QCM : Topologie des espaces métriques en L3 de maths
Ce QCM topologie L3 passe en revue les bases des espaces métriques : axiomes d’une distance, boules, ouverts et fermés, intérieur, adhérence et frontière. Il vérifie aussi la caractérisation séquentielle, le comportement de la distance induite sur une partie, puis les différentes formes de continuité, jusqu’aux homéomorphismes, aux distances équivalentes et à l’espace produit. Les questions vont du plus simple au plus exigeant.
Pour en tirer profit, réponds aux douze questions sans ouvrir le cours, au brouillon, en cherchant à chaque fois un contre-exemple avant de valider une affirmation. Ensuite, lis toutes les explications, même pour les questions réussies : chacune nomme le piège qui se cache derrière les mauvaises réponses. Une erreur sur une hypothèse oubliée vaut une relecture attentive du théorème correspondant.
Les 12 questions
Question 1
Parmi les applications suivantes, définies sur \(\mathbb{R}^2\), laquelle n’est pas une distance sur \(\mathbb{R}\) ?
- \(d(x,y)=|x^3-y^3|\)
- \(d(x,y)=\min(1,|x-y|)\)
- \(d(x,y)=|e^x-e^y|\)
- \(d(x,y)=(x-y)^2\)
Réponse D.
Avec \(x=0\), \(y=1\) et \(z=2\), on obtient \(d(0,2)=4\), alors que \(d(0,1)+d(1,2)=2\) : l’inégalité triangulaire tombe. En revanche, \(|f(x)-f(y)|\) est une distance dès que \(f\) est injective, ce qui règle les cas du cube et de l’exponentielle. Le piège classique consiste à croire que le minimum avec 1 casse l’inégalité triangulaire ; ce n’est pas le cas.
Question 2
Soit \(E\) un ensemble à au moins deux points, muni de la distance discrète (\(d(x,y)=1\) si \(x\neq y\)). Pour \(a\in E\), que vaut l’adhérence de la boule ouverte \(B(a,1)\) ?
- L’espace \(E\) tout entier
- L’ensemble vide
- Le complémentaire \(E\setminus\{a\}\)
- Le singleton \(\{a\}\)
Réponse D.
La boule ouverte \(B(a,1)\) ne contient que \(a\). Or, en distance discrète, toute partie est fermée ; donc l’adhérence de \(\{a\}\) reste \(\{a\}\). Cependant, la boule fermée de centre \(a\) et de rayon 1 vaut \(E\) entier. Le piège est donc de confondre adhérence de la boule ouverte et boule fermée, égalité vraie dans un espace normé mais fausse ici.
Question 3
Dans \(\mathbb{R}\) muni de la distance usuelle, quelle est la frontière de \(\mathbb{Q}\) ?
- \(\mathbb{R}\)
- \(\varnothing\)
- \(\mathbb{Q}\)
- L’ensemble des irrationnels
Réponse A.
La frontière est l’adhérence privée de l’intérieur. Comme \(\mathbb{Q}\) est dense, son adhérence vaut \(\mathbb{R}\). De plus, tout intervalle ouvert contient un irrationnel, donc l’intérieur de \(\mathbb{Q}\) est vide. Ainsi la frontière est \(\mathbb{R}\) entier. Répondre \(\varnothing\) revient à oublier la densité, et répondre \(\mathbb{Q}\) confond la partie avec son bord.
Question 4
Dans un espace métrique \(E\), une partie \(F\) est fermée si et seulement si :
- toute suite de \(F\) admet une sous-suite convergente dans \(F\)
- toute suite de \(F\) qui converge dans \(E\) a sa limite dans \(F\)
- toute suite de Cauchy de \(F\) converge dans \(F\)
- toute suite de \(F\) est bornée
Réponse B.
C’est la caractérisation séquentielle des fermés : \(F\) contient les limites de ses suites convergentes. La propriété des sous-suites définit en fait la compacité, qui est bien plus forte. De même, la condition sur les suites de Cauchy caractérise une partie complète ; par conséquent, \(\mathbb{R}\) entier est fermé sans être borné, ce qui élimine aussi la réponse sur les suites bornées.
Question 5
On munit \(A=[0,1]\cup\,]2,3]\) de la distance induite par celle de \(\mathbb{R}\). Dans l’espace métrique \(A\), la partie \(]2,3]\) est :
- ni ouverte ni fermée
- fermée mais pas ouverte
- ouverte mais pas fermée
- à la fois ouverte et fermée
Réponse D.
Les ouverts de \(A\) sont les traces sur \(A\) des ouverts de \(\mathbb{R}\). Or \(]2,3]=A\cap\,]2,4[\), donc cette partie est ouverte dans \(A\). De même, \(]2,3]=A\cap[2,3]\), donc elle est aussi fermée dans \(A\). Le piège consiste à raisonner dans \(\mathbb{R}\), où \(]2,3]\) n’est ni ouvert ni fermé : la nature d’une partie dépend de l’espace ambiant.
Question 6
Une application \(f\) entre deux espaces métriques est continue si et seulement si :
- l’image directe de tout ouvert est un ouvert
- l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert
- l’image directe de tout fermé est un fermé
- l’image réciproque de tout borné est bornée
Réponse B.
