QCM : Bases hilbertiennes et Fourier en L3 de maths
Ce QCM Fourier L3 parcourt la géométrie hilbertienne et ses applications à l’analyse. Il commence par la complétude, la projection sur un convexe fermé et le supplémentaire orthogonal, puis il fait appliquer le théorème de Riesz à une forme linéaire de \(L^2\). La suite porte sur les bases hilbertiennes : inégalité de Bessel, égalité de Parseval et séries de Fourier, avec le théorème de Fejér. Les trois dernières questions calculent et étudient la transformée de Fourier d’une fonction intégrable.
Traite les douze questions sans le cours, avec un brouillon pour les calculs de normes et d’intégrales. Ensuite, lis chaque explication, même quand ta réponse est juste. Elle justifie le résultat attendu et nomme l’erreur derrière chaque piège : hypothèse de fermeture oubliée, famille non totale, facteur \(2\pi\) égaré ou confusion entre deux modes de convergence.
Les 12 questions
Question 1
Lequel de ces espaces préhilbertiens n’est pas un espace de Hilbert ?
- \(\ell^2(\mathbb{N})\) muni de \(\sum x_n\bar{y}_n\)
- \(L^2([0,1])\) muni du produit scalaire \(\int_0^1 f\bar{g}\)
- \(C([0,1])\) muni du produit scalaire \(\int_0^1 f\bar{g}\)
- \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire usuel
Réponse C.
Un espace de Hilbert est un préhilbertien complet. Or des fonctions continues peuvent converger, en norme quadratique, vers une fonction en escalier, qui n’est pas continue ; donc \(C([0,1])\) n’est pas complet pour cette norme. En revanche, \(L^2\) est complet par le théorème de Riesz-Fischer. Le piège consiste à croire que \(C([0,1])\), complet pour la norme uniforme, le reste pour toute norme.
Question 2
Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, quelle est la projection du point \((3,4)\) sur la boule unité fermée ?
- \(\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\)
- \(\left(\frac{3}{25},\frac{4}{25}\right)\)
- \(\left(\frac{3}{7},\frac{4}{7}\right)\)
- \(\left(\frac{3}{4},1\right)\)
Réponse A.
Pour un point \(x\) hors de la boule, la projection vaut \(x/\|x\|\). Ici, \(\|(3,4)\|=5\), d’où le résultat. Le piège \(\frac{1}{25}\) divise par le carré de la norme : on obtient alors l’inverse par rapport au cercle, et non la projection. Ensuite, diviser par 7 utilise la norme \(\|\cdot\|_1\), qui ne donne pas le point le plus proche. Enfin, \(\left(\frac{3}{4},1\right)\) n’est même pas dans la boule.
Question 3
Soit \(C\) un convexe fermé non vide d’un espace de Hilbert réel \(H\) et \(x\in H\). Le point \(p\in C\) est la projection de \(x\) sur \(C\) si et seulement si, pour tout \(y\in C\) :
- \(\langle x-p,\,y-p\rangle\leqslant 0\)
- \(\langle x-p,\,y-p\rangle=0\)
- \(\langle x-p,\,y-p\rangle\geqslant 0\)
- \(\langle x-p,\,y\rangle\leqslant 0\)
Réponse A.
Géométriquement, l’angle entre \(x-p\) et \(y-p\) doit être obtus pour tout \(y\in C\). On le prouve en développant \(\|x-(p+t(y-p))\|^2\) pour \(t\) petit positif. L’égalité à 0 caractérise la projection sur un sous-espace vectoriel fermé, et non sur un convexe quelconque. Le piège \(\geqslant 0\) inverse le sens. Le dernier oublie de centrer en \(p\).
Question 4
Dans \(\ell^2(\mathbb{N})\), on note \(F\) le sous-espace des suites nulles à partir d’un certain rang. Que vaut \(F^{\perp}\) ?
- \(F\) lui-même, puisque \(F\) est dense
- \(\ell^2(\mathbb{N})\) tout entier
- Un supplémentaire de \(F\), comme pour tout sous-espace
- \(\{0\}\), donc \(F\oplus F^{\perp}\neq\ell^2(\mathbb{N})\)
Réponse D.
