Contractions et théorème du point fixe : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « contractions et théorème du point fixe », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au milieu du semestre 5, juste après le chapitre sur les espaces complets. Vous commencerez par trois suites réelles soumises au critère de Cauchy. Ensuite, une famille de fonctions en rampe montre qu’un espace de fonctions continues peut ne pas être complet pour la norme de la moyenne. Puis vous démontrerez la complétude de C([a,b]) pour la norme infinie, résultat central du cours. L’exercice 4 applique le théorème de Banach-Picard à une équation réelle et demande une estimation de l’erreur après n itérations. Enfin, le problème fait démontrer le théorème lui-même, puis examine, par deux contre-exemples, ce que deviennent ses hypothèses quand on les affaiblit.
Ce qu’évalue le contrôle : contractions et théorème du point fixe
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Suites de Cauchy, espaces complets et point fixe (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Montrer qu’une suite réelle est de Cauchy, ou qu’elle ne l’est pas, à l’aide d’une majoration explicite
- Construire une suite de Cauchy sans limite dans un espace de fonctions continues muni de la norme de la moyenne
- Démontrer la complétude de C([a,b]) pour la norme infinie en passant à la limite dans une inégalité
- Appliquer le théorème du point fixe de Banach-Picard et estimer l’erreur commise après n itérations
- Démontrer le théorème du point fixe et tester la nécessité de chacune de ses hypothèses
Avant de commencer le devoir
Pour prouver qu’une suite est de Cauchy, cherchez d’abord une majoration de l’écart qui ne dépend que du plus petit indice, car c’est elle qui permet de conclure. À l’inverse, pour nier la propriété, exhibez deux indices éloignés dont l’écart reste minoré. Dans l’exercice 3, fixez la variable avant de faire tendre un indice vers l’infini, puis seulement ensuite passez au supremum. Enfin, quand vous appliquez le point fixe, vérifiez les trois hypothèses : espace complet, stabilité et constante strictement inférieure à 1.
Le sujet du contrôle : contractions et théorème du point fixe
Exercice 1 – Trois suites à l’épreuve du critère de Cauchy (3 points)
Dans cet exercice, les suites réelles sont indexées par \(n \geq 1\), et \(\mathbb{R}\) est muni de la valeur absolue.
- On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k^2)}{k(k+1)}\). Pour \(m > n \geq 1\), majorer \(\left|u_m – u_n\right|\) par une quantité qui ne dépend que de \(n\), puis en déduire que \((u_n)\) est de Cauchy.
- On pose \(v_n = \ln\left(1 + n^2\right)\). Montrer d’abord que \(v_{n+1} – v_n\) tend vers 0, puis calculer la limite de \(v_{2n} – v_n\). La suite \((v_n)\) est-elle de Cauchy ? Justifier.
- Soit \((X, d)\) un espace métrique et \((x_n)\) une suite de Cauchy de \(X\). Démontrer que \((x_n)\) est bornée, c’est-à-dire contenue dans une boule.
Exercice 2 – Des rampes qui convergent vers un saut (4 points)
On note \(E = C([-1, 1], \mathbb{R})\), muni de la norme de la moyenne \(\|f\|_1 = \int_{-1}^{1} |f(t)|\,\mathrm{d}t\). Pour \(n \geq 1\), la fonction \(g_n\) est définie sur \([-1, 1]\) par \(g_n(t) = \max\left(-1, \min(1, nt)\right)\). Elle vaut donc \(nt\) sur \(\left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right]\), puis 1 à droite et \(-1\) à gauche de cet intervalle. Ainsi, chaque \(g_n\) est continue et impaire.
- Soit \(m \geq n \geq 1\). Montrer que \(0 \leq g_n(t) \leq g_m(t) \leq 1\) pour tout \(t \in [0, 1]\). En déduire, à l’aide de la parité, que \(\|g_m – g_n\|_1 = \frac{1}{n} – \frac{1}{m}\).
- Montrer alors que \((g_n)\) est une suite de Cauchy de \((E, \|\cdot\|_1)\).
- Supposons qu’il existe \(f \in E\) telle que \(\|g_n – f\|_1\) tende vers 0. Montrer que \(\int_{0}^{1} |f(t) – 1|\,\mathrm{d}t = 0\), puis que \(f = 1\) sur \(\left]0, 1\right]\). Obtenir de même la valeur de \(f\) sur \(\left[-1, 0\right[\), et aboutir enfin à une contradiction.
- Conclure sur la complétude de \((E, \|\cdot\|_1)\). Que peut-on en déduire sur l’équivalence des normes \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sur \(E\), sachant que l’exercice 3 établit la complétude pour la seconde ?
