Théorèmes limites de Lebesgue : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « théorèmes limites de Lebesgue », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu de deux heures se place au milieu du semestre 5, juste après le cours sur l’intégrale de Lebesgue. Il évalue les trois grands théorèmes limites. Vous appliquerez d’abord le théorème de convergence monotone à une suite croissante, puis vous construirez un cas où le lemme de Fatou fournit une inégalité stricte. Ensuite, la convergence dominée donnera trois limites d’intégrales, et une intégration terme à terme fournira la valeur exacte d’une intégrale. Enfin, le problème étudie une bosse glissante, qui montre pourquoi une domination est nécessaire, ainsi qu’une intégrale à paramètre. La calculatrice est interdite.
Ce qu’évalue le contrôle : théorèmes limites de Lebesgue
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée2 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Beppo Levi, Fatou et convergence dominée (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Appliquer le théorème de convergence monotone à une suite croissante de fonctions positives et calculer la limite des intégrales
- Construire un exemple où le lemme de Fatou donne une inégalité stricte, puis exploiter ce lemme pour majorer une intégrale limite
- Trouver une fonction dominante intégrable afin de calculer la limite d’une suite d’intégrales
- Justifier l’intégration terme à terme d’une série de fonctions et en déduire la somme d’une intégrale
- Expliquer, sur une bosse glissante, pourquoi la domination est indispensable, et étudier une intégrale à paramètre
Avant de commencer le devoir
Avant d’appliquer un théorème, vérifiez chaque hypothèse : mesurabilité, positivité ou monotonie, convergence presque partout. Pour la convergence dominée, la fonction dominante ne doit pas dépendre de n ; cherchez-la avec une inégalité classique, par exemple \(\lvert \sin t \rvert \leq \lvert t \rvert\). Quand l’intervalle dépend de n, écrivez l’intégrande avec une indicatrice. Enfin, relisez vos calculs de primitives, car ils comptent aussi dans la note.
Le sujet du contrôle : théorèmes limites de Lebesgue
Exercice 1 – Une suite croissante de fonctions positives (4 points)
On munit \(]0, +\infty[\) de la mesure de Lebesgue. Pour tout entier \(n \geq 1\) et tout réel \(x > 0\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{n\sqrt{x}}{(1 + nx)(1 + x)}\). La figure trace quelques fonctions de la suite ainsi que leur limite \(f\).
- Énoncer le théorème de convergence monotone de Beppo Levi.
- Montrer que, pour tout \(x > 0\), la suite \(\left(f_n(x)\right)_{n \geq 1}\) est croissante, puis déterminer sa limite \(f(x)\).
- Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) à l’aide du changement de variable \(u = \sqrt{x}\).
- En déduire la limite de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
- On pose maintenant \(g_n(x) = \dfrac{1 – \mathrm{e}^{-nx}}{\sqrt{x}\,(1 + x)}\). Justifier que chaque \(g_n\) est intégrable sur \(]0, +\infty[\), puis déterminer la limite de leurs intégrales.
Exercice 2 – Deux pentes qui alternent (3 points)
Sur \([0, 1]\) muni de la mesure de Lebesgue, on définit \(f_n(x) = 2x\) lorsque l’entier \(n\) est pair et \(f_n(x) = 2(1 – x)\) lorsqu’il est impair. La suite oscille donc entre deux profils, représentés ci-dessous.
- Rappeler l’énoncé du lemme de Fatou pour une suite de fonctions mesurables positives.
- Calculer \(\displaystyle\int_0^1 f_n\), puis la fonction \(\liminf f_n\) et son intégrale. Vérifier ainsi que l’inégalité de Fatou est stricte ici.
- Soit maintenant \((u_n)\) une suite de fonctions mesurables positives sur un espace mesuré \((X, \mathcal{A}, \mu)\), qui converge presque partout vers \(u\). On suppose que \(\int_X u_n \,\mathrm{d}\mu \leq 1\) pour tout \(n\). Démontrer alors que \(u\) est intégrable et que \(\int_X u \,\mathrm{d}\mu \leq 1\).
Exercice 3 – Trois limites d’intégrales (4 points)
Pour chacune des suites suivantes, justifier l’existence des intégrales, puis déterminer leur limite par le théorème de convergence dominée. Chaque fonction dominante sera explicitée.
- \(I_n = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{n \sin(x/n)}{x\,(4 + x^2)}\,\mathrm{d}x\) pour \(n \geq 1\).
- \(J_n = \displaystyle\int_0^{n} \left(1 – \frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{e}^{x/2}\,\mathrm{d}x\) pour \(n \geq 1\). On pourra d’abord établir que \(\ln(1 – t) \leq -t\) pour tout \(t \in [0, 1[\).
- \(K_n = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{x^n}{1 + x^{n+2}}\,\mathrm{d}x\) pour \(n \geq 1\).
Exercice 4 – Une intégrale calculée par une série (4 points)
On souhaite calculer \(I = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{x\,\mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x\). On admet que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).
- Montrer que, pour tout \(x > 0\), \(\dfrac{x\,\mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\, x\,\mathrm{e}^{-(k+1)x}\).
- Pour \(a > 0\), calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-ax}\,\mathrm{d}x\).
- Énoncer un théorème d’intégration terme à terme pour une série de fonctions intégrables, vérifier ses hypothèses ici, puis en déduire que \(I = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\).
- Montrer enfin que \(I = \dfrac{\pi^2}{12}\).
Exercice 5 – Problème : la bosse glissante et une transformée (5 points)
Les deux parties sont indépendantes. On travaille sur \([0, +\infty[\) muni de la mesure de Lebesgue \(\lambda\).
Partie A. Pour tout entier \(n \geq 0\), on pose \(h_n(x) = 2\sin^2(\pi x)\) si \(x \in [n, n+1]\), et \(h_n(x) = 0\) sinon. Chaque \(h_n\) est donc une bosse posée sur l’intervalle \([n, n+1]\), comme le montre la figure.
- Montrer que la suite \((h_n)\) converge simplement vers la fonction nulle et que \(\int_0^{+\infty} h_n \,\mathrm{d}\lambda = 1\) pour tout \(n\).
- Calculer \(g(x) = \sup_{n} h_n(x)\) et montrer que \(g\) n’est pas intégrable. En déduire qu’aucune fonction intégrable ne domine toute la suite, puis expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le lemme de Fatou.
Partie B. Pour \(t \geq 0\), on pose \(F(t) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-tx}}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x\).
- Montrer que \(F\) est définie et continue sur \([0, +\infty[\), puis calculer \(F(0)\).
- Établir que \(F(t)\) tend vers 0 quand \(t\) tend vers \(+\infty\), d’abord avec le théorème de convergence dominée, ensuite grâce à une majoration explicite de \(F(t)\) pour \(t > 0\).
- Montrer que \(F\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\), exprimer \(F^{\prime}(t)\) par une intégrale et en déduire le sens de variation de \(F\).
Réviser théorèmes limites de Lebesgue avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours beppo levi, fatou et convergence dominée ; entraînez-vous sur les exercices beppo levi, fatou et convergence dominée avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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