Quiz extrema sous contrainte et convexité en L3

Quiz extrema sous contrainte et convexité en L3 de maths

Dix questions rapides pour vérifier que tu sais classer un point critique, poser une condition de Lagrange et justifier l'existence d'un minimum.

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express porte sur les réflexes d'optimisation de troisième année : classer un point critique grâce à la hessienne et aux notations de Monge, reconnaître le cas où le test d'ordre deux ne conclut pas, poser une condition de Lagrange avec la bonne hypothèse sur la contrainte, et choisir l'argument d'existence adapté, compacité ou coercivité. Trois questions vérifient ce que la convexité apporte : critère par la hessienne et caractère global d'un minimum.

Chaque réponse s'obtient en une ligne de calcul ou par un réflexe de cours. Fais le quiz avant un TD d'optimisation, puis la veille de l'examen. Une erreur sur l'existence d'un extremum montre souvent qu'un argument topologique a été oublié ; une erreur sur Lagrange indique une hypothèse de régularité passée sous silence. Reprends le point concerné dans ton cours avant de recommencer.

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Une erreur ? Reprends le cours de L3 de maths, les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L3 de maths.

Questions fréquentes : extrema sous contrainte et convexité en L3

Les conditions de Lagrange suffisent-elles à trouver un extremum ?

Non, elles sont seulement nécessaires. Elles donnent des candidats ; il faut ensuite prouver l'existence d'un extremum, souvent par compacité de l'ensemble contraint, puis comparer les valeurs de f en ces candidats.

Qu'est-ce qu'une fonction coercive ?

Sur un espace de dimension finie, f est coercive si f(x) tend vers plus l'infini quand la norme de x tend vers plus l'infini. Une fonction continue et coercive atteint un minimum global.

Pourquoi la convexité simplifie-t-elle la recherche d'un minimum ?

Pour une fonction convexe et différentiable, tout point critique est un minimum global. Si la convexité est stricte, ce minimum est de plus atteint en un seul point.

Quiz extrema sous contrainte et convexité en L3 de maths

Pour \(f(x,y)=3xy\), l'origine est :

En un point critique, avec les notations de Monge, \(rt-s^2\) et r sont strictement positifs. On a :

En un point critique, on trouve \(rt-s^2=0\). Que peut-on dire ?

Valeur maximale de \(xy\) sous la contrainte \(x+y=6\) ?

Pour appliquer Lagrange en un point de la contrainte \(g=0\), il faut surtout :

f est continue sur le cercle unité. L'existence d'un maximum vient :

\(f(x,y)=x^4+y^4-4xy\) admet un minimum global sur le plan car elle est :

f est convexe et différentiable sur un ouvert convexe, avec un gradient nul en a. Alors a est :

Une fonction C2 sur un ouvert convexe est convexe si et seulement si sa hessienne est partout :

V(c) est le maximum de f sous la contrainte g = c. Le multiplicateur de Lagrange s'interprète comme :

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