Quiz lois, intégrales et variables indépendantes en L3

Si \(\operatorname{Cov}(X,Y) = 0\), que peut-on affirmer ?

A.\(X\) et \(Y\) sont indépendantesB.\(E[XY] = 0\)C.\(\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}X + \operatorname{Var}Y\)D.\(\operatorname{Var}(X+Y) = 0\)

La densité de \(\varphi(X,Y)\), pour \(\varphi\) difféomorphisme, fait intervenir…

A.la valeur absolue du jacobien de \(\varphi^{-1}\)B.le jacobien de \(\varphi\) sans valeur absolueC.la trace de la différentielle de \(\varphi\)D.le déterminant de la matrice de covariance

\(X\), \(Y\) indépendantes de loi exponentielle de paramètre 1. Loi de \(\min(X,Y)\) ?

A.exponentielle de paramètre 1/2B.exponentielle de paramètre 2C.exponentielle de paramètre 1D.uniforme sur \([0, 2]\)

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express passe en revue les automatismes des probabilités vues comme théorie de la mesure : caractériser une loi par la fonction muette, reconnaître la loi d'une transformation simple, écrire la densité d'un couple de variables indépendantes et utiliser le jacobien dans un changement de variables. Il revient aussi sur la covariance, la formule de l'espérance par la queue de distribution et l'espérance conditionnelle dans les cas élémentaires.

Fais-le juste avant un TD ou un partiel de probabilités, en visant moins de cinq minutes. Une hésitation sur la valeur absolue du jacobien, ou sur ce qu'une covariance nulle permet vraiment de conclure, signale une notion à revoir dans ton cours. Refais ensuite le quiz pour fixer ces réflexes avant d'attaquer des calculs de lois plus longs.

Aller plus loin sur lois, intégrales et variables indépendantes

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Questions fréquentes : lois, intégrales et variables indépendantes en L3

Une covariance nulle prouve-t-elle l'indépendance ?

Non. Si \(X\) suit une loi symétrique centrée et \(Y = X^2\), la covariance est nulle alors que \(Y\) est une fonction de \(X\).

Quelles fonctions tester avec la méthode de la fonction muette ?

Il suffit de vérifier l'égalité des espérances pour toutes les fonctions mesurables bornées, ou seulement pour les fonctions continues à support compact.

Pourquoi passer par le jacobien de la réciproque ?

La densité cherchée s'évalue en \((u,v)\) : on remplace \((x,y)\) par \(\varphi^{-1}(u,v)\), et le facteur de changement de variables est alors la valeur absolue du jacobien de \(\varphi^{-1}\).

Quiz lois, intégrales et variables indépendantes en L3 de maths

Fonction muette : \(X\) suit la loi \(\mu\) si \(E[h(X)] = \int h \, d\mu\) pour toute fonction \(h\)…

\(X\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\). Loi de \(-\ln X\) ?

\(X\) suit \(\mathcal{N}(0,1)\). Loi de \(3X + 2\) ?

Si \(\operatorname{Cov}(X,Y) = 0\), que peut-on affirmer ?

\(X\), \(Y\) indépendantes de densités \(f\) et \(g\). Densité du couple ?

La densité de \(\varphi(X,Y)\), pour \(\varphi\) difféomorphisme, fait intervenir…

Pour \(X \geqslant 0\), \(E[X]\) est égale à…

Pour un événement \(B\) avec \(P(B) \gt 0\), \(E[X \mid B] =\) ?

Que vaut \(E\big[E[X \mid Y]\big]\) ?

\(X\), \(Y\) indépendantes de loi exponentielle de paramètre 1. Loi de \(\min(X,Y)\) ?

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Aller plus loin sur lois, intégrales et variables indépendantes

Questions fréquentes : lois, intégrales et variables indépendantes en L3