Quiz réduction fine et nilpotence en L3

Quiz réduction fine et nilpotence en L3 de maths

Dix questions courtes pour lire une réduite de Jordan, éviter le piège classique de Dunford et relier noyaux itérés, blocs et similitude.

La taille du plus grand bloc de Jordan associé à \(\lambda\) est :

A.Sa multiplicité dans le polynôme caractéristiqueB.La dimension de l'espace propreC.Le rang de \(u-\lambda\,\mathrm{id}\)D.Sa multiplicité dans le polynôme minimal

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express teste tes réflexes de réduction au-delà de la diagonalisation : indice d'un endomorphisme nilpotent, conditions exactes de la décomposition de Dunford, lecture du polynôme minimal et des noyaux pour reconstituer une réduite de Jordan, et limite du critère de similitude par les polynômes. Une question de dualité te fait aussi calculer une forme de la base duale.

Fais-le avant une colle ou une séance de TD d'algèbre linéaire : chaque question se règle en une minute si les énoncés sont précis, et la correction s'affiche aussitôt. Une erreur sur la partie nilpotente ou sur le nombre de blocs montre une confusion fréquente entre multiplicité algébrique, dimension du noyau et polynôme minimal. Reprends alors ces trois notions côte à côte, puis refais le quiz quelques jours plus tard. Vise 8 sur 10 avant le partiel.

Aller plus loin sur réduction fine et nilpotence

Une erreur ? Reprends le cours de L3 de maths, les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L3 de maths.

Questions fréquentes : réduction fine et nilpotence en L3

Pourquoi la partie diagonale d'une matrice triangulaire n'est-elle pas sa partie D de Dunford ?

Parce que la diagonale et la partie strictement triangulaire ne commutent pas en général. Sans commutation, ce n'est pas la décomposition de Dunford, qui est unique.

Comment compter les blocs de Jordan d'une valeur propre ?

Leur nombre est la dimension de l'espace propre associé. Les dimensions des noyaux itérés donnent ensuite combien de blocs ont une taille au moins égale à 2, 3, et ainsi de suite.

Deux matrices de même polynôme caractéristique sont-elles semblables ?

Pas forcément : la matrice nulle et un bloc nilpotent de taille 2 ont le même polynôme caractéristique. Sur \(\mathbb{C}\), il faut comparer les réduites de Jordan ou les invariants de similitude.

Quiz réduction fine et nilpotence en L3 de maths

Indice de nilpotence maximal d'une matrice nilpotente de \(\mathcal{M}_5(\mathbb{C})\) ?

Dans \(A=D+N\) avec \(D\) diagonalisable et \(N\) nilpotente, quelle condition assure l'unicité ?

Une matrice complexe de taille \(n\) a \(n\) valeurs propres distinctes. Sa partie nilpotente de Dunford vaut :

En dimension 3, le polynôme minimal de \(u\) est \((X-2)^3\). Réduite de Jordan ?

La dimension de \(\ker(u-\lambda\,\mathrm{id})\) donne :

La taille du plus grand bloc de Jordan associé à \(\lambda\) est :

\(u\) nilpotent en dimension 4, \(\dim\ker u=2\) et \(\dim\ker u^2=4\). Blocs de Jordan ?

Même polynôme caractéristique et même polynôme minimal suffisent à la similitude jusqu'en dimension :

Quelle hypothèse sur \(P\) et \(Q\) exige le lemme des noyaux ?

Dans \(\mathbb{R}^2\), base \(e_1=(1,0)\), \(e_2=(1,1)\). Que vaut la forme duale \(e_1^*\) ?

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

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Questions fréquentes : réduction fine et nilpotence en L3