Quiz calcul différentiel dans un evn en L3

Quiz calcul différentiel dans un evn en L3 de maths

Dix réflexes de troisième année pour différencier une forme quadratique, une application matricielle ou une fonctionnelle intégrale, et pour citer Schwarz et Taylor avec les bonnes hypothèses.

Hypothèse qui rend la forme bilinéaire \(d^2 g(a)\) symétrique, selon Schwarz ?

A.\(g\) de classe \(C^1\) près de \(a\)B.\(g\) de classe \(C^2\) près de \(a\)C.\(g\) continue près de \(a\)D.\(g\) lipschitzienne près de \(a\)

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express porte sur le calcul différentiel dans les espaces vectoriels normés. Tu y écris la différentielle de Fréchet de formes quadratiques, de la norme euclidienne, du carré et de l'inverse d'une matrice, puis d'une fonctionnelle définie par une intégrale. Tu révises aussi la différentielle d'une composée, le lien avec les dérivées directionnelles, les hypothèses du théorème de Schwarz et de l'inégalité des accroissements finis, et le développement local du second ordre.

Fais-le juste avant un TD ou un examen de licence 3 : chaque question demande d'écrire un développement \(f(x+h) = f(x) + L(h) + o(\|h\|)\) et de reconnaître la partie linéaire. Sur les applications matricielles, garde l'ordre des produits, car la non-commutativité est la source principale d'erreurs. Refais à la main toute question manquée en développant l'expression.

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Questions fréquentes : calcul différentiel dans un evn en L3

Quelle différence entre différentiabilité et existence des dérivées directionnelles ?

La différentiabilité exige une approximation linéaire uniforme dans toutes les directions. Une fonction peut avoir toutes ses dérivées directionnelles en un point sans y être différentiable, ni même continue.

Comment trouver vite la différentielle d'une application matricielle ?

Développe \(f(M+H)\), garde les termes de degré 1 en \(H\) en respectant l'ordre des produits, et vérifie que le reste est négligeable devant \(\|H\|\).

Pourquoi l'inégalité des accroissements finis demande-t-elle un ouvert convexe ?

La preuve intègre la différentielle le long du segment qui joint les deux points. Si ce segment sort du domaine, la majoration de la différentielle ne contrôle plus l'écart.

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\(f(x) = \langle Ax, x \rangle\) sur \(\mathbb{R}^n\). Que vaut \(df(x)(h)\) ?

Différentielle de \(x \mapsto \|x\|_2\) en \(x \neq 0\), appliquée à \(h\) ?

Différentielle de \(M \mapsto M^2\) en \(M\), appliquée à \(H\) ?

Différentielle de \(M \mapsto M^{-1}\) en \(M\) inversible, appliquée à \(H\) ?

Différentielle en \(a\) de la composée \(g \circ f\) ?

Toutes les dérivées directionnelles existent en \(a\). Donc \(f\) est différentiable en \(a\) ?

Hypothèse qui rend la forme bilinéaire \(d^2 g(a)\) symétrique, selon Schwarz ?

Hypothèse sur le domaine souvent oubliée dans l'inégalité des accroissements finis ?

Développement de Young au second ordre en \(a\) : facteur devant \(d^2f(a)(h,h)\) ?

Sur \(C([0,1])\) normé par \(\|\cdot\|_\infty\), \(\Phi(f) = \int_0^1 f^2\). Que vaut \(d\Phi(f)(h)\) ?

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

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Questions fréquentes : calcul différentiel dans un evn en L3