Groupes quotients en L3 de maths : cours et méthodes
Quand on identifie entre eux les éléments d’un groupe qui diffèrent d’un élément d’un sous-groupe, on obtient un nouvel objet. Ce chapitre explique à quelle condition cet objet est encore un groupe. Les groupes quotients L3 reposent ainsi sur deux idées : les classes à gauche et les sous-groupes distingués.
Nous construisons le quotient pas à pas, puis nous démontrons les trois théorèmes d’isomorphisme. Ensuite, nous les appliquons aux exemples qui reviennent sans cesse : les groupes cycliques et \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), le groupe symétrique avec sa signature, le groupe alterné et les groupes diédraux.
Ce chapitre ouvre le semestre 5 d’algèbre. Il prépare directement les anneaux quotients, les corps finis et, plus tard, les actions de groupe. Chaque résultat est démontré et suivi d’exemples numériques ou de contre-exemples choisis pour montrer le rôle des hypothèses.
Ce que vous saurez faire
- Décrire les classes à gauche et à droite d’un sous-groupe et compter leur nombre.
- Prouver qu’un sous-groupe est distingué, ou justifier qu’il ne l’est pas.
- Construire un groupe quotient et l’identifier à un groupe connu.
- Appliquer les trois théorèmes d’isomorphisme.
- Manipuler \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), la signature et le groupe alterné.
- Calculer dans un groupe diédral à l’aide de ses relations.
Dans tout le chapitre, \(G\) désigne un groupe noté multiplicativement, de neutre \(e\). Pour deux permutations, \(\sigma\tau\) désigne la composée \(\sigma \circ \tau\) : on applique d’abord \(\tau\), puis \(\sigma\).
1. Classes à gauche et à droite
Un sous-groupe \(H\) de \(G\) permet de regrouper les éléments de \(G\) par paquets. L’idée est simple : deux éléments sont proches s’ils diffèrent d’un élément de \(H\). Cependant, dans un groupe non commutatif, il faut préciser de quel côté se fait la multiplication.
Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\) et \(g \in G\). La classe à gauche de \(g\) est \(gH = \{gh \mid h \in H\}\). La classe à droite de \(g\) est \(Hg = \{hg \mid h \in H\}\). L’ensemble des classes à gauche se note \(G/H\), celui des classes à droite \(H \backslash G\).
1.1 Une partition de G
Les classes à gauche sont les classes d’équivalence d’une relation. Nous posons \(x \sim y\) lorsque \(x^{-1}y \in H\). Cette relation est réflexive car \(x^{-1}x = e \in H\). Elle est symétrique, puisque \((x^{-1}y)^{-1} = y^{-1}x\). Enfin, elle est transitive, car \(x^{-1}z = (x^{-1}y)(y^{-1}z)\). La classe de \(x\) vaut exactement \(xH\).
Les classes à gauche modulo \(H\) forment une partition de \(G\). De plus, on a \(xH = yH\) si et seulement si \(x^{-1}y \in H\). Enfin, l’application \(h \mapsto gh\) est une bijection de \(H\) sur \(gH\) : toutes les classes ont le cardinal de \(H\).
Le nombre de classes à gauche s’appelle l’indice de \(H\) dans \(G\) et se note \([G:H]\). Par ailleurs, l’application \(gH \mapsto Hg^{-1}\) échange classes à gauche et classes à droite. Ainsi, il y a autant de classes de chaque côté.
(Lagrange) Pour un groupe fini \(G\) et un sous-groupe \(H\), le cardinal de \(G\) vaut \([G:H]\,|H|\). Ainsi, \(|H|\) divise \(|G|\), et chaque élément de \(G\) a un ordre qui divise \(|G|\).
Les \([G:H]\) classes à gauche sont deux à deux disjointes et recouvrent \(G\). Chacune contient \(|H|\) éléments. En sommant, on obtient la formule. Pour un élément \(g\), on l’applique au sous-groupe \(\langle g \rangle\), dont l’ordre est celui de \(g\).
Dans un groupe additif, la classe s’écrit \(g + H\). La figure suivante montre le cas de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) avec \(H = \{0, 4, 8\}\). Les quatre classes sont les quatre triangles colorés.
