Problème sur les groupes finis : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « problème sur les groupes finis », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cet examen terminal de trois heures clôt la partie algèbre du semestre 5 et porte uniquement sur les groupes, sans anneau ni corps. Vous commencerez par un groupe d’inversibles modulo 15, où le premier théorème d’isomorphisme identifie un quotient. Ensuite, une action de groupe sur les diagonales d’un hexagone régulier fournit un morphisme vers un groupe symétrique. La formule des classes sert alors à étudier le centre d’un p-groupe. Puis la signature, combinée au plongement de Cayley, produit un sous-groupe d’indice 2. Enfin, le problème classe les groupes d’ordre pq avec les théorèmes de Sylow et construit un groupe non commutatif d’ordre 21. Les démonstrations représentent l’essentiel du barème de ce contrôle.
Ce qu’évalue le contrôle : problème sur les groupes finis
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Sous-groupes distingués et groupes quotients et Actions de groupes, formule des classes et Sylow (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer les ordres des éléments d’un groupe d’inversibles et identifier un quotient par le premier théorème d’isomorphisme
- Exploiter une action de groupe pour obtenir un morphisme vers un groupe symétrique et en déterminer le noyau
- Démontrer que le centre d’un p-groupe n’est pas trivial à l’aide de la formule des classes
- Utiliser la signature et le plongement de Cayley pour construire un sous-groupe d’indice 2
- Classer les groupes d’ordre pq grâce aux théorèmes de Sylow et étudier un exemple non commutatif d’ordre 21
Avant de commencer le devoir
Avant chaque raisonnement, écrivez l’ordre du groupe et de ses sous-groupes, car le théorème de Lagrange élimine souvent la moitié des cas. Pour un noyau, testez séparément les rotations puis les symétries. Dans le problème, écrivez les deux conditions de Sylow, divisibilité et congruence, avant de conclure : c’est leur combinaison qui force un sous-groupe distingué. Enfin, gardez au moins une heure pour le problème, qui pèse six points.
Le sujet du contrôle : problème sur les groupes finis
Exercice 1 – Les inversibles modulo 15 (3 points)
On note \(G = (\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^{\times}\) le groupe multiplicatif des classes inversibles modulo 15, dont les éléments sont représentés par \(1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\). La figure indique, pour chacun d’eux, la classe de son carré.
- Déterminer l’ordre de chaque élément de \(G\).
- En déduire que \(G\) n’est pas cyclique, puis montrer que \(G\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
- Montrer que \(s : x \mapsto x^2\) est un morphisme de groupes de \(G\) dans lui-même. Déterminer son noyau \(H\) et son image, puis identifier le groupe quotient \(G/H\).
Exercice 2 – L’hexagone et ses diagonales (4 points)
Dans le plan euclidien, on considère un hexagone régulier de centre \(O\) et de sommets \(A_0, \ldots, A_5\), numérotés dans le sens direct. On note \(\mathcal{D}\) le groupe des isométries du plan qui conservent l’ensemble de ses sommets ; elles fixent toutes \(O\). On note \(\rho\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\). Les trois grandes diagonales sont \(\Delta_1 = (A_0A_3)\), \(\Delta_2 = (A_1A_4)\) et \(\Delta_3 = (A_2A_5)\).
- Déterminer l’orbite de \(A_0\) sous l’action de \(\mathcal{D}\) ainsi que son stabilisateur. En déduire le cardinal de \(\mathcal{D}\).
- Justifier que \(\mathcal{D}\) agit sur l’ensemble \(\{\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3\}\), ce qui définit un morphisme \(\Phi : \mathcal{D} \to \mathfrak{S}_3\).
- Montrer que le noyau de \(\Phi\) est \(\{\mathrm{id}, \rho^3\}\).
- Prouver que \(\Phi\) est surjectif, puis que le quotient \(\mathcal{D}/\{\mathrm{id}, \rho^3\}\) est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\).
Exercice 3 – Centre et quotient par le centre (4 points)
Pour un groupe fini \(G\), on note \(Z(G)\) son centre, qui est un sous-groupe distingué. Dans tout l’exercice, \(p\) désigne un nombre premier.
- Montrer que si \(G/Z(G)\) est cyclique, alors \(G\) est commutatif.
- Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^n\), avec \(n \geq 1\). En faisant agir \(G\) sur lui-même par conjugaison, établir la formule des classes, puis démontrer que \(Z(G)\) n’est pas réduit à l’élément neutre.
- En déduire que tout groupe d’ordre \(p^2\) est commutatif. Montrer ensuite que le centre d’un groupe non commutatif d’ordre 8 a exactement 2 éléments.
Exercice 4 – Une parité à la Cayley (3 points)
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2m\), où \(m\) est un entier impair. On note \(\mathfrak{S}(G)\) le groupe des permutations de l’ensemble \(G\) et \(\varepsilon\) la signature, définie après numérotation des éléments de \(G\). Pour \(g \in G\), soit \(\lambda_g : x \mapsto gx\). On admet le théorème de Cauchy : \(G\) possède un élément \(t\) d’ordre 2.
- Montrer que \(\lambda_t\) est un produit de \(m\) transpositions à supports disjoints, puis calculer \(\varepsilon(\lambda_t)\).
- Vérifier que \(\lambda : g \mapsto \lambda_g\) est un morphisme injectif de \(G\) dans \(\mathfrak{S}(G)\). En étudiant \(\varepsilon \circ \lambda\), prouver alors que \(G\) admet un sous-groupe distingué d’indice 2.
Exercice 5 – Problème : groupes d’ordre pq (6 points)
Soit \(p\) et \(q\) deux nombres premiers tels que \(p < q\), et \(G\) un groupe d’ordre \(pq\). On note \(n_p\) et \(n_q\) les nombres de \(p\)-Sylow et de \(q\)-Sylow de \(G\). On rappelle que \(n_q\) divise \(p\) et que \(n_q \equiv 1 \pmod{q}\) ; de même, \(n_p\) divise \(q\) et \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\).
Partie A : le cas où p ne divise pas q − 1
- Montrer que \(G\) possède un unique \(q\)-Sylow \(Q\), qu’il est distingué et cyclique.
- On suppose que \(p\) ne divise pas \(q – 1\). Montrer que le \(p\)-Sylow \(P\) est lui aussi distingué, que \(P \cap Q = \{e\}\), que tout élément de \(P\) commute avec tout élément de \(Q\), et conclure que \(G\) est cyclique.
- Application : que dire d’un groupe d’ordre 35 ? d’ordre 85 ?
Partie B : un groupe non commutatif d’ordre 21
Pour \(a \in \{1, 2, 4\}\) et \(b \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\), on note \(f_{a,b}\) l’application \(x \mapsto ax + b\) de \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) dans lui-même, et \(\Gamma\) l’ensemble de ces applications. La figure représente \(f_{2,\,0}\).
- Calculer \(f_{a,b} \circ f_{c,d}\). Montrer que \(\Gamma\) est un sous-groupe de \(\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\) d’ordre 21, non commutatif, et que \(T = \{f_{1,b},\ b \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\}\) est distingué avec \(\Gamma/T\) isomorphe à \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).
- Déterminer le nombre de 3-Sylow de \(\Gamma\), puis le nombre d’éléments de \(\Gamma\) de chaque ordre.
Réviser problème sur les groupes finis avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours sous-groupes distingués et groupes quotients puis actions de groupes, formule des classes et sylow ; entraînez-vous sur les exercices sous-groupes distingués et groupes quotients et actions de groupes, formule des classes et sylow avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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