Actions de groupes et Sylow en L3 de maths : cours et méthodes
Ce cours Sylow L3 fait suite au chapitre sur les groupes quotients. Il introduit un outil qui traverse toute l’algèbre : faire agir un groupe sur un ensemble. Nous partons d’un objet concret, le cube, dont les rotations permutent les faces, les sommets et les grandes diagonales. Compter ces mouvements conduit naturellement à la relation orbite-stabilisateur.
Ensuite, l’action d’un groupe sur lui-même par conjugaison donne la formule des classes. Elle montre que tout p-groupe possède un centre non trivial. Enfin, les théorèmes de Sylow garantissent l’existence de sous-groupes d’ordre maximal pour chaque facteur premier et contrôlent leur nombre.
Ces résultats permettent de décrire tous les groupes de certains ordres, ou de prouver qu’un groupe n’est pas simple. Ils servent aussi en théorie des corps et en géométrie.
Ce que vous saurez faire
- Reconnaître une action de groupe et la traduire en morphisme vers un groupe de permutations.
- Calculer une orbite et un stabilisateur, puis en déduire l’ordre d’un groupe.
- Écrire la formule des classes d’un groupe fini à partir de ses classes de conjugaison.
- Démontrer qu’un p-groupe non trivial a un centre non trivial.
- Énoncer et utiliser les trois théorèmes de Sylow.
- Décrire les groupes de certains ordres et prouver qu’un groupe donné n’est pas simple.
1. Actions de groupes sur un ensemble
Un groupe se comprend souvent mieux à travers ce qu’il fait. Les rotations du cube, par exemple, déplacent les faces, les sommets et les arêtes. Nous formalisons cette idée, puis nous l’exploitons pour compter.
Soit \(G\) un groupe d’élément neutre \(e\) et \(X\) un ensemble. Une action (à gauche) de \(G\) sur \(X\) est une application \(G \times X \to X\), notée \((g,x) \mapsto g \cdot x\), qui vérifie deux règles : \(e \cdot x = x\) pour tout \(x\), et \(g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x\) pour tous \(g, h\) dans \(G\) et \(x\) dans \(X\).
1.1 Le point de vue des permutations
Fixons \(g\) et regardons l’application \(\sigma_g : x \mapsto g \cdot x\). Les deux axiomes montrent que \(\sigma_{g^{-1}}\) en est la réciproque. Ainsi \(\sigma_g\) est une bijection de \(X\).
Se donner une action de \(G\) sur \(X\) revient à se donner un morphisme de groupes \(\sigma : G \to \mathfrak{S}(X)\), où \(\mathfrak{S}(X)\) est le groupe des bijections de \(X\). Le noyau de \(\sigma\) est l’ensemble des éléments qui fixent tout point. L’action est dite fidèle lorsque ce noyau est réduit à \(\{e\}\).
Si l’on part d’une action, la règle \(g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x\) se lit \(\sigma_g \circ \sigma_h = \sigma_{gh}\). C’est exactement dire que \(\sigma\) est un morphisme. Réciproquement, un morphisme \(\sigma\) définit une action par \(g \cdot x = \sigma(g)(x)\). En effet, \(\sigma(e)\) est l’identité, ce qui donne le premier axiome, et la propriété de morphisme donne le second.
1.2 Des exemples fondamentaux
Voici les actions qui reviendront dans tout le chapitre. Elles sont toutes à connaître.
- Le groupe \(G\) des rotations du cube agit sur l’ensemble de ses 6 faces, de ses 8 sommets, de ses 12 arêtes et de ses 4 grandes diagonales.
- Tout groupe agit sur lui-même par translation : \(g \cdot x = gx\). Cette action est fidèle.
- Tout groupe agit sur lui-même par conjugaison : \(g \cdot x = gxg^{-1}\).
- Si \(H\) est un sous-groupe de \(G\), le groupe \(G\) agit sur l’ensemble \(G/H\) des classes à gauche par \(g \cdot (xH) = (gx)H\).
La figure suivante montre les trois sortes d’axes de rotation du cube. Ils passent par les centres de deux faces opposées, par deux sommets opposés ou par les milieux de deux arêtes opposées.
Piège à éviter :
La conjugaison n’est pas la formule \(g \cdot x = g^{-1}xg\). Celle-ci vérifie \(g \cdot (h \cdot x) = (hg) \cdot x\) et définit donc une action à droite. On peut la rendre à gauche en remplaçant \(g\) par \(g^{-1}\), mais il faut le dire.