1.2 Classes à gauche et à droite peuvent différer
Dans \(S_3\), prenons \(H = \{\mathrm{id}, (1\,3)\}\) et \(g = (1\,2\,3)\). D’abord, \(g(1\,3)\) envoie \(1\) sur \(1\), puis \(3\) sur \(2\) et \(2\) sur \(3\). Donc \(gH = \{(1\,2\,3), (2\,3)\}\). Ensuite, \((1\,3)g\) envoie \(1\) sur \(2\), \(2\) sur \(1\) et \(3\) sur \(3\). Donc \(Hg = \{(1\,2\,3), (1\,2)\}\). Par conséquent, \(gH \neq Hg\), alors que ces deux classes contiennent toutes deux \(g\).
Cet exemple montre que l’égalité \(gH = Hg\) n’a rien d’automatique. C’est précisément cette égalité qui définit la notion centrale du chapitre.
2. Sous-groupes distingués
On dit que \(N\), sous-groupe de \(G\), est distingué lorsque chaque conjugué \(gng^{-1}\) d’un élément \(n\) de \(N\) reste dans \(N\), quel que soit \(g\) dans \(G\). Cela s’écrit \(N \trianglelefteq G\). Le mot « normal » est un synonyme courant.
Pour un sous-groupe \(N\) de \(G\), les propriétés suivantes sont équivalentes :
- \(gNg^{-1} \subset N\) pour tout \(g \in G\) ;
- \(gNg^{-1} = N\) pour tout \(g \in G\) ;
- \(gN = Ng\) pour tout \(g \in G\).
Supposons (1). En l’appliquant à \(g^{-1}\), on obtient \(g^{-1}Ng \subset N\), donc \(N \subset gNg^{-1}\). D’où (2). Ensuite, (2) donne \(gN = gNg^{-1}g = Ng\), c’est-à-dire (3). Enfin, si \(gN = Ng\), tout \(gn\) s’écrit \(n^{\prime}g\) avec \(n^{\prime} \in N\). Ainsi \(gng^{-1} = n^{\prime} \in N\), ce qui redonne (1).
2.1 Trois sources de sous-groupes distingués
Les sous-groupes suivants sont distingués :
- tout sous-groupe d’un groupe abélien ;
- le noyau de tout morphisme de groupes \(f : G \to G^{\prime}\) ;
- tout sous-groupe d’indice 2.
Le point 1 vient de \(gng^{-1} = n\). Pour le point 2, si \(f(n) = e\), alors \(f(gng^{-1}) = f(g)f(g)^{-1} = e\). Pour le point 3, soit \(H\) d’indice 2. Si \(g \in H\), on a \(gH = H = Hg\). Sinon, les classes à gauche sont \(H\) et \(gH\), donc \(gH\) est le complémentaire de \(H\). De même, \(Hg\) est ce complémentaire. Donc \(gH = Hg\) dans tous les cas.
Le centre \(Z(G) = \{z \in G \mid \forall g,\ gz = zg\}\) est aussi distingué, ainsi que chacun de ses sous-groupes. En effet, la conjugaison laisse fixe chaque élément central.
Pour prouver que \(N\) est distingué dans \(G\) :
- chercher d’abord un morphisme de noyau \(N\) (déterminant, signature, réduction modulo \(n\)…) ;
- sinon, calculer l’indice : s’il vaut 2, c’est terminé ;
- sinon, vérifier \(gng^{-1} \in N\) seulement pour \(g\) dans une partie génératrice de \(G\) et \(n\) dans une partie génératrice de \(N\).
Pour prouver que \(N\) n’est pas distingué, il suffit d’exhiber un seul couple \((g, n)\) avec \(gng^{-1} \notin N\).
Le point 3 de la méthode demande une justification. Si \(gNg^{-1} \subset N\) pour les générateurs \(g\), la conjugaison par \(g\) envoie \(N\) dans \(N\). Or la composée de deux telles conjugaisons en est encore une. Il faut cependant traiter aussi \(g^{-1}\), ce qui est gratuit lorsque \(G\) est fini.
