QCM : Espaces complets et point fixe en L3 de maths
Ce QCM espaces L3 porte sur la complétude des espaces métriques. Il commence par la définition d’une suite de Cauchy et ses faux amis, puis examine les parties complètes de \(\mathbb{R}\), les fermés d’un complet, le cas de \(\mathbb{R}^n\) et celui des fonctions continues munies de la norme infinie. La seconde moitié traite des applications contractantes, du théorème du point fixe, de l’estimation d’erreur des itérations et du prolongement des applications uniformément continues.
Pour progresser, réponds aux douze questions sans le cours, en refaisant les petits calculs au brouillon et en testant chaque hypothèse sur un exemple. Ensuite, lis chaque explication : elle justifie la bonne réponse et décrit l’erreur qui mène aux autres choix. Une question manquée signale souvent une hypothèse oubliée.
Les 12 questions
Question 1
Laquelle de ces suites réelles vérifie \(|u_{n+1}-u_n|\to 0\) sans être de Cauchy ?
- \(u_n=\dfrac{1}{n}\)
- \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\)
- \(u_n=\sum_{j=1}^{n}j^{-2}\)
- \(u_n=\sqrt{n}\)
Réponse D.
On a \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to 0\). Pourtant, \(\sqrt{4n}-\sqrt{n}=\sqrt{n}\) tend vers l’infini, donc la suite n’est pas de Cauchy. Les trois autres suites convergent dans \(\mathbb{R}\), et toute suite convergente est de Cauchy. Le piège consiste à ne contrôler que deux termes consécutifs, alors que la définition porte sur tous les couples d’indices assez grands.
Question 2
Laquelle de ces parties de \(\mathbb{R}\), munie de la distance usuelle, est un espace complet ?
- \([1,+\infty[\)
- \(]0,1]\)
- \(\mathbb{Q}\)
- \(]0,+\infty[\)
Réponse A.
L’intervalle \([1,+\infty[\) est fermé dans \(\mathbb{R}\), qui est complet ; il est donc complet, bien que non borné. En revanche, la suite \(1/n\) est de Cauchy dans \(]0,1]\) et dans \(]0,+\infty[\), sans y avoir de limite. De même, les approximations décimales de \(\sqrt{2}\) forment une suite de Cauchy de rationnels sans limite rationnelle. Le piège : croire que le caractère borné compte.
Question 3
Soit \(E\) un espace métrique complet et \(A\) une partie de \(E\) munie de la distance induite. \(A\) est complète si et seulement si :
- \(A\) est bornée dans \(E\)
- \(A\) est fermée dans \(E\)
- \(A\) est ouverte dans \(E\)
- \(A\) est compacte
Réponse B.
Si \(A\) est fermée, une suite de Cauchy de \(A\) converge dans \(E\), et sa limite reste dans \(A\). Réciproquement, une limite d’éléments de \(A\) provient d’une suite de Cauchy de \(A\), donc elle appartient à \(A\) quand \(A\) est complète. Ainsi \(\mathbb{R}\), non borné, est complet. Par ailleurs, la compacité suffit mais n’est pas nécessaire : c’est le piège principal.
Question 4
Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(\delta(x,y)=\left|\dfrac{x}{1+|x|}-\dfrac{y}{1+|y|}\right|\), distance qui a les mêmes ouverts que la distance usuelle. Pour \(\delta\), la suite \(u_n=n\) est :
- de Cauchy et convergente
- ni de Cauchy ni convergente
- de Cauchy, mais sans limite
- convergente, mais pas de Cauchy
Réponse C.
On a \(\delta(p,q)=\left|\frac{1}{1+q}-\frac{1}{1+p}\right|\), qui tend vers 0 : la suite est donc de Cauchy. Cependant, une limite \(\ell\) imposerait \(\frac{n}{1+n}\to\frac{\ell}{1+|\ell|}\), soit \(\frac{\ell}{1+|\ell|}=1\), ce qui est impossible. Par conséquent, la complétude dépend de la distance et non des seuls ouverts. Enfin, une suite convergente est toujours de Cauchy, ce qui exclut la réponse « convergente, mais pas de Cauchy ».
