QCM : Convergence en loi et TCL en L3 de maths

Réponse A.

On calcule \(\varphi_X(t)=\frac{1}{2}\left(1+e^{2it}\right)=e^{it}\cdot\frac{e^{-it}+e^{it}}{2}=e^{it}\cos t\). Le résultat \(\cos t\) est celui de \(X-1\), qui vaut \(\pm 1\) : il oublie donc le décalage, qui ajoute le facteur \(e^{it}\). Le piège \(\frac{1+e^{it}}{2}\) remplace 2 par 1 dans l’exposant. Enfin, une fonction caractéristique réelle impose une loi symétrique, ce qui n’est pas le cas ici.

Réponse D.

On intègre \(\int_0^{+\infty}2e^{-2x}e^{itx}\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2-it}\), car la partie réelle de \(it-2\) est strictement négative. Par conséquent, la valeur en 0 vaut 1, comme il se doit. Le piège \(\frac{2}{2+it}\) correspond à la convention \(e^{-itx}\), qui n’est pas celle de l’énoncé. De plus, \(\frac{1}{2-it}\) vaut \(\frac{1}{2}\) en 0, ce qui est impossible.

Réponse B.

Les variables étant indépendantes, on multiplie leurs fonctions caractéristiques : \(e^{it-2t^2}\,e^{-it-5t^2/2}=e^{-9t^2/2}\). On reconnaît donc la loi \(\mathcal{N}(0,9)\) : les moyennes s’ajoutent, et les variances aussi. Le piège \(\mathcal{N}(0,20)\) multiplie les variances, comme si l’on multipliait les variables. Quant à \(\mathcal{N}(2,9)\), il soustrait les moyennes au lieu de les additionner.

Réponse C.

Par symétrie de \(X\), la variable \(Y\) suit aussi \(\mathcal{N}(0,1)\), et \(E[XY]=E[\varepsilon]E[X^2]=0\). Cependant, \(X+Y=(1+\varepsilon)X\) est nulle avec probabilité \(\frac{1}{2}\) : elle n’est donc pas gaussienne, et le vecteur ne l’est pas non plus. Ainsi, covariance nulle n’entraîne l’indépendance que pour un vecteur gaussien. Ici, \(|Y|=|X|\) montre d’ailleurs la dépendance.

Réponse C.

Pour tout \(\omega\in\,]0,1]\), \(X_n(\omega)=0\) dès que \(n>1/\omega\) : la convergence a donc lieu presque sûrement, et par suite en probabilité. En revanche, \(E[X_n]=n\) pour tout \(n\), donc la suite ne tend pas vers 0 dans \(L^1\). Le piège consiste à croire que la convergence presque sûre entraîne celle des espérances. Il faudrait pour cela une domination.

Réponse D.

Si \(X_n\) converge en loi vers la constante \(c\), alors \(P(|X_n-c|>\delta)\) tend vers 0, car la loi limite ne charge pas les bords de \(]c-\delta,c+\delta[\). En revanche, la convergence en loi vers une variable non constante ne dit rien des valeurs elles-mêmes : \(X\) et \(-X\) ont la même loi gaussienne. De plus, la convergence en probabilité n’entraîne la convergence presque sûre que pour une sous-suite.

Réponse C.

Les événements \(\{X_n=1\}\) sont indépendants et \(\sum\frac{1}{n}=+\infty\). D’après le second lemme de Borel-Cantelli, cette probabilité vaut donc 1. Ainsi, \(X_n\) tend vers 0 en probabilité, mais pas presque sûrement. Le piège 0 applique le premier lemme, qui exige une série convergente : il vaudrait avec \(\frac{1}{n^2}\). De plus, la loi du zéro-un exclut toute valeur strictement entre 0 et 1.

Réponse A.

Pour cette loi de Cauchy, on a \(\varphi(t)=e^{-|t|}\). Celle de \(S_n/n\) vaut donc \(\left(e^{-|t|/n}\right)^n=e^{-|t|}\) : la moyenne garde la même loi, et elle ne peut converger vers une constante. Le piège de la loi forte oublie qu’elle exige \(E|X_1|<+\infty\). Or \(\int\frac{|x|}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\) diverge. Ainsi, la symétrie ne suffit pas.

Réponse B.

Le théorème de Lévy exige une limite continue en 0 ; dans ce cas, elle est la fonction caractéristique d’une loi, et la convergence a lieu en loi. Ici, la limite saute en 0, et la masse s’échappe à l’infini : \(P(|X_n|\leqslant A)\) tend vers 0 pour tout \(A\). Le piège de la Dirac confond avec \(\mathcal{N}(0,1/n)\). Enfin, aucune loi uniforme sur \(\mathbb{R}\) n’existe.

Réponse A.

On a \(\varphi_{X_n}(t)=\left(1+\frac{a}{n}(e^{it}-1)\right)^n\), qui tend vers \(\exp\left(a(e^{it}-1)\right)\). On reconnaît la fonction caractéristique de la loi de Poisson, et le théorème de Lévy conclut. Le piège gaussien applique le TCL alors que le paramètre \(\frac{a}{n}\) varie avec \(n\). De plus, une limite de variables entières ne peut pas suivre une loi à densité.

Réponse D.

La variance de \(\sqrt{n}(\bar{X}_n-m)\) vaut exactement \(\sigma^2\), et la fonction caractéristique converge vers \(e^{-\sigma^2t^2/2}\). La convergence presque sûre vers une loi normale n’a pas de sens : une suite de variables converge presque sûrement vers une variable, pas vers une loi. Avec le facteur \(n\), la variance devient \(n\sigma^2\), donc elle explose. Enfin, la loi \(\mathcal{N}(0,1)\) demande de diviser aussi par \(\sigma\).

Réponse B.

Chaque variable a pour moyenne \(\frac{1}{2}\) et pour variance \(\frac{1}{12}\). Donc \(S_{300}\) a pour moyenne 150 et pour variance 25, soit un écart type de 5. Ainsi, 160 se situe à deux écarts types, et \(\Phi(2)\approx 0{,}977\). Le piège \(0{,}841\) vaut \(\Phi(1)\) : il utilise la variance \(\frac{1}{3}\), qui est le moment d’ordre 2, sans retirer le carré de la moyenne.