Cauchy-Lipschitz et Gronwall en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Appliquer Cauchy-Lipschitz à une équation non linéaire

On considère l’équation \(y^{\prime}=t\sin(y)+e^{-t^2}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. D’abord, établir que chaque condition initiale \(y(t_0)=y_0\) détermine une seule solution maximale.
2. Ensuite, montrer que toutes les solutions maximales sont définies sur \(\mathbb{R}\).
3. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions maximales avec \(y_1(0)<y_2(0)\). Montrer que \(y_1(t)<y_2(t)\) pour tout réel \(t\).

Exercice 2 – Explosion de l’équation cubique

Soit \(a>0\). On étudie le problème \(y^{\prime}=y^3\), \(y(0)=a\).

1. D’abord, justifier que la solution maximale ne s’annule pas.
2. Ensuite, déterminer cette solution maximale et son intervalle de définition.
3. Enfin, décrire la solution maximale lorsque \(a=0\), puis lorsque \(a<0\).

Exercice 3 – Exponentielle d’une matrice triangulaire

Soit \(A=\begin{pmatrix}3&-1\\0&3\end{pmatrix}\).

1. D’abord, calculer \(e^{tA}\) pour \(t\in\mathbb{R}\).
2. En déduire la solution de \(X^{\prime}=AX\) telle que \(X(0)=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).
3. Enfin, vérifier que \(\det e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A}\), conformément au théorème de Liouville.

Exercice 4 – Seconde solution grâce au wronskien

On considère \(t^2y^{\prime\prime}-3ty^{\prime}+4y=0\) sur \(]0,+\infty[\).

1. D’abord, vérifier que \(y_1(t)=t^2\) est solution.
2. Ensuite, écrire l’équation sous forme d’un système d’ordre 1 et calculer, grâce au théorème de Liouville, le wronskien de deux solutions à une constante près.
3. En déduire une solution \(y_2\) telle que \(W(y_1,y_2)(t)=t^3\), puis l’ensemble des solutions.

Exercice 5 – Lemme de Gronwall à coefficients constants

1. Soit \(u\) continue sur \([0,+\infty[\) telle que \(u(t)\leqslant 2+3\int_0^{t}u(s)\,\mathrm{d}s\) pour tout \(t\geqslant 0\). Montrer que \(u(t)\leqslant 2e^{3t}\).
2. Par ailleurs, soit \(y\) la solution maximale de \(y^{\prime}=3y\cos(t+y)\) avec \(y(0)=2\). Montrer que \(|y(t)|\leqslant 2e^{3t}\) pour tout \(t\geqslant 0\) où \(y\) est définie.
3. En déduire que cette solution est définie sur \([0,+\infty[\).

Exercice 6 – Méthode d’Euler à la main

On considère \(y^{\prime}=y+t\) avec \(y(0)=1\) sur \([0,1]\).

1. D’abord, vérifier que la solution exacte est \(y(t)=2e^{t}-t-1\).
2. Ensuite, calculer les approximations d’Euler \(y_1,\dots,y_4\) avec le pas \(h=1/4\).
3. Enfin, comparer \(y_4\) à \(y(1)\) et commenter le signe de l’erreur.

Exercice 7 – Classer trois systèmes linéaires plans

Pour chacune des matrices suivantes, déterminer la nature de l’origine pour \(X^{\prime}=AX\) (col, nœud, foyer ou centre) et sa stabilité.

1. \(A_1=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\).
2. \(A_2=\begin{pmatrix}-1&-4\\1&-1\end{pmatrix}\).
3. \(A_3=\begin{pmatrix}-3&1\\1&-3\end{pmatrix}\).

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Deux solutions maximales explicites

1. Déterminer la solution maximale de \(y^{\prime}=1+y^2\) telle que \(y(0)=1\), avec son intervalle.
2. De même, déterminer la solution maximale de \(y^{\prime}=\dfrac{1+y^2}{1+t^2}\) telle que \(y(0)=1\).
3. Vérifier, dans les deux cas, la conclusion du théorème des bouts.

Exercice 9 – Estimation a priori pour une équation dissipative

On considère \(y^{\prime}=-y^3+\cos t\) et la solution maximale \(y\) sur \(]\alpha,\beta[\) telle que \(y(t_0)=y_0\).

1. Montrer que \(g=y^2\) vérifie \(g^{\prime}<0\) en tout instant où \(|y|>1\).
2. En déduire que \(|y(t)|\leqslant\max(|y_0|,1)\) pour tout \(t\in[t_0,\beta[\).
3. Conclure que \(\beta=+\infty\).