2. Orbites, stabilisateurs et comptage
Une action découpe l’ensemble \(X\) en morceaux. Chaque morceau rassemble les points que le groupe peut échanger. On les étudie avec deux objets complémentaires.
L’orbite de \(x\) est \(G \cdot x = \{g \cdot x \mid g \in G\}\). Le stabilisateur de \(x\) est \(G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}\). Un point \(x\) est fixe si \(G \cdot x = \{x\}\), c’est-à-dire si \(G_x = G\). L’action est transitive lorsqu’il n’y a qu’une seule orbite.
2.1 Premières propriétés
Les orbites forment une partition de \(X\). Chaque stabilisateur \(G_x\) est un sous-groupe de \(G\). De plus, pour tout \(g\) de \(G\), on a \(G_{g \cdot x} = gG_xg^{-1}\).
La relation « \(y\) est dans l’orbite de \(x\) » est réflexive grâce à \(e\). Elle est symétrique, car \(y = g \cdot x\) donne \(x = g^{-1} \cdot y\). Elle est transitive par composition. On a donc une relation d’équivalence, et ses classes d’équivalence sont précisément les orbites. Ensuite, \(e\) fixe \(x\), et si \(g\) et \(h\) fixent \(x\), alors \(gh^{-1}\) le fixe aussi. Enfin, \(k\) fixe \(g \cdot x\) si et seulement si \(g^{-1}kg\) fixe \(x\), ce qui donne la dernière égalité.
La figure ci-dessous illustre cette partition. Le groupe des rotations d’angle multiple de \(\pi/2\) agit sur les points entiers d’un carré centré. L’origine forme une orbite à un seul point ; toutes les autres orbites ont quatre points.
2.2 La relation orbite-stabilisateur
Pour tout \(x\) de \(X\), l’application \(gG_x \mapsto g \cdot x\) est une bijection bien définie de \(G/G_x\) sur l’orbite \(G \cdot x\). En particulier, si \(G\) est fini : \[|G| = |G \cdot x| \times |G_x|.\]
Pour \(g, h\) dans \(G\), on a les équivalences suivantes : \(g \cdot x = h \cdot x\) si et seulement si \(h^{-1}g \cdot x = x\), si et seulement si \(h^{-1}g \in G_x\), si et seulement si \(gG_x = hG_x\). Le sens direct montre que l’application ne dépend pas du représentant choisi. Le sens réciproque montre qu’elle est injective. Elle est surjective par définition de l’orbite. Le théorème de Lagrange donne enfin \(|G/G_x| = |G| / |G_x|\).
Calculons l’ordre du groupe \(G\) des rotations du cube. D’abord, toute face peut être amenée sur toute autre : l’orbite d’une face a 6 éléments. Ensuite, une rotation qui laisse une face en place tourne autour de l’axe passant par son centre. Il y en a 4, d’angles \(0\), \(\pi/2\), \(\pi\) et \(3\pi/2\). Par conséquent, \(|G| = 6 \times 4 = 24\). On contrôle ce résultat avec les sommets : l’orbite d’un sommet en contient 8, et son stabilisateur contient les 3 rotations autour de la diagonale qui le traverse. On retrouve bien \(8 \times 3 = 24\).
- On choisit un ensemble \(X\) sur lequel le groupe agit de façon simple à décrire.
- On montre que l’action est transitive, ou on identifie l’orbite d’un point bien choisi.
- On décrit explicitement le stabilisateur de ce point.
- On multiplie les deux cardinaux, puis on contrôle avec une autre action si possible.
3. Conjugaison, centre et formule des classes
Faisons maintenant agir \(G\) sur lui-même par conjugaison. Les orbites portent alors un nom particulier, et les stabilisateurs aussi. Dans toute cette partie, \(G\) est un groupe fini.
La classe de conjugaison de \(x\) est \(\mathrm{Cl}(x) = \{gxg^{-1} \mid g \in G\}\). Son stabilisateur est le centralisateur \(C(x) = \{g \in G \mid gx = xg\}\). Le centre \(Z(G)\) est l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres.
Un élément \(x\) est central si et seulement si sa classe est réduite à \(\{x\}\). Autrement dit, les points fixes de la conjugaison sont exactement les éléments du centre.
