Inversion locale et implicites en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une bijection lisse qui n’est pas un difféomorphisme

On définit \(h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) par \(h(x,y) = (x^3,\; x + y)\).

1. Montrer que \(h\) est une bijection de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) et expliciter \(h^{-1}\).
2. Vérifier que \(h\) est de classe \(C^\infty\) et que \(h^{-1}\) est continue.
3. Calculer le jacobien de \(h\). En déduire que \(h\) n’est pas un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\).
4. Montrer que \(h\) induit un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\{x \neq 0\}\) sur \(\{u \neq 0\}\).

Exercice 2 – Inversion locale près de l’origine

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(f(x,y) = (xe^y,\; x + y)\).

1. Calculer la matrice jacobienne de \(f\) et son déterminant.
2. Déterminer l’ensemble des points où le théorème d’inversion locale s’applique.
3. Montrer que \(f\) induit un difféomorphisme d’un voisinage de \((0,0)\) sur un voisinage de \((0,0)\). Donner la jacobienne de la réciproque locale en \((0,0)\).
4. Reprendre la question précédente au point \((2,0)\) et donner la jacobienne de la réciproque locale en \(f(2,0)\).

Exercice 3 – Tangente à une quartique implicite

On considère la courbe \(\Gamma = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^4 + xy + y^3 = 3\}\).

1. Vérifier que le point \((1,1)\) appartient à \(\Gamma\).
2. Montrer qu’il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant \(1\) et une fonction \(\varphi\) de classe \(C^\infty\) sur \(I\) telle que \(\Gamma\) coïncide près de \((1,1)\) avec le graphe de \(\varphi\).
3. Calculer \(\varphi^{\prime}(1)\) et donner l’équation de la tangente à \(\Gamma\) en \((1,1)\).
4. Montrer que, près de \((1,1)\), on peut aussi écrire \(x = \psi(y)\), et calculer \(\psi^{\prime}(1)\).

Exercice 4 – Plan tangent à une surface cubique

Soit \(S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z^3 + xz + y^2 = 3\}\).

1. Montrer que \(S\) est une sous-variété de dimension \(2\) de \(\mathbb{R}^3\).
2. Vérifier que \(a = (1,1,1)\) appartient à \(S\) et donner l’équation du plan tangent affine en \(a\).
3. Donner une base de l’espace tangent vectoriel \(T_aS\).

Exercice 5 – Un paraboloïde paramétré

Soit \(\gamma : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(\gamma(u,v) = (u + v,\; uv,\; u^2 + v^2)\), et \(P = \{(x,y,z) : z = x^2 – 2y\}\).

1. Déterminer les points \((u,v)\) où \(d\gamma(u,v)\) est injective.
2. Montrer que l’image de \(\gamma\) est contenue dans \(P\), et que \(P\) est une surface.
3. Calculer l’espace tangent à \(P\) en \(\gamma(1,0)\) de deux façons : avec \(\gamma\), puis avec une équation de \(P\). Comparer.

Exercice 6 – Fonction implicite de deux variables

On pose \(F(x,y,z) = ze^z + x + 2y – xy\) sur \(\mathbb{R}^3\).

1. Montrer qu’il existe un voisinage \(U\) de \((0,0)\) et une fonction \(\varphi\) de classe \(C^\infty\) sur \(U\), nulle en \((0,0)\), telle que \(F(x,y,\varphi(x,y)) = 0\) sur \(U\).
2. Calculer les dérivées partielles de \(\varphi\) en \((0,0)\).
3. En déduire un développement limité d’ordre \(1\) de \(\varphi\) en \((0,0)\) et le plan tangent en l’origine à la surface \(F = 0\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Somme et produit de deux réels

Soit \(f(u,v) = (u + v,\; uv)\), \(U = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 : u > v\}\) et \(V = \{(s,p) \in \mathbb{R}^2 : s^2 > 4p\}\).

1. Calculer le jacobien de \(f\) et vérifier qu’il ne s’annule pas sur \(U\).
2. Montrer que \(f\) est injective sur \(U\) et que \(f(U) = V\).
3. En déduire que \(f\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(U\) sur \(V\), et expliciter sa réciproque.
4. Calculer la jacobienne de \(f^{-1}\) au point \((3,2)\) de deux façons.

Exercice 8 – Une perturbation de l’identité dans le plan

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne et on pose \(\Psi(x,y) = \big(4x + \sin(x+y),\; 4y + \cos(x-y)\big)\), puis \(g(x,y) = \big(\sin(x+y), \cos(x-y)\big)\).

