QCM : Dunford et Jordan en L3 de maths

Réponse B.

Une matrice diagonale est annulée par le produit des \(X-\lambda\), chaque valeur propre distincte étant prise une seule fois. Ainsi \((A-2I)(A-3I)=0\), et aucun diviseur strict ne convient. Le piège \((X-2)^2(X-3)\) est le polynôme caractéristique : il annule \(A\) par Cayley-Hamilton, mais il n’est pas minimal. De plus, \(X-2\) oublie la valeur propre 3.

Réponse A.

Le polynôme \(X^3-X=X(X-1)(X+1)\) annule \(u\) et il est scindé à racines simples. Donc, par le lemme des noyaux, \(E=\ker u\oplus\ker(u-\mathrm{id})\oplus\ker(u+\mathrm{id})\). Cependant, rien n’oblige \(u\) à être un projecteur : \(u=-\mathrm{id}\) convient. De même, \(u=0\) montre que \(u\) n’est pas forcément inversible. Enfin, \(u=\mathrm{id}\) n’est pas nilpotent.

Réponse C.

La forme \(e_1^*\) est caractérisée par \(e_1^*(e_1)=1\) et \(e_1^*(e_2)=0\). Or \(x-y\) vaut 1 en \((1,0)\) et 0 en \((1,1)\). Le piège \((x,y)\mapsto x\) reprend la base duale canonique : il ne tient pas compte du second vecteur, et il vaut 1 en \(e_2\). Retiens donc qu’une forme duale dépend de toute la base, pas seulement du vecteur associé.

Réponse C.

Le noyau de \((u-2\,\mathrm{id})^k\) se stabilise dès que \(k\) atteint la multiplicité 3. On obtient alors le sous-espace caractéristique associé à 2, dont la dimension est la multiplicité algébrique, donc 3. Le piège 5 suppose qu’une grande puissance annule tout l’espace ; pourtant \(u-2\,\mathrm{id}\) reste inversible sur le sous-espace caractéristique de \(-1\). Les valeurs 1 et 2 concernent seulement le sous-espace propre.

Réponse B.

Les valeurs propres 1 et 2 sont distinctes, donc \(A\) est déjà diagonalisable. Ainsi \(D=A\) et \(N=0\) conviennent, et l’unicité conclut. Le découpage en partie diagonale et partie strictement triangulaire est le piège classique : ces deux matrices ne commutent pas. Par ailleurs, \(A-I_2\) et \(A-2I_2\) ont une valeur propre non nulle, donc elles ne sont pas nilpotentes.

Réponse B.

Le noyau de \(N\) est de dimension 1 par le théorème du rang. Or le nombre de blocs de Jordan est égal à cette dimension. Donc la réduite de Jordan ne comporte qu’un seul bloc, de taille 5, et l’indice vaut 5. Le piège 4 confond l’indice avec le rang. En outre, l’indice est majoré par la dimension, mais ici il est bien déterminé par les données.

Réponse D.

La multiplicité de 1 dans le polynôme minimal donne la taille du plus grand bloc, ici 2. Comme les tailles totalisent 3, il reste un bloc de taille 1. Un bloc unique de taille 3 imposerait \((X-1)^3\) comme polynôme minimal. Trois blocs de taille 1 donneraient \(A=I_3\). Le piège « indéterminé » vient de la dimension 4, où deux configurations différentes partagent parfois les mêmes polynômes.

Réponse D.

Le nombre de blocs est \(\dim\ker N=3\). Ensuite, les blocs de taille au moins 2 sont au nombre de \(5-3=2\), et ceux de taille au moins 3 au nombre de \(6-5=1\). On lit donc un tableau de Young de colonnes 3, 2, 1. La réponse \((3,3)\) ne compte que deux blocs. De son côté, \((2,2,2)\) donnerait \(N^2=0\), et \((4,1,1)\) exigerait \(N^3\neq0\).

Réponse A.

Deux nilpotentes sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes tailles de blocs de Jordan, rangées dans l’ordre décroissant. Il s’agit donc de compter les partitions de 4 : \(4\), \(3+1\), \(2+2\), \(2+1+1\) et \(1+1+1+1\). Le piège 4 confond avec les indices possibles, de 1 à 4. Quant à 8, il compte les suites ordonnées de tailles, comme si \(3+1\) et \(1+3\) différaient.

Réponse A.

En dimension 3, les partitions \(3\), \(2+1\) et \(1+1+1\) donnent les polynômes minimaux \(X^3\), \(X^2\) et \(X\), tous distincts. En revanche, en dimension 4, les partitions \(2+2\) et \(2+1+1\) ont toutes deux \(X^2\) pour polynôme minimal. Elles diffèrent pourtant par le rang, 2 contre 1. Par conséquent, polynômes minimal et caractéristique ne suffisent plus à classer dès \(n=4\).

Réponse D.

Les invariants non constants forment une suite où chacun divise le suivant ; leur produit vaut le polynôme caractéristique et le dernier est le polynôme minimal. Ici, le minimal vaut \((X-1)(X-2)\), et le quotient restant est \(X-1\). La suite \(X-1\), \(X-1\), \(X-2\) ne respecte pas la divisibilité. De plus, un invariant unique caractériserait une matrice cyclique, ce que \(\mathrm{diag}(1,1,2)\) n’est pas.

Réponse C.

Une forme \(\varphi\) vérifie \(\varphi\circ u=0\) si et seulement si elle s’annule sur l’image de \(u\). Ainsi le noyau de la transposée est l’orthogonal de \(\mathrm{Im}\,u\). L’orthogonal de \(\ker u\) correspond en fait à l’image de \(u^{\top}\). En outre, \(\ker u\) vit dans \(E\), pas dans \(E^*\). On retrouve au passage que \(u\) et \(u^{\top}\) ont le même rang.