Convergence en loi et TCL en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Fonctions caractéristiques discrètes

1. Calculer la fonction caractéristique d’une variable de loi de Bernoulli de paramètre \(p\), puis d’une variable de loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\).
2. De même, calculer la fonction caractéristique d’une variable de loi de Poisson de paramètre \(\lambda > 0\).
3. Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, de lois de Poisson de paramètres \(\lambda\) et \(\mu\). Déterminer la loi de \(X + Y\).

Exercice 2 – Loi uniforme et somme de deux uniformes

1. Soit \(U\) de loi uniforme sur \([-2, 2]\). Montrer que \(\varphi_U(t) = \dfrac{\sin(2t)}{2t}\) pour \(t \neq 0\).
2. Soit \(U_1, U_2\) indépendantes, uniformes sur \([-1, 1]\), et \(V = U_1 + U_2\). Calculer \(\varphi_V\).
3. Les variables \(U\) et \(V\) prennent leurs valeurs dans le même intervalle. Ont-elles la même loi ? On pourra comparer les développements limités à l’ordre \(2\) en \(0\).

Exercice 3 – Moments lus sur la fonction caractéristique

1. Une variable \(X\) a pour fonction caractéristique \(\varphi_X(t) = (1 – 2it)^{-3}\). On admet que \(X\) a des moments de tous ordres. Calculer \(\mathbb{E}[X]\) et \(\operatorname{Var}(X)\).
2. Soit \(Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\). À l’aide du développement de \(e^{-\sigma^2t^2/2}\) en \(0\), calculer \(\mathbb{E}[Y^4]\).

Exercice 4 – Trois convergences vers zéro

Soit \(E\) de loi exponentielle de paramètre \(1\) et \(X_n = E/n\).

1. Montrer que \(X_n \to 0\) presque sûrement.
2. Calculer \(\mathbb{E}[X_n^2]\) et en déduire la convergence dans \(L^2\).
3. Enfin, calculer explicitement \(\mathbb{P}(X_n > \varepsilon)\) et retrouver la convergence en probabilité.

Exercice 5 – Borel-Cantelli et convergence presque sûre

1. Soit \(Y_n\) une variable telle que \(\mathbb{P}(Y_n = n^2) = 1/n^2\) et \(\mathbb{P}(Y_n = 0) = 1 – 1/n^2\). Montrer que \(Y_n \to 0\) presque sûrement, sans hypothèse d’indépendance.
2. La suite \((Y_n)\) converge-t-elle vers \(0\) dans \(L^1\) ?
3. Soit \((Z_n)\) indépendantes avec \(\mathbb{P}(Z_n = 1) = 1/\sqrt{n}\) et \(\mathbb{P}(Z_n = 0) = 1 – 1/\sqrt{n}\). Étudier la convergence de \((Z_n)\) vers \(0\) en probabilité, puis presque sûrement.

Exercice 6 – Bienaymé-Tchebychev et taille d’échantillon

On lance \(n\) fois une pièce dont la probabilité \(p\) de tomber sur pile est inconnue. On note \(F_n\) la fréquence de pile.

1. Montrer que \(\operatorname{Var}(F_n) \leq \dfrac{1}{4n}\).
2. Déterminer un entier \(n\) qui garantit \(\mathbb{P}(|F_n – p| \geq 0{,}04) \leq 0{,}05\), quelle que soit la valeur de \(p\).

Exercice 7 – Uniforme discrète vers uniforme continue

Pour \(n \geq 1\), soit \(X_n\) uniforme sur \(\{1/n, 2/n, \dots, n/n\}\).

1. Calculer la fonction de répartition \(F_n\) de \(X_n\).
2. Montrer que \(X_n\) converge en loi vers la loi uniforme sur \([0, 1]\).
3. Retrouver ce résultat en calculant la limite de \(\mathbb{E}[f(X_n)]\) pour \(f\) continue bornée.

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Décorréler un couple gaussien

Soit \((X, Y)\) un vecteur gaussien centré tel que \(\operatorname{Var}(X) = 4\), \(\operatorname{Var}(Y) = 1\) et \(\operatorname{Cov}(X, Y) = 1\). La figure montre les lignes de niveau de sa densité.