1. Montrer que \(\|dg(p)h\| \leq \sqrt{2}\,\|h\|\) pour tous \(p, h \in \mathbb{R}^2\). En déduire que \(g\) est \(\sqrt{2}\)-lipschitzienne.
2. Montrer que \(\|\Psi(p) – \Psi(q)\| \geq (4 – \sqrt{2})\|p – q\|\). Conclure que \(\Psi\) est injective.
3. Montrer que \(\Psi\) est surjective, grâce à une application contractante bien choisie.
4. Démontrer que \(\Psi\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur lui-même.

Exercice 9 – Développement limité d’une fonction implicite

On considère l’équation \(\sin y + 2y = x + x^2\), d’inconnue \(y \in \mathbb{R}\), où \(x \in \mathbb{R}\) est un paramètre.

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), l’équation possède une unique solution, notée \(\varphi(x)\).
2. Montrer que \(\varphi\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Calculer le développement limité de \(\varphi\) à l’ordre \(3\) en \(0\).
4. Déterminer un équivalent de \(\varphi(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 10 – Intersection d’une sphère et d’une selle

Soit \(C\) l’ensemble des points de \(\mathbb{R}^3\) qui vérifient \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) et \(z = xy – 3\).

1. Vérifier que \(a = (2,2,1)\) appartient à \(C\).
2. Montrer que \(C\) est une courbe au voisinage de \(a\), c’est-à-dire une sous-variété de dimension \(1\).
3. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à \(C\) en \(a\).
4. Montrer que, près de \(a\), la courbe se paramètre par \(x\) sous la forme \((x, y(x), z(x))\). Calculer \(y^{\prime}(2)\) et \(z^{\prime}(2)\).

Exercice 11 – Racine simple d’une équation du troisième degré

Pour \((p,q) \in \mathbb{R}^2\), on considère l’équation \(t^3 + pt + q = 0\), d’inconnue réelle \(t\). La figure montre le polynôme pour \((p,q) = (-3,2)\) et pour deux valeurs voisines de \(q\).

1. Factoriser \(t^3 – 3t + 2\) et préciser la multiplicité de chaque racine.
2. Montrer qu’il existe un voisinage \(W\) de \((-3,2)\) et une fonction \(r\) de classe \(C^\infty\) sur \(W\) telle que \(r(-3,2) = -2\) et \(r(p,q)^3 + p\,r(p,q) + q = 0\) sur \(W\).
3. Calculer les dérivées partielles de \(r\) en \((-3,2)\).
4. Montrer qu’il n’existe aucune fonction continue \(\rho\), définie sur un voisinage de \((-3,2)\), telle que \(\rho(-3,2) = 1\) et que \(\rho(p,q)\) soit une racine de l’équation.

Exercice 12 – Les matrices de déterminant 1

On note \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) = \{A \in M_n(\mathbb{R}) : \det A = 1\}\), avec \(n \geq 2\).

1. Montrer que \(d(\det)(I_n)(H) = \mathrm{tr}\, H\). En déduire, pour \(A\) inversible, que \(d(\det)(A)(H) = \det(A)\,\mathrm{tr}(A^{-1}H)\).
2. Montrer que \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) est une sous-variété de \(M_n(\mathbb{R})\), dont on donnera la dimension.
3. Déterminer l’espace tangent en \(I_n\), puis en un point \(A\) quelconque de \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\).
4. Pour \(n = 2\) et \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), donner une équation de \(T_A\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\) en fonction des coefficients \(a, b, c, d\) d’une matrice \(H = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\).

Exercice 13 – Racine carrée d’une matrice proche de l’identité

Soit \(S : M_n(\mathbb{R}) \to M_n(\mathbb{R})\), \(S(M) = M^2\).

1. Montrer que \(S\) est de classe \(C^\infty\) et que \(dS(A)(H) = AH + HA\).
2. Montrer qu’il existe des ouverts \(V\) et \(W\) contenant \(I_n\) tels que \(S\) soit un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(V\) sur \(W\). On note \(R\) sa réciproque.
3. Montrer que \(R(I_n + H) = I_n + \frac{1}{2}H + o(\|H\|)\).
4. Pour \(n = 2\) et \(A = \mathrm{diag}(1,-1)\), trouver \(H \neq 0\) tel que \(dS(A)(H) = 0\). Montrer ensuite que \(S\) n’est injective sur aucun voisinage de \(A\).