Exercice 3 – Complétude de C([a,b]) pour la norme infinie (4 points)
Soit \(a < b\) deux réels. On munit \(C([a, b], \mathbb{R})\) de la norme \(\|f\|_\infty = \sup_{t \in [a, b]} |f(t)|\). On considère une suite de Cauchy \((f_n)\) de cet espace, et l’on admet la complétude de \(\mathbb{R}\).
- Fixons \(t \in [a, b]\). Montrer que la suite réelle \((f_n(t))\) est de Cauchy, puis qu’elle converge. On note alors \(f(t)\) sa limite.
- Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) un rang tel que \(\|f_n – f_m\|_\infty \leq \varepsilon\) pour tous \(n, m \geq N\). Démontrer que \(|f_n(t) – f(t)| \leq \varepsilon\) pour tout \(n \geq N\) et tout \(t \in [a, b]\).
- Prouver ensuite que \(f\) est continue en tout point \(t_0\) de \([a, b]\).
- Conclure : la suite \((f_n)\) converge-t-elle dans \((C([a, b], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)\) ? Énoncer le résultat obtenu.
Exercice 4 – Une itération à sinus et son erreur (4 points)
On définit \(\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) par \(\varphi(x) = 2 + \frac{1}{3}\sin x\), puis la suite \((x_n)\) par \(x_0 = 2\) et \(x_{n+1} = \varphi(x_n)\). On note \(I = \left[\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right]\). Le théorème du point fixe de Banach-Picard est ici admis ; le problème le démontre. La figure montre les premiers itérés obtenus par la construction en escalier.
- Montrer que \(\varphi\) est \(\frac{1}{3}\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\), puis que \(\varphi(\mathbb{R}) \subset I\).
- En déduire que \(\varphi\) admet un unique point fixe \(\ell\), que \(\ell \in I\) et que \((x_n)\) converge vers \(\ell\).
- Établir que \(|x_n – \ell| \leq \frac{1}{2} \times \frac{1}{3^n}\) pour tout \(n\). Quel est alors le plus petit rang \(n\) qui garantit \(|x_n – \ell| \leq 10^{-4}\) ?
- Sachant que \(3 < \pi < \frac{10}{3}\), montrer que \(\varphi\) est strictement décroissante sur \(I\). Prouver alors que les nombres \(x_n – \ell\) sont non nuls et changent de signe à chaque rang, puis que \(2 < \ell < x_1\).
Exercice 5 – Problème : le point fixe et ses hypothèses (5 points)
Soit \((X, d)\) un espace métrique complet non vide et \(T : X \to X\) une application k-contractante, avec \(0 \leq k < 1\) : pour tous \(x, y \in X\), on a \(d(T(x), T(y)) \leq k\,d(x, y)\). On fixe \(x_0 \in X\) et l’on pose \(x_{n+1} = T(x_n)\).
Partie A : démonstration du théorème de Banach-Picard
- Montrer par récurrence que \(d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n\,d(x_1, x_0)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
- Pour \(n, p \in \mathbb{N}\), établir que \(d(x_{n+p}, x_n) \leq \frac{k^n}{1 – k}\,d(x_1, x_0)\). Justifier alors que \((x_n)\) est de Cauchy.
- Montrer que \((x_n)\) converge vers un point fixe \(\ell\) de \(T\), puis que ce point fixe est unique.
- Démontrer finalement l’estimation \(d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 – k}\,d(x_1, x_0)\).
Partie B : que se passe-t-il sans les hypothèses ?
On pose \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) pour \(x \in \left[0, +\infty\right[\). Son graphe est tracé ci-dessous avec la première bissectrice.
- Justifier que \(\left[0, +\infty\right[\) est complet. Montrer ensuite que \(|g(x) – g(y)| < |x – y|\) dès que \(x \neq y\), mais que \(g\) n’a aucun point fixe. Quelle hypothèse du théorème est en défaut ? Le vérifier sur \(x = n\) et \(y = n + 1\).
- Soit à présent \(X = \left]0, 1\right]\) et \(h(x) = \frac{x}{2 + x}\). Montrer que \(h(X) \subset X\), que \(h\) est \(\frac{1}{2}\)-contractante, mais que \(h\) n’a pas de point fixe dans \(X\). Expliquer pourquoi le théorème ne s’applique pas.
Réviser contractions et théorème du point fixe avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours suites de cauchy, espaces complets et point fixe ; entraînez-vous sur les exercices suites de cauchy, espaces complets et point fixe avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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