3.1 L’énoncé
Soit \(x_1, \dots, x_k\) des représentants des classes de conjugaison non réduites à un élément. Alors \[|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{k} [G : C(x_i)],\] et chaque indice \([G : C(x_i)]\) est un diviseur de \(|G|\) strictement supérieur à 1.
Les classes de conjugaison partitionnent \(G\). Celles qui n’ont qu’un élément rassemblent exactement \(Z(G)\). Ensuite, la relation orbite-stabilisateur donne \(|\mathrm{Cl}(x_i)| = [G : C(x_i)]\). Cet indice divise \(|G|\) par Lagrange. Enfin, il dépasse 1, puisque la classe de \(x_i\) a plusieurs éléments.
3.2 Les classes du groupe du cube
Dans un groupe de rotations, deux rotations conjuguées ont le même angle. Leurs axes se correspondent par la rotation qui conjugue. On classe donc les 24 rotations du cube selon leur type.
On recense les éléments de \(G\) :
- l’identité, seule dans sa classe ;
- les quarts de tour autour des 3 axes de faces, dans les deux sens : 6 éléments ;
- les demi-tours autour de ces mêmes axes : 3 éléments ;
- les rotations d’angle \(\pm 2\pi/3\) autour des 4 diagonales : 8 éléments ;
- les demi-tours autour des 6 axes d’arêtes : 6 éléments.
On vérifie que \(1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24\). Chacun de ces ensembles est une classe, car le groupe permute transitivement les axes de chaque type. Ainsi la formule des classes s’écrit \(24 = 1 + 3 + 6 + 6 + 8\). En particulier, le centre est trivial.
Le diagramme suivant résume ces classes. Chaque taille divise bien 24.
Piège à éviter :
Une rotation d’angle \(\pi/2\) et une rotation d’angle \(-\pi/2\) autour du même axe sont conjuguées dans le groupe du cube. En effet, un demi-tour autour d’un axe perpendiculaire retourne l’axe. On ne doit donc pas séparer les deux sens dans le décompte des classes.
4. Les p-groupes
Dans cette partie, \(p\) désigne un nombre premier. Un p-groupe est un groupe fini dont l’ordre est une puissance de \(p\). Ces groupes ont une propriété de rigidité remarquable, que nous tirons d’un lemme de comptage.
Soit \(P\) un p-groupe agissant sur un ensemble fini \(X\), et \(X^{P}\) l’ensemble des points fixes. Alors \(|X| \equiv |X^{P}| \pmod{p}\).
On découpe \(X\) en orbites. Une orbite non réduite à un point a pour cardinal l’indice d’un sous-groupe propre de \(P\). Cet indice est une puissance de \(p\) différente de 1, donc un multiple de \(p\). Il reste, modulo \(p\), le nombre d’orbites à un élément, c’est-à-dire le nombre de points fixes.
Ce lemme a une première conséquence spectaculaire, qui n’utilise même pas l’hypothèse de p-groupe sur \(G\) tout entier. Il suffit de faire agir un groupe cyclique d’ordre \(p\).
Théorème de Cauchy : si un nombre premier \(p\) divise l’ordre d’un groupe fini \(G\), alors \(G\) possède un élément d’ordre \(p\).
Soit \(X\) l’ensemble des \(p\)-uplets \((g_1, \dots, g_p)\) de \(G^{p}\) tels que \(g_1g_2 \cdots g_p = e\). On choisit librement les \(p – 1\) premiers termes, et le dernier est alors imposé. Ainsi \(|X| = |G|^{p-1}\), qui est divisible par \(p\). Ensuite, le groupe \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) agit sur \(X\) par permutation circulaire. En effet, si \(g_1 \cdots g_p = e\), alors \(g_2 \cdots g_pg_1 = g_1^{-1}eg_1 = e\). Les points fixes sont les uplets constants \((g, \dots, g)\) avec \(g^{p} = e\). Le lemme donne alors un nombre de tels \(g\) divisible par \(p\). Comme \(e\) en fait partie, il en existe au moins \(p – 1\) autres, qui sont d’ordre \(p\).
Le centre d’un p-groupe non trivial n’est pas réduit à l’élément neutre.
