Quiz réflexes d’analyse complexe en L3

Quiz réflexes d’analyse complexe en L3 de maths

Dix questions courtes pour tester tes automatismes sur les fonctions holomorphes : Cauchy-Riemann, intégrales sur un cercle, Liouville, zéros isolés et rayon de convergence.

\(f\) est entière et \(f(\frac{1}{n})=0\) pour tout \(n\geqslant 1\). Alors :

A.\(f\) est identiquement nulleB.\(f\) a un pôle en \(0\)C.\(f\) est un polynôme non nulD.\(f\) ne s’annule qu’en ces points

\(f\) non constante, holomorphe près d’un disque fermé. Où \(|f|\) atteint-il son maximum sur ce disque ?

A.sur le cercle frontièreB.au centre du disqueC.en un zéro de \(f\)D.en un point intérieur

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz fait travailler les automatismes d’analyse complexe de troisième année : reconnaître une fonction holomorphe, retrouver une partie imaginaire grâce aux équations de Cauchy-Riemann, calculer une intégrale sur un cercle en regardant simplement où se trouvent les singularités. Tu y appliques aussi la formule intégrale de Cauchy, le théorème de Liouville, le principe des zéros isolés et le principe du maximum.

Fais-le en dix minutes avant un TD ou une colle, sans poser de paramétrage : la plupart des réponses se lisent sur un dessin du contour et des points singuliers. Pour chaque erreur, refais le schéma et écris l’hypothèse exacte du théorème utilisé. Repasse-le avant le partiel pour vérifier que le rayon de convergence d’un développement en série se lit désormais d’un coup d’œil.

Aller plus loin sur réflexes d’analyse complexe

Une erreur ? Reprends le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L3 de maths.

Questions fréquentes : réflexes d’analyse complexe en L3

Comment savoir vite si une intégrale sur un cercle est nulle ?

Repère les points où la fonction n’est pas holomorphe. S’ils sont tous à l’extérieur du disque, le théorème de Cauchy donne une intégrale nulle ; sinon, utilise la formule intégrale de Cauchy ou les résidus.

Pourquoi \(z\mapsto\overline{z}\) n’est-elle pas holomorphe ?

Avec \(P=x\) et \(Q=-y\), la dérivée de \(P\) en \(x\) vaut 1 alors que celle de \(Q\) en \(y\) vaut \(-1\) : la première équation de Cauchy-Riemann n’est vérifiée en aucun point.

Que dit le théorème de Liouville et à quoi sert-il ?

Une fonction entière et bornée sur tout \(\mathbb{C}\) est constante. Il fournit notamment une preuve courte du théorème de d’Alembert-Gauss, en l’appliquant à l’inverse d’un polynôme sans racine.

Quiz réflexes d’analyse complexe en L3 de maths

Laquelle de ces fonctions est holomorphe sur \(\mathbb{C}\) tout entier ?

\(f\) est entière, \(f(0)=0\) et \(\mathrm{Re}\,f=x^2-y^2\). Que vaut \(\mathrm{Im}\,f\) ?

Sur le cercle \(|z|=3\) parcouru une fois dans le sens direct, \(\int\frac{\mathrm{d}z}{z-2}\) vaut :

Sur le cercle \(|z|=2\) (sens direct), que vaut \(\int\frac{e^z}{z-1}\,\mathrm{d}z\) ?

Sur le cercle \(|z|=1\) (sens direct), que vaut \(\int\frac{\cos z}{z-3}\,\mathrm{d}z\) ?

Une fonction entière telle que \(|f(z)|\leqslant 5\) pour tout \(z\) est :