1. Écrire la matrice de covariance \(\Gamma\) et justifier que \((X, Y)\) admet une densité.
2. Déterminer la loi de \(X – 2Y\).
3. Trouver le réel \(a\) tel que \(Z = X – aY\) soit indépendante de \(Y\), puis donner la loi de \(Z\).
4. En déduire \(\mathbb{P}(X > Y)\) et l’espérance conditionnelle \(\mathbb{E}[X \mid Y]\).

Exercice 9 – Deux gaussiennes non corrélées mais dépendantes

Soit \(X \sim \mathcal{N}(0, 1)\) et \(c > 0\). On pose \(Y = X\) si \(|X| \leq c\) et \(Y = -X\) si \(|X| > c\).

1. Montrer que \(Y\) suit la loi \(\mathcal{N}(0, 1)\).
2. Exprimer \(\operatorname{Cov}(X, Y)\) en fonction de \(h(c) = \mathbb{E}[X^2\mathbf{1}_{\{|X| \leq c\}}]\). Montrer qu’il existe \(c > 0\) tel que cette covariance soit nulle.
3. Pour cette valeur de \(c\), montrer que \(X + Y\) n’est pas gaussienne. En déduire que \((X, Y)\) n’est pas un vecteur gaussien et que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.

Exercice 10 – Moyenne de variables de Cauchy

Soit \((X_k)\) une suite i.i.d. de densité \(x \mapsto \dfrac{1}{\pi(1 + x^2)}\). On admet que \(\varphi_{X_1}(t) = e^{-|t|}\).

1. Montrer que \(X_1\) n’est pas intégrable.
2. Prouver ensuite que \(\bar{X}_n = (X_1 + \dots + X_n)/n\) a la même loi que \(X_1\).
3. En déduire que \(\bar{X}_n\) ne converge en probabilité vers aucune constante.
4. Étudier la convergence en loi, puis en probabilité, de \(S_n/n^2\), où \(S_n = X_1 + \dots + X_n\).

Exercice 11 – Loi géométrique renormalisée

Soit \(\lambda > 0\) et, pour \(n > \lambda\), une variable \(X_n\) de loi géométrique de paramètre \(p_n = \lambda/n\), à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\).

1. Montrer que \(\varphi_{X_n}(t) = \dfrac{p_ne^{it}}{1 – (1 – p_n)e^{it}}\).
2. Établir ensuite que \(X_n/n\) converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
3. Interpréter ce résultat en termes de temps d’attente.

Exercice 12 – La bosse glissante

L’espace est \(\Omega = [0, 1[\), avec la mesure de Lebesgue comme probabilité. On décompose chaque entier \(n \geq 1\) en \(n = 2^k + j\), où les entiers \(k \geq 0\) et \(0 \leq j < 2^k\) sont uniques. On pose \(X_n = \mathbf{1}_{[j2^{-k}, (j+1)2^{-k}[}\). La figure représente quelques termes de la suite.

1. Montrer que \(X_n \to 0\) en probabilité et dans \(L^p\) pour tout \(p \geq 1\).
2. Vérifier ensuite que, pour tout \(\omega \in \Omega\), la suite \((X_n(\omega))\) ne converge pas.
3. Exhiber une sous-suite qui converge presque sûrement vers \(0\).
4. On pose \(Y_n = 2^kX_n\). Montrer que \(Y_n \to 0\) en probabilité, mais pas dans \(L^1\).

Exercice 13 – Convergence en loi vers une constante

1. Soit \(c \in \mathbb{R}\). Montrer que si \(X_n\) converge en loi vers la constante \(c\), alors \(X_n \to c\) en probabilité.
2. Soit \(X\) de loi de Bernoulli de paramètre \(1/2\) et \(X_n = 1 – X\) pour tout \(n\). Montrer que \(X_n \to X\) en loi, mais pas en probabilité.
3. Soit \(X_n \sim \mathcal{N}(1, 1/n)\). Montrer par le théorème de Lévy que \(X_n\) converge en loi vers \(1\), puis conclure à une convergence en probabilité.

