]\), on pose \(f(x) = x^{-2/5}\). Déterminer l’ensemble des \(p \in \left[1, +\infty\right[\) tels que \(f \in L^p\). Calculer alors \(\|f\|_1\) et \(\|f\|_2\), puis vérifier sur ces valeurs l’inégalité de la question 1.
- Pour \(1 \leq p < r < \infty\), trouver une fonction de \(L^p(\left]0, 1\right])\) qui n’est pas dans \(L^r(\left]0, 1\right])\). L’inclusion de la question 1 est donc stricte.
Exercice 3 – Normes d’une suite géométrique (3,5 points)
On munit \(\mathbb{N}\) de la mesure de comptage. L’espace \(L^p\) correspondant est noté \(\ell^p\) : c’est l’ensemble des suites réelles \(u\) telles que \(\sum_n |u_n|^p\) converge, et \(\|u\|_p = \left(\sum_{n} |u_n|^p\right)^{1/p}\).
- Soit \(v\) la suite définie par \(v_n = 2^{-n}\) pour \(n \geq 0\). Calculer \(\|v\|_p\) pour tout \(p \in \left[1, +\infty\right[\), ainsi que \(\|v\|_\infty\). Donner les valeurs exactes de \(\|v\|_1\) et de \(\|v\|_2\).
- La figure suggère que \(p \mapsto \|v\|_p\) décroît. Plus généralement, soit \(1 \leq p < r < \infty\) et \(u \in \ell^p\). Montrer d’abord que \(|u_n| \leq \|u\|_p\) pour tout \(n\), puis que \(u \in \ell^r\) avec \(\|u\|_r \leq \|u\|_p\).
- On pose \(w_n = n^{-3/4}\) pour \(n \geq 1\) et \(w_0 = 0\). Pour quels \(p\) a-t-on \(w \in \ell^p\) ? Conclure que \(\ell^1 \subset \ell^2\) est une inclusion stricte, et comparer avec l’exercice 2.
Exercice 4 – Contre-exemples sur la droite réelle (3 points)
On travaille sur \(\mathbb{R}\) muni de la mesure de Lebesgue, qui est infinie. Ainsi, l’exercice 2 ne s’applique plus.
- Soit \(g\) la fonction égale à \(x^{-1/2}\) sur \(\left]0, 1\right]\) et nulle ailleurs. Montrer que \(g \in L^1(\mathbb{R})\) mais \(g \notin L^2(\mathbb{R})\).
- Soit \(h(x) = \frac{1}{1 + |x|}\). Montrer que \(h \in L^2(\mathbb{R})\), calculer \(\|h\|_2\), puis établir que \(h \notin L^1(\mathbb{R})\).
- Soit \(f \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^\infty(\mathbb{R})\) et \(p \in \left[1, +\infty\right[\). Prouver que \(f \in L^p(\mathbb{R})\) et que \(\|f\|_p \leq \|f\|_1^{1/p} \, \|f\|_\infty^{1 – 1/p}\).
Exercice 5 – Problème : arcs harmoniques et sous-suites (6 points)
On fixe \(p \in \left[1, +\infty\right[\). Ce problème démontre d’abord que \(L^p(\mu)\) est complet, puis il compare la convergence en norme et la convergence presque partout.
Partie A : une série d’écarts sommable
Soit \((f_n)_{n \geq 0}\) une suite de \(L^p(\mu)\) telle que \(M = \|f_0\|_p + \sum_{k \geq 0} \|f_{k+1} – f_k\|_p\) soit fini. On pose, pour \(N \geq 0\), \(g_N = |f_0| + \sum_{k=0}^{N-1} |f_{k+1} – f_k|\), puis \(g = \lim_{N \to \infty} g_N\), à valeurs dans \(\left[0, +\infty\right]\).
- Montrer que \(\|g_N\|_p \leq M\) pour tout \(N\), puis que \(\int_X g^p \, \mathrm{d}\mu \leq M^p\). En déduire que \(g\) est finie presque partout.
- Prouver que \((f_n(x))\) converge pour presque tout \(x\) vers une limite \(f(x)\), que \(f \in L^p(\mu)\) et enfin que \(\|f_n – f\|_p \to 0\).
Partie B : le théorème de Riesz-Fischer
- Soit \((f_n)\) une suite de Cauchy de \(L^p(\mu)\). Construire une sous-suite \((f_{\varphi(k)})\) telle que \(\|f_{\varphi(k+1)} – f_{\varphi(k)}\|_p \leq 2^{-k}\). Montrer alors que \(L^p(\mu)\) est complet, et que toute suite convergente de \(L^p(\mu)\) admet une sous-suite qui converge presque partout vers sa limite.
Partie C : des arcs qui tournent sans fin
On note \(H_0 = 0\) et \(H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\) pour \(n \geq 1\). Pour \(n \geq 1\), soit \(A_n\) l’ensemble des \(x \in \left[0, 1\right[\) pour lesquels il existe un entier \(j \geq 0\) tel que \(x + j \in \left[H_{n-1}, H_n\right[\). La figure représente \(A_1, \ldots, A_9\) : chaque arc reprend là où le précédent s’arrête, en revenant à 0 quand il atteint 1. On pose enfin \(f_n = \mathbf{1}_{A_n}\) sur \(X = \left[0, 1\right[\), muni de la mesure de Lebesgue.
- Justifier que \(\lambda(A_n) = \frac{1}{n}\), puis que \(f_n \to 0\) dans \(L^p\).
- Soit \(x \in \left[0, 1\right[\). Montrer que \(f_n(x) = 1\) pour une infinité d’entiers \(n\), puis que \(f_n(x) = 0\) pour une infinité d’entiers \(n\). La suite \((f_n)\) converge-t-elle presque partout ?
- On pose \(n_k = k^2\). À l’aide du théorème de Beppo Levi, prouver que \(f_{n_k} \to 0\) presque partout, puis relier ce résultat à la partie B.
Réviser inclusions et complétude des L^p avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours inégalités de hölder et espaces l^p complets ; entraînez-vous sur les exercices inégalités de hölder et espaces l^p complets avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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