Une suite orthogonale à \(F\) est orthogonale à chaque vecteur \(e_n\) de la base canonique, donc toutes ses coordonnées sont nulles. Ainsi, \(F^{\perp}=\{0\}\). Or \(F\) n’est pas fermé : la suite \((2^{-n})\) est limite d’éléments de \(F\) sans lui appartenir. Par conséquent, la décomposition \(H=F\oplus F^{\perp}\) exige un sous-espace fermé, ce qu’oublie le piège du supplémentaire.
Question 5
Sur \(L^2([0,1])\), on considère la forme linéaire \(\psi(f)=\int_0^1 t\,f(t)\,\mathrm{d}t\). Que vaut sa norme \(\|\psi\|\) ?
- \(\dfrac{1}{3}\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
- \(\dfrac{1}{2}\)
- \(1\)
Réponse B.
La forme s’écrit \(\psi(f)=\langle f,g\rangle\) avec \(g(t)=t\). D’après le théorème de représentation de Riesz, \(\|\psi\|=\|g\|_2\). Or \(\|g\|_2^2=\int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t=\frac{1}{3}\). Le piège \(\frac{1}{3}\) oublie la racine carrée. Quant à \(\frac{1}{2}\), il s’agit de \(\|g\|_1\), qui est la norme de \(\psi\) sur \(L^\infty\), et non sur \(L^2\).
Question 6
Dans \(\ell^2(\mathbb{N}^*)\), on pose \(x=(2^{-n})_{n\geqslant 1}\) et l’on garde seulement la famille orthonormée \((e_{2k})_{k\geqslant 1}\). Que vaut \(\sum_{k\geqslant 1}|\langle x,e_{2k}\rangle|^2\) ?
- \(\dfrac{1}{3}\)
- \(\dfrac{1}{6}\)
- \(\dfrac{1}{15}\)
- \(\dfrac{1}{4}\)
Réponse C.
On a \(\langle x,e_{2k}\rangle=2^{-2k}\), donc la somme vaut \(\sum_k 16^{-k}=\frac{1}{15}\). En comparaison, \(\|x\|^2=\sum_n 4^{-n}=\frac{1}{3}\). L’inégalité de Bessel est donc stricte, car la famille n’est pas totale. Le piège \(\frac{1}{3}\) applique Parseval à une famille incomplète. De même, \(\frac{1}{6}\) suppose à tort que les indices pairs portent la moitié de la norme.
Question 7
Laquelle de ces familles est une base hilbertienne de \(L^2([0,1])\), muni de \(\langle f,g\rangle=\int_0^1 f\bar{g}\) ?
- \((e^{2i\pi nt})_{n\in\mathbb{N}}\)
- \((e^{2i\pi nt})_{n\in\mathbb{Z}}\)
- \((e^{i\pi nt})_{n\in\mathbb{Z}}\)
- \((t^n)_{n\in\mathbb{N}}\)
Réponse B.
Les fonctions \(e^{2i\pi nt}\) sont orthonormées sur \([0,1]\), et leur famille est totale, grâce au théorème de Fejér et à la densité des fonctions continues. Si l’on retire les indices négatifs, la famille n’est plus totale : \(e^{-2i\pi t}\) lui est orthogonale. Les \(e^{i\pi nt}\) ne sont pas deux à deux orthogonales sur \([0,1]\). Enfin, les monômes forment une famille totale, mais non orthonormée.
Question 8
Sachant que \(\cos^3x=\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{4}\cos 3x\), que vaut \(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^6x\,\mathrm{d}x\) d’après Parseval ?
- \(\dfrac{5}{32}\)
- \(\dfrac{1}{2}\)
- \(\dfrac{5}{16}\)
- \(\dfrac{5}{8}\)
Réponse C.
En exponentielles, les coefficients non nuls de \(\cos^3\) sont \(c_{\pm 1}=\frac{3}{8}\) et \(c_{\pm 3}=\frac{1}{8}\). L’égalité de Parseval donne alors \(2\left(\frac{9}{64}+\frac{1}{64}\right)=\frac{5}{16}\). Le piège \(\frac{5}{32}\) oublie les indices négatifs. Quant à \(\frac{5}{8}\), il additionne les carrés des coefficients réels \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{1}{4}\) sans le facteur \(\frac{1}{2}\) qui accompagne les cosinus.