Piège à éviter :
Être distingué n’est pas une relation transitive. Dans le groupe \(D_4\) des isométries du carré, posons \(K = \{e, s\}\) et \(M = \{e, s, r^2, sr^2\}\). Alors \(K\) est d’indice 2 dans \(M\), et \(M\) est d’indice 2 dans \(D_4\). Pourtant, \(rsr^{-1} = sr^{-2} = sr^2\) n’appartient pas à \(K\).
3. Construction des groupes quotients
Nous voulons munir l’ensemble \(G/N\) des classes d’une loi de groupe. La formule naturelle est \((xN)(yN) = xyN\). Le seul problème est de savoir si ce produit dépend des représentants \(x\) et \(y\) choisis.
Soit \(N\) un sous-groupe distingué de \(G\). La formule \((xN)(yN) = xyN\) définit une loi de groupe sur \(G/N\). Son neutre est \(N\), et l’inverse de \(xN\) est \(x^{-1}N\). De plus, la projection canonique \(\pi : G \to G/N\), \(x \mapsto xN\), est un morphisme surjectif de noyau \(N\).
Prenons deux autres représentants \(x^{\prime} = xn\) et \(y^{\prime} = ym\), où \(n\) et \(m\) parcourent \(N\). Le produit se réarrange en \(x^{\prime}y^{\prime} = xy\,(y^{-1}ny)\,m\). Le facteur central reste dans \(N\) grâce à l’hypothèse sur \(N\). Ainsi \(x^{\prime}y^{\prime}\) tombe dans \(xyN\) : le résultat ne dépend pas des choix faits. L’associativité, le neutre et les inverses se lisent ensuite sur \(G\). Enfin, \(\pi(x) = N\) équivaut à \(x \in N\).
Remarque :
La réciproque est vraie. Si la formule \((xN)(yN) = xyN\) est bien définie, alors \(N\) est distingué. En effet, pour \(n \in N\), on a \(nN = eN\), donc \(ng\,N = g\,N\), puis \(g^{-1}ng \in N\). Ainsi, le quotient n’existe que pour les sous-groupes distingués.
Lorsque \(G\) est fini, Lagrange donne \(|G/N| = |G|/|N|\). Par ailleurs, l’ordre de \(xN\) divise l’ordre de \(x\), puisque \(x^k = e\) entraîne \((xN)^k = N\).
3.1 Propriété universelle
Soit \(f : G \to G^{\prime}\) un morphisme et \(N \trianglelefteq G\) avec \(N \subset \ker f\). Il existe un unique morphisme \(\bar f : G/N \to G^{\prime}\) tel que \(\bar f \circ \pi = f\). Il est donné par \(\bar f(xN) = f(x)\).
Si \(xN = yN\), alors \(x^{-1}y \in N \subset \ker f\). Donc \(f(x) = f(y)\), et \(\bar f\) est bien définie. C’est un morphisme, car \(\bar f(xyN) = f(xy) = f(x)f(y)\). Enfin, l’unicité vient de la surjectivité de \(\pi\).
Ce résultat sert à définir des applications sur un quotient. On les définit sur \(G\), puis on vérifie qu’elles s’annulent sur \(N\).
Considérons \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}^*\), \(x \mapsto e^{2i\pi x}\). C’est un morphisme du groupe additif \(\mathbb{R}\) vers le groupe multiplicatif \(\mathbb{C}^*\). Son noyau est \(\mathbb{Z}\), et son image est le cercle \(\mathbb{U}\). La propriété universelle fournit donc \(\bar f : \mathbb{R}/\mathbb{Z} \to \mathbb{U}\). Celle-ci est injective, car son noyau est la classe nulle. Par conséquent, \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) s’identifie au cercle unité.
Autrement dit, quotienter \(\mathbb{R}\) par \(\mathbb{Z}\) revient à enrouler la droite sur un cercle de périmètre 1. Tous les réels \(0{,}3 + k\) viennent se poser au même point.
4. Les théorèmes d’isomorphisme
Calculer un quotient classe par classe devient vite pénible. Les théorèmes d’isomorphisme remplacent ce calcul par la recherche d’un bon morphisme.
