Degrés d’extension et constructibilité : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « degrés d’extension et constructibilité », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les extensions de corps et leurs applications géométriques, au premier semestre de L3. Proposez-le dès la fin du chapitre, avant toute étude des corps finis généraux. D’abord, une question de cours vous demande de démontrer la multiplicativité des degrés par une base télescopique. Ensuite, le nombre \(\sqrt{7} + \sqrt{3}\) sert de fil conducteur pour calculer un polynôme minimal et situer des sous-corps. Le troisième exercice fabrique un corps à quatre éléments par quotient. Enfin, le problème traduit la construction à la règle et au compas en tours d’extensions quadratiques, puis établit l’impossibilité de la duplication du cube.
Ce qu’évalue le contrôle : degrés d’extension et constructibilité
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Extensions algébriques et corps finis (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer la multiplicativité des degrés à partir d’une base télescopique
- Calculer le degré d’une extension engendrée par deux racines carrées et trouver un polynôme minimal
- Construire le corps à quatre éléments comme quotient de l’anneau des polynômes sur F2
- Relier la constructibilité à la règle et au compas à une tour d’extensions quadratiques
- Prouver l’impossibilité de la duplication du cube par un argument de degré
Avant de commencer le devoir
Traitez d’abord la question de cours, car son résultat sert dans tous les exercices suivants. Pour un polynôme minimal, exhibez un polynôme annulateur, puis prouvez son irréductibilité par un argument de degré plutôt que par une factorisation hasardeuse. Dans le corps à quatre éléments, réduisez chaque produit grâce à la relation de définition, et vérifiez vos tables par symétrie. Enfin, dans le problème, distinguez soigneusement le cas de deux droites et celui d’une droite coupant un cercle, car seul le second fait apparaître une racine carrée.
Le sujet du contrôle : degrés d’extension et constructibilité
Exercice 1 – Question de cours : la règle des degrés (3 points)
Dans tout le sujet, si \(K \subset L\) sont deux corps, on note \([L : K]\) la dimension de \(L\) vu comme espace vectoriel sur \(K\), éventuellement infinie.
- Soient \(K \subset L \subset M\) trois corps tels que \([L : K] = n\) et \([M : L] = m\) soient finis. On fixe une base \((e_1, \ldots, e_n)\) de \(L\) sur \(K\) et une base \((f_1, \ldots, f_m)\) de \(M\) sur \(L\). Démontrer que la famille des produits \(e_i f_j\) est une base de \(M\) sur \(K\), puis conclure que \([M : K] = [M : L]\,[L : K]\).
- Soit \(L\) une extension finie de \(K\) et \(a \in L\). Justifier que \([K(a) : K]\) divise \([L : K]\). Ensuite, en admettant que \(\sqrt[3]{5}\) annule un polynôme irréductible de degré 3 sur \(\mathbb{Q}\), prouver que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})\).
Exercice 2 – Le nombre alpha et ses sous-corps (5 points)
Dans cet exercice, \(\alpha\) désigne le réel \(\sqrt{7} + \sqrt{3}\), et \(L\) le sous-corps de \(\mathbb{R}\) engendré par \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{7}\), noté \(\mathbb{Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7})\). Le schéma ci-dessous place quelques sous-corps de \(L\) ; chaque point d’interrogation cache un degré à trouver.
- Prouver que \(\sqrt{7}\) n’appartient pas à \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\). Calculer alors le degré de \(L\) sur \(\mathbb{Q}\), puis écrire une base de \(L\) sur \(\mathbb{Q}\) issue de la base télescopique.
- Développer \(\alpha^2\) et \(\alpha^3\) dans la base précédente. Écrire ensuite \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{7}\) comme polynômes en \(\alpha\) à coefficients rationnels, puis établir l’égalité \(\mathbb{Q}(\alpha) = L\).
- Trouver un polynôme unitaire de degré 4 à coefficients entiers qui annule \(\alpha\). Expliquer pourquoi c’est le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(\mathbb{Q}\), sans chercher à le factoriser.
- Vérifier que \(\sqrt{21}\) est dans \(L\). Déterminer enfin le polynôme minimal de \(\alpha\) au-dessus de \(\mathbb{Q}(\sqrt{21})\), puis au-dessus de \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\).