Exercice 14 – Somme de 400 variables uniformes

Soit \(U_1, \dots, U_{400}\) indépendantes, uniformes sur \([0, 1]\), et \(S = U_1 + \dots + U_{400}\). On donne \(\Phi(1{,}73) \approx 0{,}958\), où \(\Phi\) est la fonction de répartition de \(\mathcal{N}(0, 1)\).

1. Calculer \(\mathbb{E}[S]\) et \(\operatorname{Var}(S)\).
2. Donner une valeur approchée de \(\mathbb{P}(S \geq 210)\) par le théorème central limite.
3. Comparer avec la majoration de \(\mathbb{P}(|S – 200| \geq 10)\) fournie par Bienaymé-Tchebychev.
4. Déterminer un réel \(s\) tel que \(\mathbb{P}(S \leq s) \approx 0{,}95\), sachant que \(\Phi(1{,}645) \approx 0{,}95\).

Exercice 15 – Intervalle de confiance pour une proportion

Dans un sondage sur \(n = 1\,600\) personnes tirées au hasard, \(752\) se déclarent favorables à un projet. On modélise les réponses par des variables de Bernoulli indépendantes de paramètre inconnu \(p\), et l’on note \(F_n\) la fréquence observée.

1. Montrer, à l’aide du théorème central limite et de l’inégalité \(p(1 – p) \leq 1/4\), que l’intervalle \(\left[F_n – \frac{0{,}98}{\sqrt{n}}, F_n + \frac{0{,}98}{\sqrt{n}}\right]\) contient \(p\) avec une probabilité asymptotiquement au moins égale à \(0{,}95\). On donne \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\).
2. Calculer cet intervalle pour le sondage.
3. Combien de personnes faudrait-il interroger pour obtenir une demi-largeur d’au plus \(0{,}01\) ?

Exercice 16 – Records d’une suite exponentielle

Soit \((X_n)_{n \geq 1}\) une suite i.i.d. de loi exponentielle de paramètre \(1\).

1. Calculer \(\mathbb{P}(X_n > c\ln n)\) pour \(c > 0\) et \(n \geq 2\).
2. Montrer que, pour \(c > 1\), presque sûrement \(X_n \leq c\ln n\) à partir d’un certain rang.
3. Établir que l’événement \(\{X_n > \ln n\}\) se réalise pour une infinité de \(n\), avec probabilité \(1\).
4. En déduire que \(\displaystyle\limsup_{n \to +\infty} \frac{X_n}{\ln n} = 1\) presque sûrement.

Exercice 17 – Fréquence d’un chiffre dans un réel au hasard

Soit \(U\) uniforme sur \([0, 1[\) et \(D_k\) le \(k\)-ième chiffre de son développement décimal propre, défini par \(D_k = \lfloor 10^kU \rfloor – 10\lfloor 10^{k-1}U \rfloor\).

1. Montrer que, pour tous chiffres \(d_1, \dots, d_k\), on a \(\mathbb{P}(D_1 = d_1, \dots, D_k = d_k) = 10^{-k}\). En déduire que les \(D_k\) sont i.i.d. uniformes sur \(\{0, \dots, 9\}\).
2. Soit \(N_n\) le nombre de chiffres égaux à \(7\) parmi \(D_1, \dots, D_n\). Montrer que \(N_n/n \to 1/10\) presque sûrement.
3. Donner une valeur approchée de \(\mathbb{P}(N_{10\,000} \geq 1\,060)\). On donne \(\Phi(2) \approx 0{,}977\).

Pour approfondir

Exercice 18 – Lemme de Slutsky et TCL autonormalisé

Soit \((X_n)\) et \((Y_n)\) deux suites de variables définies sur un même espace, avec \(X_n \to X\) en loi et \(Y_n \to c\) en probabilité, où \(c\) est une constante.