4.1 Le premier théorème
Soit \(f : G \to G^{\prime}\) un morphisme de groupes. Alors \(\ker f\) est distingué dans \(G\), et \(f\) induit un isomorphisme \[G/\ker f \simeq \operatorname{Im} f.\]
Nous appliquons la propriété universelle avec \(N = \ker f\). Le morphisme \(\bar f\) obtenu prend ses valeurs dans \(\operatorname{Im} f\) et il est surjectif sur cette image. De plus, \(\bar f(xN) = e\) signifie \(x \in \ker f\), c’est-à-dire \(xN = N\). Le noyau de \(\bar f\) est donc trivial, et \(\bar f\) est injectif.
Pour identifier un quotient \(G/N\) :
- deviner un groupe \(Q\) candidat, souvent en comparant les cardinaux ;
- construire un morphisme \(f : G \to Q\) défini sans ambiguïté ;
- montrer que \(f\) est surjectif ;
- calculer \(\ker f\) et vérifier qu’il vaut \(N\) ;
- conclure par le premier théorème d’isomorphisme.
Identifions \(\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_3(\mathbb{R})\). Le déterminant \(\det : \mathrm{GL}_3(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*\) est un morphisme. Il est surjectif, car \(\det(\operatorname{diag}(t, 1, 1)) = t\) pour tout \(t \neq 0\). Son noyau est par définition \(\mathrm{SL}_3(\mathbb{R})\). Donc \(\mathrm{SL}_3(\mathbb{R})\) est distingué et \(\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_3(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^*\).
Piège à éviter :
Deux groupes finis de même cardinal ne sont pas forcément isomorphes. Par exemple, \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) possède un élément d’ordre 4, alors que \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\) n’en a aucun. C’est pourquoi on exhibe toujours un morphisme explicite.
4.2 Le deuxième et le troisième théorème
(Deuxième théorème) Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\) et \(N \trianglelefteq G\). Alors \(HN\) est un sous-groupe de \(G\), \(H \cap N\) est distingué dans \(H\), et \[HN/N \simeq H/(H \cap N).\]
D’abord, \(HN = NH\) car \(hN = Nh\) ; donc \(HN\) est stable par produit et par inverse. Ensuite, considérons \(f : H \to HN/N\), \(h \mapsto hN\). C’est un morphisme, restriction de la projection. Il est surjectif, car \(hnN = hN\). Son noyau est \(H \cap N\). Le premier théorème conclut.
(Troisième théorème) Soit \(N \subset M\) deux sous-groupes distingués de \(G\). Alors \(M/N\) est distingué dans \(G/N\), et \[(G/N)/(M/N) \simeq G/M.\]
L’application \(f : G/N \to G/M\), \(xN \mapsto xM\), est bien définie. En effet, si \(xN = yN\), alors \(x^{-1}y \in N \subset M\). C’est un morphisme surjectif. De plus, \(xM = M\) équivaut à \(x \in M\). Son noyau est donc \(M/N\), et le premier théorème s’applique.
En notation additive, le troisième théorème donne par exemple \((\mathbb{Z}/28\mathbb{Z})/(7\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\). En effet, \(28\mathbb{Z} \subset 7\mathbb{Z}\), et tous ces sous-groupes sont distingués car \(\mathbb{Z}\) est abélien.
Remarque :
On ajoute souvent un énoncé de correspondance. Les sous-groupes de \(G/N\) sont exactement les \(M/N\), où \(M\) parcourt les sous-groupes de \(G\) contenant \(N\). De plus, cette bijection préserve le caractère distingué.
5. Groupes cycliques et Z/nZ
Le premier exemple de quotient est celui de \(\mathbb{Z}\) par \(n\mathbb{Z}\), avec \(n \geq 1\). Le groupe \(\mathbb{Z}\) étant abélien, \(n\mathbb{Z}\) est distingué. Le quotient \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) a \(n\) éléments, les classes \(\bar 0, \bar 1, \ldots, \overline{n-1}\).
Lorsqu’un élément \(g\) suffit à produire tout \(G\) par ses puissances, on parle de groupe monogène de générateur \(g\). Le qualificatif cyclique désigne un tel groupe quand son cardinal est fini.