On applique le lemme à l’action de \(P\) sur lui-même par conjugaison. Les points fixes sont les éléments du centre. Ainsi \(|Z(P)| \equiv |P| \equiv 0 \pmod{p}\). Or \(Z(P)\) contient \(e\), donc il a au moins un élément. Par conséquent, il en a au moins \(p\).
Tout groupe d’ordre \(p^2\) est abélien. Il est isomorphe à \(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\) ou à \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2\).
La preuve de ce corollaire fait l’objet d’un exercice. Elle repose sur un fait simple : si \(G/Z(G)\) est cyclique, alors \(G\) est abélien.
Le résultat ne s’étend pas à l’ordre \(p^3\). Le groupe diédral \(D_4\) des isométries d’un carré a 8 éléments. Il n’est pas abélien : la rotation \(r\) d’angle \(\pi/2\) et une symétrie \(s\) vérifient \(srs^{-1} = r^{-1} \neq r\). Son centre est \(\{e, r^2\}\), d’ordre 2, conformément au théorème.
5. Les théorèmes de Sylow
Le théorème de Lagrange dit que l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe. Sa réciproque échoue en général, et un exercice exhibe un groupe à 12 éléments dépourvu de sous-groupe à 6 éléments. Pour les puissances de nombres premiers, en revanche, Sylow garantit une forme de réciproque.
5.1 Énoncés
Soit \(G\) un groupe fini d’ordre \(p^{a}m\), avec \(a \geq 1\) et \(p\) ne divisant pas \(m\). On appelle p-Sylow de \(G\) tout sous-groupe ayant exactement \(p^{a}\) éléments, et \(n_p\) désigne leur nombre.
Avec ces notations :
- \(G\) possède au moins un p-sous-groupe de Sylow ;
- tout p-sous-groupe de \(G\) est contenu dans un Sylow, et deux Sylow sont toujours conjugués ;
- \(n_p\) divise \(m\) et \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\).
5.2 Preuves commentées
Les trois preuves utilisent chacune une action bien choisie. C’est la meilleure illustration des parties précédentes.
Existence. Soit \(\mathcal{E}\) l’ensemble des parties de \(G\) à \(p^{a}\) éléments. Le groupe \(G\) agit sur \(\mathcal{E}\) par translation : \(g \cdot A = gA\). Dans \(\mathbb{F}_p[T]\), on a \((1+T)^{p^{a}m} = (1 + T^{p^{a}})^{m}\). En comparant les coefficients de \(T^{p^{a}}\), on obtient \(|\mathcal{E}| = \binom{p^{a}m}{p^{a}} \equiv m \pmod{p}\). Ce cardinal n’est donc pas divisible par \(p\). Par conséquent, une orbite au moins a un cardinal premier à \(p\). Soit \(A\) dans cette orbite et \(S\) son stabilisateur. D’une part, \(|G| / |S|\) est premier à \(p\), donc \(p^{a}\) divise \(|S|\). D’autre part, pour \(x\) fixé dans \(A\), on a \(Sx \subset A\), donc \(|S| \leq p^{a}\). Ainsi \(|S| = p^{a}\).
Conjugaison. Soit \(S\) un Sylow et \(H\) un p-sous-groupe. Le groupe \(H\) agit sur \(G/S\) par translation. Comme \(|G/S| = m\) n’est pas divisible par \(p\), le lemme des points fixes donne une classe \(gS\) fixée par \(H\). Alors \(HgS = gS\), c’est-à-dire \(H \subset gSg^{-1}\). Si \(H\) est lui-même un Sylow, l’égalité des ordres donne \(H = gSg^{-1}\).
Nombre. Les Sylow forment une seule orbite pour la conjugaison. Leur nombre est donc l’indice du normalisateur \(N(S)\), qui divise \([G : S] = m\) car \(S \subset N(S)\). Ensuite, faisons agir \(S\) par conjugaison sur l’ensemble des Sylow. Si \(T\) est fixe, alors \(S \subset N(T)\). Ainsi \(S\) et \(T\) sont deux Sylow de \(N(T)\), où \(T\) est distingué. Ils y sont conjugués, d’où \(S = T\). Il y a donc un seul point fixe, et le lemme donne \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\).
Pour qu’un p-Sylow soit distingué, il faut et il suffit que \(n_p\) soit égal à 1.