1. Montrer que, pour tout réel \(t\), \(|\varphi_{X_n + Y_n}(t) – \varphi_{X_n + c}(t)| \leq \mathbb{E}\left[\min(2, |t|\,|Y_n – c|)\right]\).
2. En déduire que \(X_n + Y_n \to X + c\) en loi.
3. On admet de même que \(X_nY_n \to cX\) en loi. Soit \((Z_k)\) i.i.d. de carré intégrable, de moyenne \(m\) et de variance \(\sigma^2 > 0\). On pose \(\hat{\sigma}_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} Z_k^2 – \bar{Z}_n^2\). Montrer que \(\hat{\sigma}_n \to \sigma\) presque sûrement.
4. En déduire que \(\sqrt{n}\,(\bar{Z}_n – m)/\hat{\sigma}_n\) converge en loi vers \(\mathcal{N}(0, 1)\), et expliquer l’intérêt statistique de ce résultat.

Exercice 19 – La méthode delta

Soit \((X_k)\) i.i.d. de carré intégrable, de moyenne \(m\) et de variance \(\sigma^2 > 0\), et \(g\) une fonction de classe \(C^1\) sur un intervalle ouvert \(I\) contenant \(m\) et les valeurs des \(X_k\). On utilise librement le lemme de Slutsky de l’exercice précédent.

1. Montrer qu’il existe une variable \(\xi_n\), comprise entre \(\bar{X}_n\) et \(m\), telle que \(g(\bar{X}_n) – g(m) = g^{\prime}(\xi_n)(\bar{X}_n – m)\), puis que \(g^{\prime}(\xi_n) \to g^{\prime}(m)\) en probabilité.
2. En déduire que \(\sqrt{n}\,(g(\bar{X}_n) – g(m)) \to \mathcal{N}(0, g^{\prime}(m)^2\sigma^2)\) en loi.
3. Application : les \(X_k\) suivent la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). Déterminer la loi limite de \(\sqrt{n}\,(1/\bar{X}_n – \lambda)\).

Exercice 20 – Produit de cosinus et loi uniforme

Soit \((\varepsilon_k)_{k \geq 1}\) une suite i.i.d. de loi uniforme sur \(\{-1, 1\}\) et \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k 2^{-k}\).

1. Montrer que \(\varphi_{S_n}(t) = \prod_{k=1}^{n} \cos(t/2^k)\).
2. Puis établir par récurrence que \(\sin t = 2^n \sin(t/2^n)\prod_{k=1}^{n}\cos(t/2^k)\).
3. En déduire que \(S_n\) converge en loi vers la loi uniforme sur \([-1, 1]\).
4. Montrer que \(S_n\) converge presque sûrement vers une variable \(S\), et préciser la loi de \(S\). Que peut-on en déduire sur les chiffres binaires d’une variable uniforme sur \([0, 1]\) ?

La figure du corrigé compare \(\varphi_{S_n}\) à la limite pour quelques valeurs de \(n\).

Exercice 21 – Problème – Autour de la loi de Laplace

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, de loi exponentielle de paramètre \(1\), et \(Z = X – Y\).

1. Calculer \(\varphi_Z\).
2. Montrer que \(Z\) admet la densité \(f(z) = \frac{1}{2}e^{-|z|}\) sur \(\mathbb{R}\), et vérifier le résultat de la question 1 par un calcul direct.
3. Déduire de \(\varphi_Z\) l’espérance et la variance de \(Z\), ainsi que \(\mathbb{E}[|Z|]\) par un calcul direct.
4. Soit \((Z_k)\) une suite i.i.d. de même loi que \(Z\) et \(T_n = (Z_1 + \dots + Z_n)/\sqrt{2n}\). Montrer directement, sans invoquer le théorème central limite, que \(\varphi_{T_n}(t) \to e^{-t^2/2}\). Conclure.
5. Donner une valeur approchée de \(\mathbb{P}(|Z_1 + \dots + Z_{200}| \geq 30)\). On donne \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}933\).
6. Déterminer les limites presque sûres de \(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}|Z_k|\) et de \(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Z_k^2\).

Pour aller plus loin

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