Question 5
Sur l’espace \(\mathcal{C}([0,1])\) des fonctions continues, laquelle de ces normes en fait un espace complet ?
- \(\|f\|_1=\int_0^1|f|\)
- \(\|f\|_2=\sqrt{\int_0^1 f^2}\)
- \(N(f)=|f(0)|+\int_0^1|f|\)
- \(\|f\|_\infty\), maximum de \(|f|\)
Réponse D.
Une suite de Cauchy pour la norme infinie converge uniformément, et une limite uniforme de fonctions continues est continue : l’espace est donc complet. En revanche, des fonctions continues qui passent de 0 à 1 sur un intervalle de plus en plus court autour de \(1/2\) forment une suite de Cauchy pour les normes intégrales. Leur limite serait discontinue, d’où l’absence de complétude.
Question 6
Pourquoi \(\mathbb{R}^n\) est-il complet quelle que soit la norme choisie ?
- Toute suite bornée de \(\mathbb{R}^n\) est de Cauchy pour la norme infinie
- \(\mathbb{R}^n\) est fermé et borné dans lui-même pour toute norme
- Toute suite de Cauchy de \(\mathbb{R}^n\) est constante à partir d’un certain rang
- Les normes y sont équivalentes, et chaque coordonnée d’une suite de Cauchy est de Cauchy dans \(\mathbb{R}\)
Réponse D.
En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes ; elles ont donc les mêmes suites de Cauchy. Pour la norme infinie, chaque coordonnée est de Cauchy dans \(\mathbb{R}\), donc converge, et la suite converge alors coordonnée par coordonnée. Une suite bornée n’est pas forcément de Cauchy, comme \((-1)^k\). Enfin, \(\mathbb{R}^n\) n’est pas borné.
Question 7
Laquelle de ces applications de \([0,1]\) dans \([0,1]\) est contractante ?
- \(x\mapsto\sin x\)
- \(x\mapsto\cos x\)
- \(x\mapsto x^2\)
- \(x\mapsto\sqrt{x}\)
Réponse B.
Sur \([0,1]\), on a \(|\cos^{\prime}(x)|=\sin x\leq\sin 1\approx 0{,}84\), donc le cosinus est \(\sin 1\)-lipschitzien, avec une constante strictement inférieure à 1. En revanche, \(\sin x/x\) tend vers 1 en 0, si bien qu’aucune constante \(k<1\) ne convient pour le sinus. De même, la dérivée de \(x^2\) vaut 2 en 1, et la racine carrée n’est même pas lipschitzienne près de 0.
Question 8
L’application \(f(x)=x+\dfrac{1}{x}\) envoie \([1,+\infty[\) dans lui-même et vérifie \(|f(x)-f(y)|<|x-y|\) pour \(x\neq y\). Que peut-on en conclure ?
- \(f\) a un unique point fixe, par Banach-Picard
- \(f\) a un point fixe, mais il n’est pas unique
- \(f\) n’a aucun point fixe, faute de constante \(k<1\)
- \(f\) n’a aucun point fixe, car l’intervalle n’est pas complet
Réponse C.
L’équation \(x+1/x=x\) donne \(1/x=0\), donc \(f\) n’a pas de point fixe. Pourtant, \([1,+\infty[\) est fermé dans \(\mathbb{R}\), donc complet. Ainsi, c’est l’hypothèse de contraction qui manque : le rapport \(\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\) s’approche de 1 quand \(x\) et \(y\) grandissent. Le piège est de confondre inégalité stricte et constante \(k<1\) uniforme.