5.3 Les Sylow du groupe du cube
Le groupe \(G\) des rotations du cube est d’ordre \(24 = 2^3 \times 3\). Pour \(p = 3\), un Sylow a 3 éléments : c’est le groupe des rotations autour d’une diagonale. Il y a 4 diagonales, donc \(n_3 = 4\). On vérifie que 4 divise 8 et que \(4 \equiv 1 \pmod{3}\). Pour \(p = 2\), un Sylow a 8 éléments. Le stabilisateur d’une paire de faces opposées convient : l’orbite d’une telle paire a 3 éléments, donc son stabilisateur est d’ordre \(24 / 3 = 8\). Ces trois stabilisateurs sont distincts, donc \(n_2 \geq 3\). Comme \(n_2\) divise 3, on conclut que \(n_2 = 3\).
L’action sur les quatre diagonales, montrée ci-dessous, explique ces nombres. Elle identifie le groupe du cube au groupe symétrique \(\mathfrak{S}_4\), comme le prouve un exercice.
6. Applications aux groupes d’ordre donné
Les théorèmes de Sylow servent surtout à deux choses. D’abord, ils permettent de décrire tous les groupes d’un ordre fixé. Ensuite, ils prouvent qu’un groupe n’est pas simple, c’est-à-dire qu’il possède un sous-groupe distingué autre que \(\{e\}\) et lui-même.
6.1 Forcer un Sylow à être distingué
- On décompose \(|G|\) en facteurs premiers.
- Pour chaque premier \(p\), on liste les diviseurs de \(m\) qui sont congrus à 1 modulo \(p\).
- Si la liste se réduit à 1, le Sylow est distingué et l’on conclut.
- Sinon, on suppose tous les \(n_p\) supérieurs à 1 et on compte les éléments : deux Sylow d’ordre premier \(p\) distincts ne partagent que l’élément neutre.
Soit \(H\) et \(K\) deux sous-groupes distingués de \(G\) tels que \(H \cap K = \{e\}\) et \(|H| \times |K| = |G|\). Alors \(G\) est isomorphe au produit direct \(H \times K\).
Pour \(h \in H\) et \(k \in K\), le commutateur \(hkh^{-1}k^{-1}\) appartient à \(K\), car \(hkh^{-1} \in K\). Il appartient aussi à \(H\), car \(kh^{-1}k^{-1} \in H\). Il vaut donc \(e\), et les éléments de \(H\) commutent avec ceux de \(K\). Dès lors, \((h,k) \mapsto hk\) est un morphisme de \(H \times K\) dans \(G\). Son noyau est formé des \((h, h^{-1})\) avec \(h \in H \cap K\) ; il est trivial. Enfin, les cardinaux sont égaux, donc ce morphisme injectif est bijectif.
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(175 = 5^2 \times 7\). Le nombre \(n_7\) divise 25 et vaut 1 modulo 7. Or \(5 \equiv 5\) et \(25 \equiv 4\) modulo 7. Ainsi \(n_7 = 1\). De même, \(n_5\) divise 7 et vaut 1 modulo 5, alors que \(7 \equiv 2 \pmod{5}\). Donc \(n_5 = 1\). Les deux Sylow \(P\) et \(Q\) sont distingués, d’intersection triviale par Lagrange. Par conséquent, \(G \simeq P \times Q\). Comme \(P\) est d’ordre 25, il est abélien, et \(Q\) est cyclique d’ordre 7. Finalement, tout groupe d’ordre 175 est abélien.
6.2 Compter les éléments
Quand les congruences laissent plusieurs possibilités, on compte. Deux sous-groupes distincts d’ordre premier \(q\) se coupent en \(\{e\}\). Chacun apporte donc \(q – 1\) éléments d’ordre exactement \(q\).
Soit \(G\) d’ordre \(351 = 3^3 \times 13\). Le nombre \(n_{13}\) divise 27 et vaut 1 modulo 13. Les diviseurs 3 et 9 ne conviennent pas, mais \(27 = 2 \times 13 + 1\) convient. Ainsi \(n_{13} \in \{1, 27\}\). Si \(n_{13} = 27\), les 13-Sylow fournissent \(27 \times 12 = 324\) éléments d’ordre 13. Il reste \(351 – 324 = 27\) éléments. Or un 3-Sylow a 27 éléments, dont aucun n’est d’ordre 13. Il est donc formé exactement de ces 27 éléments restants, ce qui le rend unique. Dans les deux cas, \(G\) possède un Sylow distingué : aucun groupe d’ordre 351 n’est simple.
