Actions de groupes et Sylow en L3 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Une action du groupe additif des réels sur le plan

Pour \(t \in \mathbb{R}\) et \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(t \cdot (x,y) = (x + ty, y)\).

1. Montrer que l’on définit ainsi une action du groupe \((\mathbb{R}, +)\) sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Déterminer l’orbite et le stabilisateur d’un point \((x,y)\). On distinguera les cas \(y = 0\) et \(y \neq 0\).
3. L’action est-elle fidèle ? Est-elle transitive ?

Exercice 2 – Le groupe symétrique et les paires d’entiers

On note \(\mathcal{P}\) l’ensemble des parties à deux éléments de \(\{1,2,3,4\}\). Pour \(\sigma \in \mathfrak{S}_4\), on pose \(\sigma \cdot \{i,j\} = \{\sigma(i), \sigma(j)\}\).

1. Vérifier que l’on obtient une action de \(\mathfrak{S}_4\) sur \(\mathcal{P}\), et que \(|\mathcal{P}| = 6\).
2. Montrer que cette action est transitive.
3. Ensuite, déterminer le stabilisateur de \(\{1,2\}\) et vérifier la relation orbite-stabilisateur.
4. Enfin, prouver que l’action est fidèle. Qu’en déduit-on pour le morphisme associé \(\mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}(\mathcal{P})\) ?

Exercice 3 – Les rotations d’un pavé aux trois arêtes distinctes

On considère le pavé \([-a, a] \times [-b, b] \times [-c, c]\), avec \(0 < a < b < c\). On admet que les rotations qui le conservent sont l’identité et les trois demi-tours autour des axes de coordonnées. On note \(G\) le groupe qu’elles forment.

1. Déterminer l’orbite et le stabilisateur du sommet \((a, b, c)\). Combien l’action de \(G\) sur les sommets a-t-elle d’orbites ?
2. Faire de même pour la face contenue dans le plan \(z = c\).
3. Vérifier dans chaque cas la relation orbite-stabilisateur.
4. À quel groupe connu \(G\) est-il isomorphe ?

Exercice 4 – Un groupe agit sur ses classes à gauche

Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe. On fait agir \(G\) sur \(G/H\) par \(g \cdot xH = gxH\).

1. Vérifier que cette formule est bien définie et donne une action.
2. Montrer que l’action est transitive et que le stabilisateur de \(xH\) est \(xHx^{-1}\).
3. Montrer que le noyau de l’action est \(\bigcap_{x \in G} xHx^{-1}\), et qu’il est contenu dans \(H\).
4. Enfin, prendre \(H = \{e\}\) et en déduire qu’un groupe à \(n\) éléments se plonge dans \(\mathfrak{S}_n\). Écrire la permutation associée à la classe de 1 dans \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\).

Exercice 5 – Classes de conjugaison du groupe symétrique S3

1. Calculer la classe de conjugaison de chaque élément de \(\mathfrak{S}_3\).
2. Déterminer le centralisateur de \((1\,2)\) et celui de \((1\,2\,3)\), puis vérifier que leurs indices sont les tailles des classes.
3. Écrire la formule des classes de \(\mathfrak{S}_3\) et en déduire son centre.

Exercice 6 – Formule des classes du groupe diédral d’ordre 8

On note \(D_4 = \{e, r, r^2, r^3, s, rs, r^2s, r^3s\}\) le groupe des isométries d’un carré, avec \(r^4 = s^2 = e\) et \(sr = r^{-1}s\).

1. Montrer que \(r^2\) commute avec \(s\), puis que \(r^2\) est central.
2. Ensuite, calculer les conjugués de \(r\), de \(s\) et de \(rs\).
3. Enfin, écrire la formule des classes de \(D_4\) et déterminer son centre.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Points fixes d’un groupe d’ordre 25

Soit \(P\) un groupe d’ordre 25 qui agit sur un ensemble \(X\) à 7 éléments.

1. Quelles sont les tailles possibles des orbites ?
2. Montrer que l’action a au moins deux points fixes.
3. Par conséquent, décrire toutes les décompositions possibles de \(X\) en orbites.
4. Enfin, reprendre la question si \(X\) a 4 éléments.

Exercice 8 – Les groupes d’ordre le carré d’un nombre premier

Soit \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe.

1. Montrer que si \(G/Z(G)\) est cyclique, alors \(G\) est abélien.
2. On suppose désormais \(|G| = p^2\). Dans ce cas, prouver que \(G\) est abélien.
3. Enfin, en déduire que \(G\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\) ou à \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2\).

Exercice 9 – Centre d’un groupe non abélien d’ordre 27

Soit \(G\) un groupe non abélien d’ordre 27.

1. Montrer que \(|Z(G)| = 3\).
2. Ensuite, soit \(x \notin Z(G)\). Montrer que son centralisateur est d’ordre 9.
3. Par conséquent, déterminer le nombre de classes de conjugaison de \(G\).

Exercice 10 – Sous-groupes de Sylow du groupe S4

1. Donner les valeurs possibles de \(n_2\) et de \(n_3\) pour \(\mathfrak{S}_4\).
2. Déterminer les 3-Sylow de \(\mathfrak{S}_4\) et en déduire \(n_3\).
3. Montrer que l’ensemble des permutations qui conservent la partition \(\{\{1,2\},\{3,4\}\}\) est un 2-Sylow, et en donner les éléments.
4. En déduire \(n_2\).