Question 9
Soit \(f\) continue et \(2\pi\)-périodique. On note \(S_N\) les sommes partielles de sa série de Fourier et \(\sigma_N\) leurs moyennes de Cesàro. Qu’affirme le théorème de Fejér ?
- \(\sigma_N(f)\) converge uniformément vers \(f\)
- \(S_N(f)\) converge uniformément vers \(f\)
- \(S_N(f)(x)\) converge vers \(f(x)\) en tout point \(x\)
- \(\sigma_N(f)\) ne converge que presque partout vers \(f\)
Réponse A.
Le noyau de Fejér est positif, d’intégrale 1, et se concentre autour de 0 ; ainsi, il forme une approximation de l’unité, ce qui donne la convergence uniforme des \(\sigma_N(f)\). En revanche, le noyau de Dirichlet change de signe. Par conséquent, il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un point. Les deux premiers pièges attribuent donc aux \(S_N\) ce qui n’est vrai que pour les \(\sigma_N\).
Question 10
On note \(\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi}\,\mathrm{d}x\). Pour \(f=\mathbf{1}_{[-1,1]}\) et \(\xi\neq 0\), que vaut \(\hat{f}(\xi)\) ?
- \(\dfrac{\sin\xi}{\xi}\)
- \(\dfrac{2\cos\xi}{\xi}\)
- \(\dfrac{2\sin\xi}{\xi^2}\)
- \(\dfrac{2\sin\xi}{\xi}\)
Réponse D.
On calcule \(\int_{-1}^1 e^{-ix\xi}\,\mathrm{d}x=\frac{e^{i\xi}-e^{-i\xi}}{i\xi}\), ce qui donne \(\frac{2\sin\xi}{\xi}\). On peut vérifier la cohérence en 0 : la limite vaut 2, la longueur de l’intervalle. Le piège sans facteur 2 intègre sur \([0,1]\) seulement. Par ailleurs, \(\frac{2\sin\xi}{\xi^2}\) n’a pas la bonne limite en 0, puisqu’il tend vers l’infini.
Question 11
Avec la même convention, que vaut la transformée de Fourier de \(g(x)=e^{-|x|}\) ?
- \(\dfrac{1}{1+\xi^2}\)
- \(\dfrac{2}{1+\xi^2}\)
- \(\dfrac{1}{1+i\xi}\)
- \(\dfrac{2}{1-\xi^2}\)
Réponse B.
On coupe en deux : \(\int_0^{+\infty}e^{-x(1+i\xi)}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{1+i\xi}\), et la partie négative donne \(\frac{1}{1-i\xi}\). La somme vaut \(\frac{2}{1+\xi^2}\). Le piège \(\frac{1}{1+i\xi}\) est la transformée de \(e^{-x}\) restreinte aux \(x\) positifs. Ensuite, \(\frac{1}{1+\xi^2}\) oublie une des deux moitiés. Enfin, \(\frac{2}{1-\xi^2}\) provient d’une erreur de signe sur \(i^2\).
Question 12
Soit \(f\in L^1(\mathbb{R})\). Laquelle de ces propriétés de \(\hat{f}\) est toujours vraie ?
- \(\hat{f}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\)
- \(\hat{f}\) est à support compact
- \(\hat{f}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)
- \(\hat{f}\) est continue et tend vers 0 à l’infini
Réponse D.
La continuité découle de la convergence dominée, avec \(|f|\) pour majorant. La limite nulle à l’infini constitue le lemme de Riemann-Lebesgue. Cependant, la transformée de \(\mathbf{1}_{[-1,1]}\) est \(\frac{2\sin\xi}{\xi}\), qui n’est pas intégrable : le piège de l’intégrabilité tombe. De même, \(\frac{2}{1+\xi^2}\) n’est pas à support compact. Quant à la dérivabilité, elle demande que \(xf\) soit intégrable.
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L3 de maths sur bases hilbertiennes et Fourier
- S’exercer : exercices corrigés sur bases hilbertiennes et Fourier
- QCM précédent : QCM : Résidus et séries de Laurent en L3 de maths
- QCM suivant : QCM : Espérance et indépendance en L3 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
