QCM : Extensions et corps finis en L3 de maths

Réponse D.

Si la caractéristique valait \(n=ab\) avec \(1<a,b<n\), on aurait \((a\cdot 1)(b\cdot 1)=0\) avec deux facteurs non nuls. Or un corps est intègre, donc la caractéristique est nulle ou première. Ainsi, 6 et 9 sont exclus ; le piège 9 vient de l’idée, fausse, qu’une puissance de premier conviendrait. Enfin, la valeur 1 imposerait \(1=0\).

Réponse A.

Le sous-corps premier est le plus petit sous-corps, engendré par 1. Comme \(81=3^4\), la caractéristique vaut 3, donc ce sous-corps est \(\mathbb{F}_3\). Certes, \(\mathbb{F}_9\) est aussi un sous-corps, puisque 2 divise 4, mais il n’est pas minimal. Quant à \(\mathbb{Z}/81\mathbb{Z}\), ce n’est même pas un corps : la classe de 3 n’y est pas inversible.

Réponse C.

Le nombre \(i\) est de degré 2 et \(\sqrt[5]{2}\) de degré 5, car \(X^5-2\) est irréductible par Eisenstein. Par la base télescopique, 2 et 5 divisent le degré cherché, qui vaut au plus \(2\times 5\). Comme 2 et 5 sont premiers entre eux, le degré est 10. Additionner les degrés donne 7, ce qui confond dimension et nombre de générateurs.

Réponse B.

On a \((\alpha-1)^3=2\), donc \(\alpha\) annule \((X-1)^3-2=X^3-3X^2+3X-3\). Ce polynôme unitaire est irréductible, d’après le critère d’Eisenstein en 3. Le piège \(X^3+3X^2+3X-1\) développe \((X+1)^3-2\), avec une erreur de signe. Le piège \(X^3-3X^2+3X+1\) écrit \((X-1)^3+2\). Enfin, \(X^3-2\) annule \(\sqrt[3]{2}\), mais pas \(\alpha\).

Réponse B.

Les nombres algébriques forment un corps : par conséquent, \(\sqrt{2}+\sqrt{5}\) est algébrique. De plus, \(e^{i\pi/7}\) annule \(X^{14}-1\), donc il est algébrique, et \(\cos(2\pi/9)\) l’est aussi, comme demi-somme de deux racines de l’unité. Seul \(\pi\) est transcendant (Lindemann). Le piège consiste à croire qu’un nombre écrit avec \(\pi\) est forcément transcendant.

Réponse A.

Les racines sont \(\sqrt[3]{5}\), \(j\sqrt[3]{5}\) et \(j^2\sqrt[3]{5}\), donc \(N=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},j)\). Le corps de rupture \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})\) est de degré 3, mais il est réel ; il ne contient donc pas \(j\), qui est de degré 2. Ainsi, \([N:\mathbb{Q}]=6\). Répondre 3 confond rupture et décomposition. La réponse 9 multiplie à tort trois fois par 3.

Réponse C.

Un réel constructible a pour degré sur \(\mathbb{Q}\) une puissance de 2. Or \(8X^3-6X-1\) n’a pas de racine rationnelle, donc, en degré 3, il est irréductible ; ainsi, \(c\) est de degré 3. L’irrationalité ne suffit pas : \(\sqrt{2}\) est irrationnel et constructible. De plus, \(c\) est algébrique, puisqu’il annule ce polynôme, et c’en est bien une racine réelle.

Réponse B.

Un corps fini de caractéristique \(p\) est un espace vectoriel de dimension finie \(n\) sur \(\mathbb{F}_p\). Son cardinal vaut donc \(p^n\). Ici, seul \(125=5^3\) est une puissance d’un nombre premier. Le piège 100 vient d’une confusion avec l’anneau \(\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}\), qui a bien 100 éléments mais n’est pas intègre. De même, 6 et 15 ont deux facteurs premiers distincts.

Réponse D.

Le quotient est un corps si et seulement si \(P\) est irréductible, et il a \(2^3\) éléments si \(P\) est de degré 3. En degré 3, irréductible signifie sans racine dans \(\mathbb{F}_2\). Or \(X^3+X+1\) vaut 1 en 0 comme en 1. En revanche, 1 annule \(X^3+1\) et \(X^3+X^2+X+1\), tandis que 0 annule \(X^3+X\). Ces quotients ont donc des diviseurs de zéro.

Réponse D.

Comme \(64=2^6\), les sous-corps de \(\mathbb{F}_{64}\) sont les \(\mathbb{F}_{2^d}\) avec \(d\) diviseur de 6. En effet, \(\mathbb{F}_{64}\) serait un espace vectoriel sur un sous-corps \(\mathbb{F}_{2^d}\), donc \(2^6\) serait une puissance de \(2^d\). Ainsi, \(\mathbb{F}_{16}\) est exclu, car 4 ne divise pas 6. Le piège consiste à comparer les cardinaux, 16 étant inférieur à 64.

Réponse C.

L’ordre divise 12. Or \(2^4=16\equiv 3\) et \(2^6=64\equiv -1\) modulo 13 ; donc ni 4, ni 6, ni leurs diviseurs ne conviennent. Par conséquent, 2 est d’ordre 12 et engendre \(\mathbb{F}_{13}^*\). La réponse 6 vient d’une confusion entre \(-1\) et 1. Enfin, 13 est impossible : c’est le cardinal du corps, et non celui de son groupe multiplicatif.

Réponse A.

Un tel polynôme a ses deux racines dans \(\mathbb{F}_9\), hors de \(\mathbb{F}_3\), et elles sont conjuguées par \(x\mapsto x^3\). Or \(\mathbb{F}_9\setminus\mathbb{F}_3\) compte 6 éléments, répartis en paires ; il y a donc 3 polynômes, à savoir \(X^2+1\), \(X^2+X+2\) et \(X^2+2X+2\). La réponse 6 oublie de regrouper les racines par paires. Quant à 9, il compte tous les unitaires de degré 2.