Question 9
Soit \(f\) une contraction de rapport \(k=\dfrac{1}{2}\) sur un complet, et \(x_{n+1}=f(x_n)\) avec \(d(x_0,x_1)=0{,}3\). Quelle majoration a priori de \(d(x_5,\ell)\) donne le cours, \(\ell\) étant le point fixe ?
- \(0{,}009375\)
- \(0{,}0375\)
- \(0{,}01875\)
- \(0{,}6\)
Réponse C.
La majoration a priori s’écrit \(d(x_n,\ell)\leq\frac{k^{n}\,d(x_0,x_1)}{1-k}\). Ici, on obtient \(\frac{1/32}{1/2}\times 0{,}3=\frac{0{,}6}{32}=0{,}01875\). Oublier le facteur \(\frac{1}{1-k}\) donne \(0{,}009375\). De plus, prendre \(k^4\) au lieu de \(k^5\) donne \(0{,}0375\). Enfin, \(0{,}6\) correspond au cas \(n=0\), donc à une borne sans aucune itération.
Question 10
Une contraction de rapport \(k=0{,}1\) vérifie \(d(x_0,x_1)\leq 1\). D’après la majoration \(\frac{k^{n}\,d(x_0,x_1)}{1-k}\), quel est le plus petit \(n\) qui garantit \(d(x_n,\ell)\leq 10^{-6}\) ?
- \(n=7\)
- \(n=6\)
- \(n=5\)
- \(n=10\)
Réponse A.
On veut \(\frac{10^{-n}}{0{,}9}\leq 10^{-6}\), c’est-à-dire \(10^{-n}\leq 9\times 10^{-7}\). Pour \(n=6\), on a \(10^{-6}>9\times 10^{-7}\), donc la garantie échoue de peu. En revanche, \(n=7\) convient. Répondre 6 revient à oublier le facteur \(\frac{1}{1-k}\). Ainsi, la convergence est géométrique : chaque itération apporte ici une décimale exacte.
Question 11
On munit l’espace des fonctions polynomiales sur \([0,1]\) de la norme infinie. Cet espace est :
- non complet, car les sommes partielles de \(e^x\) y sont de Cauchy sans limite polynomiale
- complet, car c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}([0,1])\)
- complet, car chaque polynôme est de degré fini
- non complet, car la norme infinie n’y est pas une norme
Réponse A.
Les sommes \(\sum_{k\leq n}x^k/k!\) convergent uniformément vers l’exponentielle sur \([0,1]\), donc forment une suite de Cauchy. Or leur limite n’est pas un polynôme : l’espace n’est pas complet. En effet, un sous-espace d’un complet n’est complet que s’il est fermé, ce qui n’est pas le cas ici. Par ailleurs, la dimension de cet espace est infinie, même si chaque polynôme a un degré fini.
Question 12
Soit \(A\) une partie dense d’un espace métrique \(E\), \(F\) un espace complet et \(f:A\to F\). Quelle hypothèse garantit que \(f\) se prolonge en une application continue sur \(E\) ?
- \(f\) est continue sur \(A\)
- \(f\) est uniformément continue sur \(A\)
- \(f\) est bornée sur \(A\)
- \(f\) est continue et injective sur \(A\)
Réponse B.
La continuité uniforme envoie toute suite de Cauchy de \(A\) sur une suite de Cauchy de \(F\), qui converge car \(F\) est complet ; on définit ainsi le prolongement. Cependant, la simple continuité ne suffit pas : \(x\mapsto\sin(1/x)\) est continue et bornée sur \(]0,1]\), dense dans \([0,1]\), mais elle n’a pas de limite en 0. Par conséquent, ni le caractère borné ni l’injectivité ne remplacent l’uniformité.
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L3 de maths sur espaces complets et point fixe
- S’exercer : exercices corrigés sur espaces complets et point fixe
- QCM précédent : QCM : Topologie des espaces métriques en L3 de maths
- QCM suivant : QCM : Banach et opérateurs continus en L3 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