Exercice 10 – Croissance affine et explosion

1. Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que \(|f(t,y)|\leqslant a+b|y|\), avec \(a,b\geqslant 0\). Démontrer en détail que toute solution maximale est définie sur \(\mathbb{R}\).
2. Ensuite, appliquer ce résultat à \(y^{\prime}=\sqrt{1+y^2}\,\cos t\).
3. En revanche, soit \(y\) la solution maximale de \(y^{\prime}=\sqrt{1+y^4}\) avec \(y(0)=1\). Montrer que \(y(t)\geqslant\frac{1}{1-t}\) pour \(t\in[0,\beta[\cap[0,1[\), puis que \(\beta\leqslant 1\).

Exercice 11 – Une infinité de solutions issues de zéro

On considère \(y^{\prime}=5|y|^{4/5}\).

1. Soit \(a\leqslant 0\leqslant b\). Montrer que la fonction égale à \((t-a)^5\) sur \(]-\infty,a]\), à 0 sur \([a,b]\) et à \((t-b)^5\) sur \([b,+\infty[\) est une solution de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en 0.
2. Expliquer pourquoi le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Montrer qu’il s’applique sur \(U=\mathbb{R}\times\,]0,+\infty[\). Déterminer la solution maximale dans \(U\) telle que \(y(0)=1\), et préciser comment elle quitte \(U\).

Exercice 12 – Système triangulaire avec second membre

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\) et \(B(t)=\begin{pmatrix}0\\0\\e^{t}\end{pmatrix}\).

1. D’abord, écrire \(A=I_3+N\) et calculer \(e^{tA}\).
2. Ensuite, par la formule de variation de la constante, résoudre \(X^{\prime}=AX+B(t)\) avec \(X(0)=0\).
3. Enfin, vérifier le résultat en remontant le système équation par équation.

Exercice 13 – Résolvante d’un système à coefficients variables

On considère \(t^2y^{\prime\prime}-2ty^{\prime}+2y=0\) sur \(]0,+\infty[\), et le système associé \(Y^{\prime}=A(t)Y\) avec \(Y=\begin{pmatrix}y\\y^{\prime}\end{pmatrix}\).

1. Écrire \(A(t)\) et vérifier que \(t\) et \(t^2\) sont solutions de l’équation.
2. Ensuite, calculer le wronskien de ces deux solutions directement, puis par la formule de Liouville.
3. De plus, calculer la résolvante \(R(t,s)\).
4. Enfin, résoudre \(t^2y^{\prime\prime}-2ty^{\prime}+2y=t^3\) avec \(y(1)=y^{\prime}(1)=0\).

Exercice 14 – Portrait de phase d’un double puits

On étudie le système autonome \(x^{\prime}=y\), \(y^{\prime}=x-x^3\), et l’on pose \(H(x,y)=\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}\).

1. Montrer que \(H\) est une intégrale première.
2. Déterminer les équilibres et la nature de leurs linéarisés.
3. Montrer que \(H(x,y)\geqslant\frac{y^2}{2}+\frac{x^4}{8}-\frac{1}{2}\). Par conséquent, les trajectoires restent bornées : en tirer que chaque solution vit sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
4. Enfin, prouver que l’équilibre \((1,0)\) est stable, mais pas asymptotiquement stable.

Les lignes de niveau de \(H\) sont tracées ci-dessous.

Exercice 15 – Stabilité par linéarisation

On considère le système \(x^{\prime}=-x+y^2\), \(y^{\prime}=-2y+x^2\).

1. Montrer que les équilibres sont \((0,0)\) et \((2^{2/3},2^{1/3})\).
2. Étudier la stabilité de l’origine.
3. Par ailleurs, montrer que le second équilibre est instable.

Exercice 16 – Quand la linéarisation ne conclut pas

On considère le système \(x^{\prime}=-x^3+y\), \(y^{\prime}=-x-y^3\).

1. Vérifier que l’origine est le seul équilibre et que la linéarisation en 0 ne permet pas de conclure.
2. Pour une solution \((x,y)\), on pose \(V=x^2+y^2\). Montrer que \(V^{\prime}=-2(x^4+y^4)\leqslant -V^2\).
3. En déduire que toute solution est définie sur \([0,+\infty[\) et que \(V(t)\leqslant\dfrac{V(0)}{1+V(0)\,t}\).
4. Conclure que l’origine est asymptotiquement stable.

Exercice 17 – Dépendance par rapport à la donnée initiale

On considère \(y^{\prime}=\sin(y)+t^2\). Pour \(a\in\mathbb{R}\), on note \(y_a\) la solution maximale telle que \(y_a(0)=a\).

