Quiz difféomorphismes et équations implicites en L3

Pour appliquer l'inversion locale en \( a \) à \( f \) de classe \( C^1 \), on vérifie que :

A.\( \mathrm{d}f(a) \) est inversibleB.\( \mathrm{d}f(a) \) est nulleC.f est injective sur tout l'ouvertD.\( f(a)=0 \)

Restreinte au plan privé de l'origine, \( g \) réalise-t-elle un difféomorphisme sur son image ?

A.Oui, car son jacobien ne s'y annule pasB.Non, car g(-x,-y) = g(x,y)C.Oui, par inversion locale en chaque pointD.Non, car son jacobien s'y annule

Si \( \mathrm{d}f(x) \) est inversible en tout point de l'ouvert, que faut-il ajouter pour un difféomorphisme sur l'image ?

A.la surjectivité de dfB.le caractère borné de fC.la continuité de fD.l'injectivité de f

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz rapide fait travailler les automatismes du calcul différentiel avancé : vérifier l'hypothèse de l'inversion locale, calculer un jacobien de tête, comprendre pourquoi un difféomorphisme local peut ne pas être global, et dériver une fonction définie implicitement. Il aborde aussi les sous-variétés de \( \mathbb{R}^n \), avec la condition sur le gradient et le calcul d'un espace tangent.

Fais-le avant une colle ou un TD : vise un dix sur dix en quelques minutes, ces vérifications devant devenir automatiques. Chaque correction apparaît immédiatement, ce qui te permet d'identifier l'hypothèse que tu oublies. Avant un partiel, rédige en complément une preuve complète qu'une application donnée est un difféomorphisme, en séparant clairement le caractère local, l'injectivité et l'ouverture de l'image.

Aller plus loin sur difféomorphismes et équations implicites

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Questions fréquentes : difféomorphismes et équations implicites en L3

Pourquoi un jacobien jamais nul ne suffit-il pas pour un difféomorphisme global ?

Le jacobien non nul donne seulement l'inversibilité locale autour de chaque point. Il faut en plus que l'application soit injective pour obtenir une bijection, l'inverse étant alors automatiquement de classe C1.

Comment dériver une fonction définie implicitement sans la calculer ?

On dérive l'identité F(x, φ(x)) = 0 par rapport à x avec la règle de la chaîne, puis on isole φ prime : on obtient moins la dérivée partielle en x divisée par la dérivée partielle en y.

Quel lien entre gradient et espace tangent d'une hypersurface ?

En un point où le gradient de F est non nul, l'espace tangent à l'ensemble F = 0 est l'orthogonal de ce gradient. C'est un hyperplan vectoriel qu'on translate au point pour obtenir le plan tangent affine.

Quiz difféomorphismes et équations implicites en L3 de maths

Pour appliquer l'inversion locale en \( a \) à \( f \) de classe \( C^1 \), on vérifie que :

Déterminant jacobien de \( g(x,y)=(x^2-y^2,\,2xy) \) :

Restreinte au plan privé de l'origine, \( g \) réalise-t-elle un difféomorphisme sur son image ?

Si \( \mathrm{d}f(x) \) est inversible en tout point de l'ouvert, que faut-il ajouter pour un difféomorphisme sur l'image ?

Près de \( (1,1) \), \( x^2+xy+y^3=3 \) définit \( y=\varphi(x) \). Que vaut \( \varphi^{\prime}(1) \) ?

Pour écrire \( F(x,y)=0 \) sous la forme \( y=\varphi(x) \) près de \( (a,b) \), on exige :

Espace tangent vectoriel à la sphère \( x^2+y^2+z^2=9 \) au point \( (1,2,2) \) :

L'ensemble \( \{F=0\} \) de \( \mathbb{R}^n \) est une hypersurface dès que :

Le cône \( x^2+y^2=z^2 \) n'est pas une sous-variété :

Avec \( f(x)=x+x^3 \) bijective sur \( \mathbb{R} \), la dérivée de \( f^{-1} \) en 2 vaut :

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

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Questions fréquentes : difféomorphismes et équations implicites en L3