Soit \(G = \langle g \rangle\) un groupe monogène. Si \(G\) est infini, alors \(G \simeq \mathbb{Z}\). Si \(G\) est d’ordre \(n\), alors \(G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) par l’isomorphisme \(\bar k \mapsto g^k\).
Le morphisme \(\varphi : \mathbb{Z} \to G\), \(k \mapsto g^k\), est surjectif. Son noyau est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), donc de la forme \(d\mathbb{Z}\) avec \(d \geq 0\). Si \(d = 0\), \(\varphi\) est un isomorphisme. Sinon, le premier théorème donne \(G \simeq \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}\). Enfin, l’égalité des cardinaux impose \(d = n\).
5.1 Générateurs et sous-groupes
Dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), l’ordre de \(\bar k\) vaut \(n/\mathrm{pgcd}(k, n)\). Ainsi, \(\bar k\) engendre \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(k, n) = 1\). Il y a donc \(\varphi(n)\) générateurs, où \(\varphi\) est l’indicatrice d’Euler.
Les sous-groupes de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont en bijection avec les diviseurs positifs de \(n\). Plus précisément, chaque diviseur \(d\) correspond au seul sous-groupe à \(d\) éléments, engendré par la classe de \(n/d\).
Par la correspondance du paragraphe 4.2, un sous-groupe de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) s’écrit \(m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), avec \(n\mathbb{Z} \subset m\mathbb{Z}\). Cela signifie que \(m\) divise \(n\), et ce sous-groupe a \(n/m\) éléments. Ainsi, l’ordre \(d\) détermine \(m = n/d\). Ce sous-groupe est engendré par \(\bar m\).
On représente ces sous-groupes par un treillis : un trait relie deux sous-groupes emboîtés sans intermédiaire. Pour \(n = 18\), il y a six diviseurs, donc six sous-groupes.
5.2 Le lemme chinois
Si \(m\) et \(n\) sont premiers entre eux, l’application \(\bar x \mapsto (x \bmod m,\ x \bmod n)\) est un isomorphisme \(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
Le morphisme \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) a pour noyau \(m\mathbb{Z} \cap n\mathbb{Z} = mn\mathbb{Z}\), car \(m\) et \(n\) sont premiers entre eux. Il induit donc un morphisme injectif sur \(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\). Les deux groupes ont \(mn\) éléments, d’où la bijectivité.
Sans l’hypothèse de coprimalité, le résultat tombe. Ainsi, \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) n’est pas cyclique : tout élément \((a, b)\) vérifie \(3(a, b) = (0, 0)\). Il n’a donc aucun élément d’ordre 9, contrairement à \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\).
6. Groupe symétrique, signature et groupe alterné
Le groupe \(S_n\) des permutations de \(\{1, \ldots, n\}\) a \(n!\) éléments. Toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, de façon unique à l’ordre près. De plus, tout cycle est un produit de transpositions : \((a_1\,a_2\,\cdots\,a_k) = (a_1\,a_2)(a_2\,a_3)\cdots(a_{k-1}\,a_k)\).
Il existe un unique morphisme \(\varepsilon : S_n \to \{-1, 1\}\) qui vaut \(-1\) sur chaque transposition, pour \(n \geq 2\). On l’appelle la signature. On a \(\varepsilon(\sigma) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(j) – \sigma(i)}{j – i}\), et un cycle de longueur \(k\) a pour signature \((-1)^{k-1}\).
L’unicité vient de ce que les transpositions engendrent \(S_n\). Pour l’existence, on vérifie que la formule produit définit un morphisme valant \(-1\) sur \((1\,2)\). Ensuite, toutes les transpositions sont conjuguées, donc elles ont la même image.
Dans \(S_9\), soit \(\sigma\) définie par \(1 \mapsto 6\), \(2 \mapsto 9\), \(3 \mapsto 3\), \(4 \mapsto 1\), \(5 \mapsto 7\), \(6 \mapsto 4\), \(7 \mapsto 5\), \(8 \mapsto 2\), \(9 \mapsto 8\). En suivant les images, on trouve \(\sigma = (1\,6\,4)(2\,9\,8)(5\,7)\). Les deux 3-cycles ont pour signature \(+1\), et la transposition \(-1\). Donc \(\varepsilon(\sigma) = -1\). Par ailleurs, l’ordre de \(\sigma\) vaut \(\mathrm{ppcm}(3, 3, 2) = 6\).
