Quiz singularités, pôles et calcul de résidus en L3

\(\gamma\) lacet simple direct, \(f\) holomorphe sauf en des pôles intérieurs. \(\oint_\gamma f\) vaut :

A.la somme des résidusB.\(i\pi\) fois la somme des résidusC.\(2i\pi\) fois la somme des résidusD.\(2i\pi\) fois le produit des résidus

\(f\) méromorphe, sans zéro ni pôle sur \(\gamma\) simple direct. \(\frac{1}{2i\pi}\oint_\gamma \frac{f^{\prime}}{f}\) compte :

A.zéros plus pôlesB.les zéros seulementC.zéros moins pôles, multiplicités comprisesD.la somme des résidus de \(f\)

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express couvre les gestes à automatiser en analyse complexe de troisième année. Tu dois classer une singularité isolée en un coup d'œil, lire un résidu comme coefficient d'un développement de Laurent, et appliquer le théorème des résidus à une intégrale sur la droite réelle. Les dernières questions demandent de calculer un indice, d'interpréter le principe de l'argument et de compter des zéros dans un disque grâce au théorème de Rouché.

Fais-le avant un TD ou un partiel, sans brouillon si possible : chaque réponse s'obtient en moins d'une minute. Une erreur vient souvent d'un ordre de pôle mal évalué, d'un facteur 2iπ oublié ou d'une domination mal choisie dans Rouché. Note la question ratée, refais le calcul sur papier, puis reprends le quiz quelques jours plus tard pour vérifier que le réflexe est stable.

Aller plus loin sur singularités, pôles et calcul de résidus

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Questions fréquentes : singularités, pôles et calcul de résidus en L3

Comment distinguer pôle et singularité essentielle ?

On regarde la partie principale du développement de Laurent autour du point : si elle n'a qu'un nombre fini de termes, c'est un pôle ; si elle en a une infinité, la singularité est essentielle. Le module tend vers l'infini près d'un pôle, pas près d'une singularité essentielle.

Faut-il toujours développer en série de Laurent pour trouver un résidu ?

Non. Pour un pôle simple ou double, des formules directes à base de limites ou de dérivées suffisent. Le développement devient utile surtout pour les singularités essentielles.

Quand utiliser Rouché plutôt que le principe de l'argument ?

Rouché sert dès qu'on peut dominer le reste d'un polynôme par un terme simple sur le bord d'un disque. Il évite tout calcul d'intégrale et donne directement le nombre de zéros.

Quiz singularités, pôles et calcul de résidus en L3 de maths

Résidu de \(\frac{1}{z^2+1}\) au point \(i\) ?

En \(0\), la fonction \(z \mapsto \frac{\sin z}{z}\) présente :

En \(0\), la fonction \(z \mapsto e^{1/z}\) présente :

Résidu de \(z^2 e^{1/z}\) en \(0\) ?

Résidu de \(\frac{e^z}{z^2}\) en \(0\) ?

\(\gamma\) lacet simple direct, \(f\) holomorphe sauf en des pôles intérieurs. \(\oint_\gamma f\) vaut :

Par les résidus, \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+1)^2}\) vaut :

Le cercle unité parcouru deux fois dans le sens direct a pour indice en \(0\) :

Nombre de zéros de \(z^7 + 5z^2 + 1\) dans le disque unité ouvert ?

\(f\) méromorphe, sans zéro ni pôle sur \(\gamma\) simple direct. \(\frac{1}{2i\pi}\oint_\gamma \frac{f^{\prime}}{f}\) compte :

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

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Questions fréquentes : singularités, pôles et calcul de résidus en L3