Exercice 14 – Le huit de Gerono n’est pas une sous-variété

Soit \(\Gamma = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^4 – x^2 + y^2 = 0\}\), représentée ci-dessous.

1. Déterminer les points de \(\Gamma\) où le gradient de \(F(x,y) = x^4 – x^2 + y^2\) s’annule.
2. En déduire que \(\Gamma \setminus \{(0,0)\}\) est une sous-variété de dimension \(1\) de \(\mathbb{R}^2\).
3. Vérifier que \(b = \big(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\big)\) appartient à \(\Gamma\) et donner la tangente en \(b\).
4. Trouver deux courbes \(C^1\) tracées sur \(\Gamma\), passant par l’origine avec des vitesses non colinéaires. Conclure que \(\Gamma\) n’est pas une sous-variété au voisinage de l’origine.

Pour approfondir

Exercice 15 – Un difféomorphisme global du plan

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x,y) = (x^3 + x – y,\; y^3 + y + x)\). On munit \(\mathbb{R}^2\) du produit scalaire usuel.

1. Montrer que le jacobien de \(f\) est minoré par \(2\).
2. Montrer que \(f\) est injective. On pourra comparer les signes de \(x – x^{\prime}\) et \(y – y^{\prime}\).
3. Montrer que \(\langle f(p), p \rangle \geq \|p\|^2\) et en déduire \(\|f(p)\| \geq \|p\|\) pour tout \(p\).
4. Montrer que \(f(\mathbb{R}^2)\) est à la fois ouvert et fermé dans \(\mathbb{R}^2\).
5. Conclure que \(f\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 16 – Racines d’un polynôme et coefficients

On définit \(\sigma : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) par \(\sigma(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3,\; \lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3,\; \lambda_1\lambda_2\lambda_3)\), et \(\Delta = \{\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3\}\).

1. Montrer que \(\det J_\sigma(\lambda) = (\lambda_1 – \lambda_2)(\lambda_1 – \lambda_3)(\lambda_2 – \lambda_3)\).
2. Montrer que \(\sigma\) est injective sur \(\Delta\). On pourra introduire le polynôme \((t – \lambda_1)(t – \lambda_2)(t – \lambda_3)\).
3. En déduire que \(\sigma(\Delta)\) est un ouvert et que \(\sigma\) est un \(C^\infty\)-difféomorphisme de \(\Delta\) sur \(\sigma(\Delta)\). Interpréter en termes de racines d’un polynôme.
4. On considère \(P(t) = t^3 – 6t^2 + 11t – 6\). Calculer ses racines, puis les dérivées partielles de la plus petite racine par rapport à \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) et \(\sigma_3\) au point \((6, 11, 6)\).

Exercice 17 – Problème – Un rayon explicite d’inversion locale

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme \(\|(x,y)\|_\infty = \max(|x|,|y|)\). On pose \(f(x,y) = (x + y^2,\; y + x^2)\) et \(g(x,y) = (y^2, x^2)\), de sorte que \(f = \mathrm{id} + g\). Pour \(r > 0\), on note \(B_r = \{p : \|p\|_\infty \leq r\}\).

1. Calculer le jacobien de \(f\) et décrire l’ensemble \(Z\) où il s’annule.
2. Vérifier que \(f(x, 1-x) = f(1-x, x)\) pour tout réel \(x\). En déduire que \(f\) n’est pas injective sur \(\mathbb{R}^2\), bien que son jacobien soit non nul en \((0,1)\) et en \((1,0)\).
3. Montrer que, sur \(B_r\), l’application \(g\) est \(2r\)-lipschitzienne et vérifie \(\|g(p)\|_\infty \leq r^2\).
4. On prend \(r = \frac{1}{4}\). Montrer que, pour tout \(b\) tel que \(\|b\|_\infty \leq \frac{3}{16}\), l’équation \(f(p) = b\) possède une unique solution \(p = \varpi(b)\) dans \(B_{1/4}\).
5. Montrer que \(\varpi\) est \(2\)-lipschitzienne, puis qu’elle est de classe \(C^\infty\) à l’intérieur de \(B_{3/16}\).
6. En itérant la relation \(p = b – g(p)\), montrer que, pour \(b = (u,v)\) proche de \(0\), \[\varpi(u,v) = \big(u – v^2 + 2u^2v,\; v – u^2 + 2uv^2\big) + O\big(\|b\|_\infty^4\big).\]

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