Maths PDF : quiz de maths de L3 pour réviser en ligne et s'auto-évaluer
Quiz de maths›L3›Existence, explosion et stabilité

Quiz existence, explosion et stabilité en L3 de maths

Dix questions rapides pour vérifier tes réflexes sur les équations différentielles : unicité, explosion en temps fini, Gronwall, exponentielle de matrice et stabilité.

\(y^{\prime} = y^2\), \(y(0) = 2\) : en quel temps la solution explose-t-elle ?

Pourquoi \(y^{\prime} = 3\,y^{2/3}\), \(y(0) = 0\) admet-il plusieurs solutions ?

Une solution maximale ne vit que sur \([0, T^*[\), \(T^*\) fini. Que se passe-t-il près de \(T^*\) ?

\(u \geq 0\) continue, \(u(t) \leq 2 + \int_0^t 3u(s)\,ds\). Gronwall donne \(u(t) \leq\) :

Quelle hypothèse sur \(f\) rend toutes les solutions maximales globales ?

\(A\) vérifie \(A^2 = 0\). Que vaut \(\exp(tA)\) ?

Wronskien de deux solutions de \(y^{\prime\prime} + 6y^{\prime} - 7y = 0\) valant \(1\) en \(0\) ?

Linéarisé en un équilibre de valeurs propres \(-1\) et \(-3\) : l’équilibre est

Système plan linéaire de valeurs propres \(2\) et \(-1\) : nature de l’origine ?

Euler explicite pour \(y^{\prime} = y\), \(y(0) = 1\), pas \(0{,}5\) : valeur approchée de \(y(1)\) ?

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express passe en revue les réflexes de la théorie des équations différentielles en licence : repérer l’hypothèse qui assure l’unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz, prévoir une explosion en temps fini, appliquer le lemme de Gronwall, utiliser le théorème des bouts pour montrer qu’une solution est globale. Tu y calcules aussi une exponentielle de matrice, un wronskien et un pas de la méthode d’Euler.

Les dernières questions te demandent de juger la stabilité d’un point d’équilibre à partir des valeurs propres du linéarisé, puis d’interpréter d’un portrait de phase. Réponds de tête, puis refais chaque calcul au brouillon : une erreur de signe sur un wronskien ou une valeur propre suffit à tout fausser. Ce quiz est un bon échauffement avant un TD ou un examen d’analyse, et un moyen de vérifier que tu sais citer le bon théorème au bon moment.

Aller plus loin sur existence, explosion et stabilité

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Questions fréquentes : existence, explosion et stabilité en L3

Quelle stratégie pour prouver qu’une solution vit sur tout \(\mathbb{R}\) ?

Suppose la borne droite \(T^*\) finie : elle forcerait la solution à quitter chaque compact. Il suffit alors d’une estimation a priori, que Gronwall fournit souvent, pour obtenir une contradiction.

La continuité de \(f\) suffit-elle pour l’unicité ?

Non. Le théorème de Peano donne l’existence avec la seule continuité, mais l’unicité demande que \(f\) soit localement lipschitzienne par rapport à la variable d’état.

La linéarisation suffit-elle toujours pour conclure sur la stabilité ?

Non. Elle conclut quand toutes les valeurs propres du linéarisé ont une partie réelle non nulle ; si l’une est imaginaire pure, il faut une autre méthode, par exemple une fonction de Lyapunov.

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