Le diagramme suivant visualise ce comptage. La barre montre comment les 351 éléments se répartissent dans le cas \(n_{13} = 27\).
Remarque :
Le comptage ne fonctionne qu’avec des Sylow d’ordre premier. Deux 3-Sylow d’ordre 27 peuvent en effet partager un sous-groupe d’ordre 9 ; on ne peut alors plus additionner leurs éléments sans précaution.
Les erreurs fréquentes
- Oublier de vérifier l’axiome \(g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x\), et définir sans le voir une action à droite.
- Croire que le cardinal d’une orbite est l’ordre du stabilisateur, alors que c’est son indice.
- Compter séparément deux rotations inverses qui sont en fait conjuguées.
- Écrire que \(n_p\) divise \(|G|\) sans utiliser la condition plus fine \(n_p \mid m\).
- Additionner les éléments de Sylow non cycliques comme s’ils ne se coupaient qu’en l’élément neutre.
- Penser que tout groupe d’ordre \(p^3\) est abélien parce que ceux d’ordre \(p^2\) le sont.
Fiche mémo
- Action : \(e \cdot x = x\) et \(g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x\) ; c’est un morphisme \(G \to \mathfrak{S}(X)\).
- Les orbites partitionnent \(X\) et \(G_{g \cdot x} = gG_xg^{-1}\).
- Orbite-stabilisateur : \(|G| = |G \cdot x| \times |G_x|\).
- Formule des classes : \(|G| = |Z(G)| + \sum [G : C(x_i)]\), avec des indices supérieurs à 1.
- Pour un p-groupe agissant sur \(X\) : \(|X| \equiv |X^{P}| \pmod{p}\).
- Un p-groupe non trivial a un centre non trivial ; un groupe d’ordre \(p^2\) est abélien.
- Sylow : existence, conjugaison, \(n_p \mid m\) et \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\).
- Un Sylow est distingué si et seulement si \(n_p = 1\).
- Deux sous-groupes distingués d’intersection triviale, d’ordres de produit \(|G|\), donnent un produit direct.
- Rotations du cube : 24 éléments, cinq classes, \(n_2 = 3\) et \(n_3 = 4\).
Questions fréquentes
Pourquoi l'ordre d'une orbite divise-t-il toujours l'ordre du groupe ?
Parce que l’orbite d’un point est en bijection avec l’ensemble des classes à gauche de son stabilisateur. Son cardinal est donc l’indice du stabilisateur, qui divise l’ordre du groupe par le théorème de Lagrange. Ce fait est la base de presque tous les comptages du chapitre.
Quand peut-on conclure qu'un sous-groupe de Sylow est distingué ?
Un p-sous-groupe de Sylow est distingué exactement quand il est le seul de son ordre, c’est-à-dire quand le nombre de Sylow vaut 1. En effet, les conjugués d’un Sylow sont encore des Sylow, et tous les Sylow sont conjugués entre eux. On cherche donc à prouver que ce nombre vaut 1 à l’aide des deux conditions de divisibilité et de congruence.
La formule des classes s'applique-t-elle à un groupe infini ?
Telle quelle, non : elle repose sur un comptage d’éléments dans un groupe fini. En revanche, la décomposition en classes de conjugaison et la relation entre une classe et le centralisateur restent vraies pour tout groupe. Seules les égalités de cardinaux demandent la finitude.
Faut-il connaître les preuves des théorèmes de Sylow en L3 ?
Oui, au moins l’idée de chacune, car elles sont des modèles d’utilisation des actions. L’existence se prouve par une action sur des parties bien choisies, et la conjugaison par le lemme des points fixes d’un p-groupe. Ces arguments reviennent souvent en examen sous forme de questions guidées.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L3 de maths sur actions de groupes et Sylow
- Bases utiles : Sous-groupes distingués et groupes quotients
- Chapitre d’avant : Sous-groupes distingués et groupes quotients
- Chapitre d’après : Idéaux premiers, anneaux principaux et factoriels
- Vérifier ses acquis : QCM de L3 de maths sur actions de groupes et Sylow
- Contrôle corrigé en temps limité : Orbites, stabilisateurs et Sylow : contrôle de maths en L3
- Un autre sujet noté sur 20 : Problème sur les groupes finis : contrôle de maths en L3
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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