Quiz modes de convergence aléatoire en L3

Loi forte des grands nombres, \(X_i\) i.i.d. intégrables : \(\frac{S_n}{n}\) converge

A.presque sûrement vers \(E(X_1)\)B.en loi vers \(\mathcal{N}(0,1)\)C.presque sûrement vers \(0\)D.dans \(L^2\) vers \(E(X_1)\)

\((X,Y)\) est un vecteur gaussien et \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\). Alors :

A.\(X=Y\) presque sûrementB.\(X+Y\) n’est plus gaussienneC.seule la non-corrélation est acquiseD.\(X\) et \(Y\) sont indépendantes

Théorème de Lévy : quelle propriété de la limite \(\varphi\) des \(\varphi_{X_n}\) faut-il vérifier ?

A.sa continuité en \(0\)B.sa dérivabilité partoutC.son intégrabilité sur \(\mathbb{R}\)D.sa positivité

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz entraîne les réflexes de probabilités avancées : écrire une fonction caractéristique usuelle, reconnaître une loi normale à partir de la sienne, transformer une variable par une application affine. Il te fait aussi hiérarchiser les modes de convergence, utiliser les deux lemmes de Borel-Cantelli avec leurs hypothèses et normaliser correctement une somme dans le théorème central limite.

Passe-le juste avant un TD ou une colle : chaque question demande moins d’une minute si tu connais les énoncés exacts. Pour chaque erreur, recopie l’énoncé du théorème avec toutes ses hypothèses, puis cherche un contre-exemple quand l’une d’elles manque. Refais-le avant le partiel pour vérifier que l’indépendance, l’intégrabilité et la continuité en zéro te viennent spontanément.

Aller plus loin sur modes de convergence aléatoire

Une erreur ? Reprends le cours de L3 de maths, les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L3 de maths.

Questions fréquentes : modes de convergence aléatoire en L3

Pourquoi la convergence en loi est-elle la plus faible ?

Elle ne porte que sur les lois des variables et pas sur les variables elles-mêmes, qui peuvent même être définies sur des espaces différents. Toutes les autres convergences l’impliquent, mais la réciproque n’est vraie que vers une constante.

Comment utiliser la fonction caractéristique pour identifier une loi ?

Deux variables ayant la même fonction caractéristique ont la même loi. On calcule donc celle de la variable étudiée et on la compare à une forme connue, par exemple \(e^{-\sigma^2t^2/2}\) pour une gaussienne centrée.

Quand faut-il l’indépendance dans Borel-Cantelli ?

Le premier lemme, qui conclut à une probabilité nulle quand la série converge, n’en a pas besoin. Le second, qui conclut à une probabilité égale à 1 quand la série diverge, exige des événements indépendants.

Quiz modes de convergence aléatoire en L3 de maths

Fonction caractéristique d’une variable de Bernoulli de paramètre \(p\) ?

Si \(\varphi_X(t)=e^{-2t^2}\), quelle est la loi de \(X\) ?

Pour des réels \(a,b\), que vaut \(\varphi_{aX+b}(t)\) ?

Quelle implication est vraie sans hypothèse supplémentaire ?

Si \(\sum P(A_n)\) converge, la probabilité qu’une infinité de \(A_n\) se réalisent vaut :

Pour obtenir \(P(\limsup A_n)=1\) quand \(\sum P(A_n)=+\infty\), il faut en plus :

\(X_i\) i.i.d. de moyenne 2 et de variance 9. Par quoi diviser \(S_n-2n\) pour appliquer le TCL ?