1. Montrer que \(y_a\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
2. Ensuite, montrer que \(|y_a(t)-y_b(t)|\leqslant|a-b|\,e^{|t|}\) pour tout réel \(t\).
3. Montrer que, si \(a<b\), alors \(y_a<y_b\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Pour \(|a-b|=10^{-3}\), majorer l’écart en \(t=5\).

Pour approfondir

Exercice 18 – Lemme de Gronwall avec un terme variable

Soit \(a\) et \(b\) continues sur \([0,T]\), avec \(b\geqslant 0\), et \(u\) continue telle que \(u(t)\leqslant a(t)+\int_0^{t}b(s)u(s)\,\mathrm{d}s\) pour tout \(t\in[0,T]\).

1. On pose \(R(t)=\int_0^{t}b(s)u(s)\,\mathrm{d}s\) et \(B(t)=\int_0^{t}b(s)\,\mathrm{d}s\). Montrer que \(\big(R e^{-B}\big)^{\prime}\leqslant a\,b\,e^{-B}\).
2. En déduire que \(u(t)\leqslant a(t)+\int_0^{t}a(s)b(s)e^{B(t)-B(s)}\,\mathrm{d}s\).
3. Montrer que, si \(a\) est croissante, alors \(u(t)\leqslant a(t)e^{B(t)}\).
4. Application : on suppose \(u(t)\leqslant t+\int_0^{t}u(s)\,\mathrm{d}s\). Montrer que \(u(t)\leqslant e^{t}-1\), et vérifier que cette borne est atteinte.

Exercice 19 – Erreur globale du schéma d’Euler

On se donne \(L>0\) et une fonction continue \(f:[0,T]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) vérifiant \(|f(t,y)-f(t,z)|\leqslant L|y-z|\), et \(y\) une solution de classe \(C^2\) sur \([0,T]\) telle que \(|y^{\prime\prime}|\leqslant M\). On pose \(h=T/N\), \(t_k=kh\), \(y_0=y(0)\), \(y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k)\) et \(e_k=|y(t_k)-y_k|\).

1. Montrer que \(y(t_{k+1})=y(t_k)+hf(t_k,y(t_k))+\tau_k\) avec \(|\tau_k|\leqslant\frac{Mh^2}{2}\).
2. En déduire que \(e_{k+1}\leqslant(1+hL)e_k+\frac{Mh^2}{2}\).
3. Montrer que \(e_k\leqslant\dfrac{Mh}{2L}\big(e^{LT}-1\big)\) pour tout \(k\leqslant N\).
4. Application : pour \(y^{\prime}=y\), \(y(0)=1\), \(T=1\) et \(h=1/4\), calculer \(y_4\), l’erreur commise en \(t=1\) et la borne précédente.

Exercice 20 – Problème – Explosion d’une équation de Riccati

On considère \(y^{\prime}=t^2+y^2\) avec \(y(0)=0\), et l’on note \(]\alpha,\beta[\) l’intervalle de la solution maximale \(y\).

1. Expliquer pourquoi \(y\) est bien définie de façon unique.
2. Ensuite, vérifier que \(t\mapsto -y(-t)\) résout le même problème. En déduire que \(\alpha=-\beta\) et que \(y\) est impaire.
3. Montrer que \(y\) est croissante et que \(y(t)\geqslant t^3/3\) pour \(t\in[0,\beta[\).
4. Supposons \(\beta\leqslant 1\). Montrer que \(\arctan y(t)\leqslant t\) sur \([0,\beta[\) et obtenir une contradiction. En déduire \(\beta>1\).
5. Montrer que \(\arctan y(t)\geqslant\arctan\frac{1}{3}+(t-1)\) pour \(t\in[1,\beta[\). En déduire \(\beta\leqslant 1+\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{3}\), puis une valeur approchée de ce majorant.

Exercice 21 – Problème – Pendule amorti

On étudie \(x^{\prime\prime}+x^{\prime}+\sin x=0\), écrite sous la forme du système \(x^{\prime}=y\), \(y^{\prime}=-y-\sin x\). On pose \(E(x,y)=\frac{y^2}{2}+1-\cos x\).

1. Justifier l’existence et l’unicité des solutions maximales.
2. Montrer que toutes les solutions maximales sont définies sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(E\) décroît le long de toute solution, et calculer sa dérivée.
4. Déterminer les équilibres du système.
5. Montrer que \((0,0)\) est asymptotiquement stable et préciser la nature du linéarisé.
6. Enfin, montrer que \((\pi,0)\) est instable.

Pour aller plus loin

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