Exercice 3 – Fabriquer un corps à quatre éléments (5 points)
On note \(\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) et \(P = X^2 + X + 1 \in \mathbb{F}_2[X]\). On considère l’anneau quotient \(\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[X]/(P)\), et l’on désigne par \(j\) la classe de \(X\).
- Montrer que \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_2\). En déduire que \(\mathbb{F}_4\) est un corps, de base \((1, j)\) sur \(\mathbb{F}_2\), puis lister ses quatre éléments.
- Dresser la table d’addition et la table de multiplication de \(\mathbb{F}_4\), en utilisant la relation \(j^2 = j + 1\).
- Prouver que le groupe multiplicatif \(\mathbb{F}_4^{*}\) est cyclique et engendré par \(j\). Montrer ensuite que \(\varphi : x \mapsto x^2\) est un automorphisme du corps \(\mathbb{F}_4\), et préciser son action sur \(j\) et sur \(j + 1\).
- Établir que \(P\) est le seul polynôme irréductible de degré 2 sur \(\mathbb{F}_2\). Vérifier aussi l’égalité \(X^4 + X = X\,(X + 1)\,(X^2 + X + 1)\) dans \(\mathbb{F}_2[X]\), puis en déduire que tout \(x \in \mathbb{F}_4\) vérifie \(x^4 = x\).
Exercice 4 – Problème : règle, compas et cube de Délos (7 points)
Les règles de construction
Le plan est muni d’un repère orthonormé, et l’on part des deux points \(O(0, 0)\) et \(I(1, 0)\). À chaque étape, on peut tracer la droite passant par deux points déjà obtenus, ou le cercle centré en un point obtenu et passant par un autre. On ajoute alors les points d’intersection de deux de ces tracés. Un point est dit constructible quand on l’atteint en un nombre fini d’étapes, et un réel \(x\) est constructible lorsque le point \((x, 0)\) l’est.
On admet que les réels constructibles forment un sous-corps de \(\mathbb{R}\), que l’on sait tracer une perpendiculaire à une droite en un point, et que l’intersection de deux cercles se ramène à celle d’un cercle et d’une droite.
La figure est à l’échelle.
Les questions du problème
- Sur la figure, les points \(A\), \(C\), \(B\) sont alignés dans cet ordre, avec \(AC = 3\) et \(CB = 1\). La perpendiculaire en \(C\) à \((AB)\) coupe le demi-cercle de diamètre \([AB]\) en \(D\). Montrer que \(CD = \sqrt{3}\). Généraliser alors ce procédé pour prouver que, si \(a > 0\) est constructible, \(\sqrt{a}\) l’est aussi.
- Soit \(K\) un sous-corps de \(\mathbb{R}\). On considère une droite d’équation \(ux + vy + w = 0\) et un cercle d’équation \(x^2 + y^2 + bx + cy + d = 0\), avec \(u, v, w, b, c, d \in K\) et \((u, v) \neq (0, 0)\). Montrer que les coordonnées de leurs points d’intersection appartiennent à \(K(\sqrt{\delta})\) pour un certain \(\delta \in K\) positif. Que dire de l’intersection de deux droites à coefficients dans \(K\) ?
- Soit \(x\) un réel constructible. On admet l’existence d’une suite de corps \(\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_r\) telle que \(x \in K_r\) et \([K_{i+1} : K_i] \in \{1, 2\}\) pour tout \(i\), conséquence directe de la question 2. Démontrer que \([\mathbb{Q}(x) : \mathbb{Q}]\) est une puissance de 2.
- Selon la légende, l’oracle de Délos réclamait un autel cubique deux fois plus volumineux que l’ancien, dont l’arête mesurait 1. Établir l’irréductibilité de \(X^3 – 2\) sur \(\mathbb{Q}\), puis expliquer pourquoi aucun géomètre muni d’une règle et d’un compas ne peut satisfaire l’oracle.
- On pose \(t = 2\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)\). Sachant que \(\cos(3x) = \cos x\,(4\cos^2 x – 3)\) pour tout réel \(x\), vérifier que \(t\) est racine de \(X^3 – 3X + 1\). Montrer ensuite qu’un angle de \(120^\circ\), pourtant constructible, ne se découpe pas en trois angles de même mesure avec ces seuls instruments.
Réviser degrés d’extension et constructibilité avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours extensions algébriques et corps finis ; entraînez-vous sur les exercices extensions algébriques et corps finis avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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