On appelle groupe alterné, noté \(A_n\), l’ensemble des permutations paires, autrement dit \(\ker \varepsilon\).
Pour \(n \geq 2\), \(A_n\) est distingué dans \(S_n\), d’indice 2, et \(S_n/A_n \simeq \{-1, 1\}\). En particulier, \(|A_n| = n!/2\).
C’est une application directe du premier théorème, car \(\varepsilon\) est surjective. De plus, tout produit de deux transpositions est un produit de 3-cycles. Par conséquent, pour \(n \geq 3\), \(A_n\) est engendré par les 3-cycles.
La réciproque du théorème de Lagrange est fausse : \(A_4\), d’ordre 12, n’a aucun sous-groupe d’ordre 6. Supposons qu’un tel \(H\) existe. Il serait d’indice 2, donc distingué, et \(A_4/H\) aurait deux éléments. Alors \(g^2 \in H\) pour tout \(g\). Or tout 3-cycle \(c\) vérifie \(c = c^4 = (c^2)^2\). Donc \(H\) contiendrait les huit 3-cycles de \(A_4\), ce qui est impossible.
7. Groupes diédraux
Fixons \(n \geq 3\) et un polygone régulier à \(n\) sommets centré à l’origine. Les isométries planes qui le laissent globalement invariant forment le groupe diédral \(D_n\). Il contient \(n\) rotations et \(n\) réflexions. Il a donc \(2n\) éléments.
On note \(r\) la rotation d’angle \(2\pi/n\) et \(s\) une réflexion fixée. Alors \(D_n = \{r^k, sr^k \mid 0 \leq k \leq n-1\}\), et les générateurs vérifient \[r^n = e, \qquad s^2 = e, \qquad srs = r^{-1}.\]
Sur l’hexagone, les six axes de réflexion passent soit par deux sommets opposés, soit par deux milieux de côtés opposés. Pour \(n\) impair, chaque axe passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
7.1 Calculer dans un groupe diédral
Toute la règle de calcul tient dans la relation \(srs = r^{-1}\). On en tire \(sr^k s = r^{-k}\), puis \(r^k s = s r^{-k}\). Autrement dit, faire passer \(s\) de l’autre côté d’une rotation change l’exposant en son opposé.
Pour réduire un mot en \(r\) et \(s\) :
- pousser tous les \(s\) vers la gauche avec \(r^k s = s r^{-k}\) ;
- simplifier \(s^2 = e\) ;
- réduire l’exposant de \(r\) modulo \(n\) ;
- lire le résultat sous la forme \(r^k\) ou \(sr^k\).
Dans \(D_7\), réduisons \(w = r^2 s r^5 s r^3 s\). D’abord, \(s r^5 s = r^{-5}\). Ainsi \(w = r^2 r^{-5} r^3 s = s\). Ensuite, calculons \((sr^4)^2 = s r^4 s r^4 = r^{-4} r^4 = e\). Toute réflexion est donc d’ordre 2, comme le veut la géométrie.
Le sous-groupe des rotations \(\langle r \rangle\) est distingué dans \(D_n\), et \(D_n/\langle r \rangle \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). Le centre de \(D_n\) est \(\{e\}\) si \(n\) est impair, et \(\{e, r^{n/2}\}\) si \(n\) est pair.
Le sous-groupe \(\langle r \rangle\) est d’indice 2, donc distingué. Pour le centre, une réflexion \(sr^k\) ne commute pas avec \(r\). En effet, \(r \cdot sr^k = sr^{k-1}\) et \(sr^k \cdot r = sr^{k+1}\), qui diffèrent car \(r^2 \neq e\). Ensuite, \(r^k\) commute avec \(s\) si et seulement si \(r^{-k} = r^k\), c’est-à-dire si \(n\) divise \(2k\). Cela donne la conclusion selon la parité de \(n\).