Exercice 11 – Les groupes d’ordre 45 sont abéliens

Soit \(G\) un groupe d’ordre 45.

1. Montrer que \(n_3 = n_5 = 1\).
2. Ainsi, établir que \(G\) est isomorphe au produit de ses deux Sylow, puis qu’il est abélien.
3. Finalement, combien existe-t-il de groupes d’ordre 45 à isomorphisme près ?

Exercice 12 – Groupes d’ordre pq et ordres 33, 35, 51

Soit \(p < q\) deux nombres premiers tels que \(p\) ne divise pas \(q – 1\), et \(G\) un groupe d’ordre \(pq\).

1. Montrer que \(n_p = n_q = 1\).
2. En déduire que \(G\) est cyclique.
3. Appliquer ce résultat aux ordres 33, 35 et 51.
4. Expliquer pourquoi l’argument ne s’applique pas à l’ordre 21.

Exercice 13 – Le groupe linéaire sur le corps à deux éléments

On note \(\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) et \(G = GL_2(\mathbb{F}_2)\).

1. D’abord, dénombrer les matrices inversibles pour obtenir \(|G| = 6\).
2. Ensuite, vérifier que \(G\) agit sur l’ensemble \(X\) des trois vecteurs non nuls de \(\mathbb{F}_2^2\).
3. Prouver que cette action est fidèle.
4. Par conséquent, établir que \(G\) est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\).

Exercice 14 – Conjugués d’un sous-groupe et normalisateur

Un groupe fini \(G\) agit sur l’ensemble de ses sous-groupes par \(g \cdot H = gHg^{-1}\).

1. Montrer que le stabilisateur de \(H\) est le normalisateur \(N(H) = \{g \in G \mid gHg^{-1} = H\}\), et que \(H\) a \([G : N(H)]\) conjugués.
2. Dans \(\mathfrak{S}_4\), on pose \(H = \langle (1\,2\,3\,4) \rangle\). Vérifier que \((1\,3)\) normalise \(H\) mais que \((1\,2)\) ne le normalise pas.
3. En déduire l’ordre de \(N(H)\) et le nombre de conjugués de \(H\).

Exercice 15 – Les rotations du cube permutent ses diagonales

On reprend le groupe \(G\) des 24 rotations du cube \([-1,1]^3\) étudié dans le cours. On numérote ses grandes diagonales : \(d_1\) passe par \((1,1,1)\), \(d_2\) par \((-1,1,1)\), \(d_3\) par \((1,-1,1)\) et \(d_4\) par \((-1,-1,1)\).

1. Justifier que \(G\) agit sur \(\{d_1, d_2, d_3, d_4\}\) et en déduire un morphisme \(\varphi : G \to \mathfrak{S}_4\).
2. Calculer l’image par \(\varphi\) du demi-tour d’axe \((Oz)\), de la rotation \((x,y,z) \mapsto (z,x,y)\) et du demi-tour d’axe dirigé par \((1,0,1)\).
3. Montrer que \(\varphi\) est injective, puis que c’est un isomorphisme.

Pour approfondir

Exercice 16 – Aucun groupe d’ordre 132 n’est simple

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(132 = 2^2 \times 3 \times 11\). On suppose, par l’absurde, que \(G\) est simple.

1. Donner les valeurs possibles de \(n_2\), \(n_3\) et \(n_{11}\).
2. Justifier que \(n_{11} = 12\) et compter les éléments d’ordre 11.
3. Montrer que \(n_3 = 22\) est impossible, puis que \(n_3 = 4\) laisse exactement trois éléments d’ordre différent de 1, 3 et 11.
4. Conclure en étudiant les 2-Sylow.

Exercice 17 – Sous-groupes distingués d’un p-groupe

Soit \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe d’ordre \(p^{n}\), avec \(n \geq 1\).

1. Montrer que \(Z(G)\) contient un élément d’ordre \(p\).
2. Ensuite, établir par récurrence sur \(n\) que \(G\) possède un sous-groupe distingué d’ordre \(p^{k}\) pour tout \(k\) compris entre 0 et \(n\).
3. Enfin, soit \(H\) un sous-groupe d’indice \(p\). En faisant agir \(G\) sur \(G/H\), montrer que \(H\) est distingué dans \(G\).

Exercice 18 – Problème sur les rotations du tétraèdre régulier

Soit \(T\) l’ensemble des rotations préservant un tétraèdre régulier de sommets \(A_1, A_2, A_3, A_4\). La figure montre deux types d’axes de rotation.

1. Par la relation orbite-stabilisateur appliquée aux sommets, montrer que \(|T| = 12\).
2. Décrire les 12 éléments de \(T\) en trois familles selon leur axe.
3. Montrer que l’action sur les sommets fournit un isomorphisme de \(T\) sur le groupe alterné \(\mathfrak{A}_4\).
4. Montrer que les trois demi-tours forment une classe de conjugaison, et que les huit rotations d’ordre 3 ne forment pas une seule classe. Écrire la formule des classes, en admettant que ces huit rotations se répartissent en deux classes de même taille.
5. Déterminer \(n_2\) et \(n_3\) pour le groupe \(T\).
6. Montrer que \(T\) n’a aucun sous-groupe d’ordre 6.

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «actions de groupes et Sylow en L3 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 396 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.