Quiz espaces de Hilbert et analyse de Fourier en L3

\(p\) projeté de \(x\) sur un convexe fermé non vide \(C\) : pour tout \(c\in C\)…

A.\(\langle x-p,\,c-p\rangle = 0\)B.\(\langle x-p,\,c-p\rangle \geq 0\)C.\(\langle x,\,c\rangle \leq \langle p,\,c\rangle\)D.\(\langle x-p,\,c-p\rangle \leq 0\)

Riesz : toute forme linéaire continue \(\varphi\) sur \(H\) s’écrit \(\varphi(x)=\) …

A.\(\langle a,x\rangle\) avec \(a\) non uniqueB.\(\|a\|\,\|x\|\) avec \(a\) uniqueC.\(\langle a,x\rangle\) avec \(a\) uniqueD.\(\langle x,x\rangle\) multiplié par une constante

Parseval pour \(f\in L^2\) périodique de coefficients de Fourier \(\hat{f}_k\) :\(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2=\) …

A.\(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|\hat{f}_k|^2\)B.\(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|\hat{f}_k|\)C.\(|\hat{f}_0|^2\)D.\(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_k^{\,2}\)

Pour \(\langle f,g\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f\,\overline{g}\), une base hilbertienne de \(L^2\) est…

A.les \(t\mapsto e^{ikt}\), \(k\) entier naturelB.les \(t\mapsto \cos(kt)\), \(k\) entier naturelC.les \(t\mapsto e^{ikt}\), \(k\) entier relatifD.les \(t\mapsto t^k\), \(k\) entier naturel

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz de licence 3 rassemble les réflexes de l’analyse hilbertienne : caractériser la projection sur un convexe fermé par une inégalité de produit scalaire, ne pas oublier les hypothèses qui la rendent possible, représenter une forme linéaire continue par le théorème de Riesz, majorer des coefficients par Bessel puis conclure avec l’identité de Parseval dans une base hilbertienne. La fin du quiz porte sur les séries de Fourier dans L², le théorème de Fejér et un calcul de transformée de Fourier dans L¹.

Fais-le avant un TD ou un examen d’analyse fonctionnelle : chaque réponse tient en une formule ou une hypothèse. Si tu hésites sur le sens d’une inégalité ou sur la convention de la transformée, réécris la définition puis refais le calcul à la main. Revenir au quiz quelques jours plus tard permet de vérifier que ces résultats sont vraiment mémorisés.

Aller plus loin sur espaces de Hilbert et analyse de Fourier

Une erreur ? Reprends le cours de L3 de maths, les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L3 de maths.

Questions fréquentes : espaces de Hilbert et analyse de Fourier en L3

Pourquoi le convexe doit-il être fermé pour projeter ?

La preuve construit une suite minimisante, de Cauchy grâce à l’identité du parallélogramme. La complétude de l’espace donne une limite, et la fermeture garantit qu’elle appartient encore au convexe.

Quelle différence entre Bessel et Parseval ?

Bessel vaut pour toute famille orthonormée : la somme des carrés des coefficients est majorée par le carré de la norme. Parseval est l’égalité, obtenue exactement lorsque la famille est une base hilbertienne.

Les sommes partielles de Fourier d’une fonction continue convergent-elles uniformément ?

Non en général : du Bois-Reymond a exhibé une fonction continue dont les sommes partielles divergent en un réel donné. Les moyennes de Cesàro de ces sommes, dites de Fejér, convergent en revanche uniformément.

Quiz espaces de Hilbert et analyse de Fourier en L3 de maths

\(p\) projeté de \(x\) sur un convexe fermé non vide \(C\) : pour tout \(c\in C\)…

Dans un Hilbert, la projection sur \(C\) existe et est unique dès que \(C\) est…

Riesz : toute forme linéaire continue \(\varphi\) sur \(H\) s’écrit \(\varphi(x)=\) …

Norme de la forme linéaire \(x\mapsto\langle y_0,x\rangle\) sur \(H\) ?

Bessel, \((e_n)\) orthonormée : \(\sum_n |\langle x,e_n\rangle|^2 \leq\) …

Parseval pour \(f\in L^2\) périodique de coefficients de Fourier \(\hat{f}_k\) :\(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2=\) …

Pour \(\langle f,g\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f\,\overline{g}\), une base hilbertienne de \(L^2\) est…

Fejér : pour \(f\) continue et \(2\pi\)-périodique, les sommes de Fejér…

Avec \(\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-ix\xi}\,dx\), la transformée de \(e^{-|x|}\) vaut…

Riemann-Lebesgue : pour \(f\in L^1(\mathbb{R})\), quand \(|\xi|\to+\infty\), \(\hat{f}(\xi)\) tend vers…

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Aller plus loin sur espaces de Hilbert et analyse de Fourier

Questions fréquentes : espaces de Hilbert et analyse de Fourier en L3