Soit \(Q\) un groupe d’ordre \(2m\) engendré par \(\rho\) d’ordre \(m\) et \(\sigma\) d’ordre 2, avec \(\sigma\rho\sigma = \rho^{-1}\) et \(m \geq 3\). Alors \(Q \simeq D_m\), par l’application \(r^k \mapsto \rho^k\), \(sr^k \mapsto \sigma\rho^k\). En effet, les règles de calcul sont les mêmes des deux côtés.
Ce critère identifie les quotients de \(D_n\). Par exemple, si \(d\) divise \(n\) avec \(d \geq 3\), le quotient \(D_n/\langle r^d \rangle\) est isomorphe à \(D_d\).
Les erreurs fréquentes
- Définir une application sur \(G/N\) par une formule sans vérifier qu’elle ne dépend pas du représentant.
- Croire que \(gN = Ng\) signifie \(gn = ng\) pour chaque \(n\) : l’égalité porte sur des ensembles.
- Conclure à un isomorphisme à partir de la seule égalité des cardinaux.
- Penser que « distingué dans distingué » donne « distingué ».
- Mélanger les conventions de composition des permutations au milieu d’un calcul.
- Oublier que \(r^k s = sr^{-k}\) dans \(D_n\), et non \(sr^k\).
Fiche mémo
- Les classes à gauche partitionnent \(G\) ; \(xH = yH\) si et seulement si \(x^{-1}y \in H\).
- Lagrange : \(|G| = [G:H]\,|H|\) pour \(G\) fini.
- \(N\) est distingué si \(gNg^{-1} \subset N\) pour tout \(g\), si et seulement si \(gN = Ng\).
- Noyaux, sous-groupes d’indice 2 et sous-groupes du centre sont distingués.
- \(G/N\) est un groupe pour \((xN)(yN) = xyN\) exactement quand \(N\) est distingué.
- Premier théorème : \(G/\ker f \simeq \operatorname{Im} f\).
- Deuxième : \(HN/N \simeq H/(H \cap N)\) ; troisième : \((G/N)/(M/N) \simeq G/M\).
- Un groupe cyclique d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), qui a un sous-groupe par diviseur de \(n\).
- \(A_n = \ker \varepsilon\) est d’indice 2 dans \(S_n\) et engendré par les 3-cycles.
- Dans \(D_n\) : \(r^n = s^2 = e\), \(srs = r^{-1}\), et \(\langle r \rangle\) est distingué.
Questions fréquentes
Pourquoi un sous-groupe doit-il être distingué pour former un quotient ?
La loi sur les classes se définit par \((xH)(yH) = xyH\). Cette formule ne dépend du choix des représentants que si \(H\) est stable par conjugaison. Sans cette hypothèse, deux représentants d’une même classe peuvent donner des produits dans des classes différentes.
Comment reconnaître rapidement un sous-groupe distingué ?
Le plus efficace est souvent de l’écrire comme noyau d’un morphisme. Un sous-groupe d’indice 2 est aussi toujours distingué. Enfin, dans un groupe abélien, tous les sous-groupes le sont.
À quoi sert le premier théorème d'isomorphisme en pratique ?
Il identifie un quotient \(G/N\) sans calculer ses classes une à une. On cherche un morphisme surjectif de \(G\) vers un groupe connu dont le noyau vaut \(N\). Le quotient est alors isomorphe à ce groupe connu.
Le groupe diédral est-il au programme de L3 ?
Oui, il sert d’exemple fondamental de groupe non abélien. On doit savoir calculer avec les relations \(r^n = s^2 = e\) et \(srs = r^{-1}\). Ses sous-groupes distingués et son centre font partie des questions classiques d’examen.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L3 de maths sur groupes quotients
- Chapitre d’avant : Inégalités de Hölder et espaces L^p complets
- Chapitre d’après : Actions de groupes, formule des classes et Sylow
- Vérifier ses acquis : QCM de L3 de maths sur groupes quotients
- Contrôle corrigé en temps limité : Sous-groupes distingués et quotients : contrôle de maths en L3
- Un autre sujet noté sur 20 : Problème sur les groupes finis : contrôle de maths en L3
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
Télécharger ou imprimer cette fiche «groupes quotients en L3 de maths : cours et méthodes» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