La continuité se lit sur les images réciproques : \(f^{-1}(U)\) est ouvert pour tout ouvert \(U\), ou, de façon équivalente, pour tout fermé. En revanche, une fonction constante est continue sans envoyer les ouverts sur des ouverts ; ainsi l’image directe ne convient pas. Quant à la fonction \(\arctan\), elle est continue, et pourtant l’image réciproque de \([-1{,}6\,;\,1{,}6]\) est \(\mathbb{R}\), qui n’est pas borné.
Question 7
Laquelle de ces fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) est uniformément continue sans être lipschitzienne ?
- \(x\mapsto\sqrt{|x|}\)
- \(x\mapsto x^2\)
- \(x\mapsto\sin x\)
- \(x\mapsto e^x\)
Réponse A.
L’inégalité \(\big|\sqrt{|x|}-\sqrt{|y|}\big|\leq\sqrt{|x-y|}\) donne la continuité uniforme. Cependant, le taux d’accroissement \(1/\sqrt{h}\) entre 0 et \(h\) explose, donc aucune constante de Lipschitz ne convient. Le sinus, lui, est 1-lipschitzien. Enfin, le carré et l’exponentielle ne sont pas uniformément continus sur \(\mathbb{R}\), car leur pente devient arbitrairement grande.
Question 8
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace métrique \(E\). L’application \(x\mapsto d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)\) est :
- 2-lipschitzienne sur \(E\)
- continue seulement si \(A\) est fermée
- 1-lipschitzienne sur \(E\)
- lipschitzienne seulement si \(A\) est bornée
Réponse C.
Pour tout \(a\in A\), on a \(d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,a)\). En passant à la borne inférieure en \(a\), puis en échangeant \(x\) et \(y\), on obtient \(|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)\). Ainsi la constante vaut 1, sans hypothèse sur \(A\). Le facteur 2 vient d’une inégalité triangulaire appliquée deux fois sans passer à l’infimum.
Question 9
Laquelle de ces applications est une bijection continue dont la réciproque n’est pas continue ?
- \(x\mapsto x^3\), de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(x\mapsto\tan x\), de \(]-\pi/2,\pi/2[\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(t\mapsto e^{it}\), de \([0,2\pi[\) sur le cercle unité
- \(x\mapsto\frac{x}{1+|x|}\), de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1,1[\)
Réponse C.
Les points \(e^{-i/n}\) tendent vers 1 sur le cercle, alors que leurs antécédents \(2\pi-1/n\) tendent vers \(2\pi\), loin de l’antécédent 0 de 1. Donc la réciproque n’est pas continue en 1. En revanche, les trois autres réciproques, à savoir la racine cubique, l’arctangente et \(y\mapsto y/(1-|y|)\), sont continues : ce sont des homéomorphismes.
Question 10
Sur \(\mathbb{R}^n\), on note \(d_1\) et \(d_\infty\) les distances associées aux normes 1 et infinie. Quelle est la plus petite constante \(C\) telle que \(d_1\leq C\,d_\infty\) ?
- \(C=n\)
- \(C=\sqrt{n}\)
- \(C=1\)
- \(C=n^2\)
Réponse A.
Chacune des \(n\) coordonnées est majorée par le maximum, donc \(\|x\|_1\leq n\|x\|_\infty\). De plus, le vecteur \((1,\dots,1)\) donne l’égalité, ainsi la constante \(n\) est optimale. La valeur \(\sqrt{n}\) est la bonne constante entre norme 1 et norme 2, d’où une confusion fréquente. Enfin, \(C=1\) inverse le sens de l’inégalité.
Question 11
Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(d(x,y)=|x-y|\) et \(\delta=\dfrac{d}{1+d}\). Que peut-on dire de ces deux distances ?
- Lipschitz-équivalentes, avec \(\delta\leq d\leq 2\delta\)
- Ouverts différents, car \(\delta\) est bornée et pas \(d\)
- Mêmes ouverts, mais aucune constante \(C\) ne vérifie \(d\leq C\delta\)
- \(\delta\) ne vérifie pas l’inégalité triangulaire
Réponse C.
La fonction \(t\mapsto t/(1+t)\) est croissante, sous-additive et continue en 0 ; donc \(\delta\) est une distance, et les boules de petit rayon se correspondent, si bien que les ouverts coïncident. Cependant, \(\delta\) reste inférieure à 1 alors que \(d\) est non bornée : aucune constante ne convient. Le caractère borné ne change donc pas la topologie.
Question 12
Soit \(f:E\to F\) continue entre deux espaces métriques, et \(E\times F\) muni de la distance produit \(\max(d_E,d_F)\). Le graphe de \(f\) est :
- toujours ouvert dans \(E\times F\)
- toujours fermé dans \(E\times F\)
- fermé seulement si \(E\) est compact
- dense dans \(E\times F\)
Réponse B.
En distance produit, une suite converge si et seulement si ses deux composantes convergent. Ainsi, si \((x_n,f(x_n))\) tend vers \((x,y)\), alors \(x_n\to x\), donc \(f(x_n)\to f(x)\) par continuité, et l’unicité de la limite donne \(y=f(x)\). La compacité sert pour la réciproque, d’où le piège. Par ailleurs, le graphe de \(x\mapsto 0\) dans \(\mathbb{R}^2\) n’est ni ouvert ni dense.
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L3 de maths sur topologie des espaces métriques
- S’exercer : exercices corrigés sur topologie des espaces métriques
- QCM suivant : QCM : Espaces complets et point fixe en L3 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
