Anneaux principaux et factoriels en L3 de maths : cours et méthodes
Voici le cours sur les idéaux et les anneaux factoriels L3. Il prolonge le chapitre sur les groupes quotients : on y retrouve les mêmes réflexes, appliqués cette fois aux anneaux commutatifs. D’abord, nous définissons les idéaux premiers et maximaux et nous les lisons sur l’anneau quotient. Ensuite, nous montons une hiérarchie précise : anneaux intègres, euclidiens, principaux, puis factoriels.
Chaque étage est accompagné d’un contre-exemple qui montre que l’inclusion est stricte. Par ailleurs, une partie entière traite des polynômes : lemme de Gauss, critère d’Eisenstein et méthodes pour prouver une irréductibilité. Enfin, les entiers de Gauss servent de terrain d’essai pour factoriser concrètement. Ce chapitre prépare directement la théorie des extensions et des corps finis, où les quotients de K[X] jouent le premier rôle.
Ce que vous saurez faire
- Lire la nature d’un idéal (premier, maximal) sur l’anneau quotient qu’il définit.
- Situer un anneau dans la chaîne euclidien, principal, factoriel, intègre, et produire un contre-exemple à chaque étage.
- Prouver qu’un polynôme est irréductible par l’absence de racine, la réduction modulo un premier ou une translation.
- Appliquer le critère d’Eisenstein et le lemme de Gauss pour passer de Z[X] à Q[X].
- Effectuer une division euclidienne et factoriser un élément dans les entiers de Gauss.
1. Anneaux commutatifs, morphismes et idéaux
Dans tout le chapitre, un anneau est commutatif et possède un élément unité \(1\). Un morphisme d’anneaux \(f : A \to B\) respecte la somme, le produit et envoie \(1_A\) sur \(1_B\). Nous notons \(A^{\times}\) le groupe des éléments inversibles de \(A\).
1.1 Idéaux et noyaux
Le noyau d’un morphisme n’est presque jamais un sous-anneau, car il ne contient pas \(1\). En revanche, il absorbe les produits. C’est précisément cette propriété qui définit un idéal.
Un idéal de \(A\) est un sous-groupe additif \(I\) de \(A\) tel que \(ax \in I\) pour tout \(a \in A\) et tout \(x \in I\). L’idéal engendré par \(x_1, \dots, x_n\) est \((x_1, \dots, x_n) = \{a_1x_1 + \dots + a_nx_n,\ a_k \in A\}\). Un idéal de la forme \((x)\) est dit principal.
Ainsi, le noyau de tout morphisme est un idéal. De plus, un idéal qui contient un inversible \(u\) contient \(u^{-1}u = 1\), donc il est égal à \(A\). Par conséquent, un corps n’a que deux idéaux : \(\{0\}\) et lui-même.
1.2 Anneau quotient
Comme pour les groupes, on quotiente par la relation \(x \sim y \iff x – y \in I\). La propriété d’absorption garantit que le produit passe au quotient.
Soit \(I\) un idéal de \(A\). L’ensemble \(A/I\) des classes \(\bar{x} = x + I\) est un anneau pour \(\bar{x} + \bar{y} = \overline{x+y}\) et \(\bar{x}\,\bar{y} = \overline{xy}\), et la projection \(\pi : A \to A/I\) est un morphisme surjectif de noyau \(I\). Si \(f : A \to B\) est un morphisme surjectif, alors \(f\) induit un isomorphisme \(A/\ker f \simeq B\).
En pratique, on identifie donc un quotient en construisant un morphisme surjectif adapté, puis en calculant son noyau. Par exemple, l’évaluation \(P \mapsto P(0)\) de \(\mathbb{Z}[X]\) dans \(\mathbb{Z}\) est surjective. Son noyau est formé des polynômes sans terme constant, c’est-à-dire de l’idéal \((X)\). On en déduit \(\mathbb{Z}[X]/(X) \simeq \mathbb{Z}\).
Enfin, les idéaux de \(A/I\) correspondent exactement aux idéaux de \(A\) qui contiennent \(I\). Cette correspondance sert constamment pour décrire tous les idéaux d’un quotient.
Cherchons les idéaux de \(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\). D’abord, les idéaux de \(\mathbb{Z}\) sont les \(d\mathbb{Z}\). Ensuite, \(d\mathbb{Z}\) contient \(18\mathbb{Z}\) si et seulement si \(d\) divise \(18\). On obtient donc six idéaux, associés aux diviseurs \(1, 2, 3, 6, 9, 18\). Par exemple, l’idéal associé à \(6\) est \(\{\bar{0}, \bar{6}, \overline{12}\}\).
2. Idéaux premiers et idéaux maximaux
Les nombres premiers de \(\mathbb{Z}\) se caractérisent de deux façons. D’une part, \(p\) divise \(ab\) seulement s’il divise \(a\) ou \(b\). D’autre part, \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est un corps. Ces deux propriétés donnent naissance à deux notions distinctes dans un anneau quelconque.
2.1 Définitions et caractérisation par le quotient
Un idéal propre \(P\) est dit premier lorsque, dès qu’un produit \(ab\) tombe dans \(P\), l’un des deux facteurs y tombe déjà. Un idéal propre \(M\) est dit maximal lorsqu’aucun idéal ne s’intercale strictement entre \(M\) et \(A\).
Pour un idéal propre \(I\) de \(A\), le quotient \(A/I\) est intègre exactement quand \(I\) est premier. De même, ce quotient est un corps exactement quand \(I\) est maximal. Ainsi, maximal entraîne premier.
Pour la primalité, il suffit de traduire : \(\bar{a}\,\bar{b} = \bar{0}\) signifie \(ab \in I\), et \(\bar{a} = \bar{0}\) signifie \(a \in I\). Pour la maximalité, supposons d’abord \(I\) maximal et prenons \(a \notin I\). L’idéal \(I + (a)\) contient strictement \(I\), donc il vaut \(A\). Ainsi, on peut écrire \(1 = x + ab\) avec \(x \in I\), d’où \(\bar{a}\,\bar{b} = \bar{1}\). Réciproquement, si \(A/I\) est un corps, la correspondance des idéaux montre que \(A\) n’a pas d’autre idéal que \(I\) et \(A\) au-dessus de \(I\), car un corps n’a que deux idéaux. Enfin, un corps est intègre, ce qui donne la dernière affirmation.
Ce théorème transforme une question sur des idéaux en un calcul de quotient. C’est pourquoi il sert de fil conducteur pour tout le chapitre.
2.2 Premier sans être maximal
Dans \(\mathbb{Z}\), les deux notions coïncident pour les idéaux non nuls. En revanche, elles se séparent dès qu’on passe à \(\mathbb{Z}[X]\). Nous avons vu que \(\mathbb{Z}[X]/(X) \simeq \mathbb{Z}\). Or \(\mathbb{Z}\) est intègre mais n’est pas un corps.
L’idéal \((X)\) de \(\mathbb{Z}[X]\) est premier mais non maximal. En effet, il est strictement contenu dans \((7, X)\). De plus, l’évaluation en \(0\) suivie de la réduction modulo \(7\) donne un morphisme surjectif \(\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) de noyau \((7, X)\). Ce dernier idéal est donc maximal, et l’inclusion \((X) \subset (7, X)\) est stricte puisque \(7 \notin (X)\).
La figure suivante place quelques idéaux de \(\mathbb{Z}[X]\) selon leur nature. Une flèche indique une inclusion stricte.
![Quelques idéaux de Z[X] reliés par inclusion, avec les idéaux premiers et les idéaux maximaux distingués par couleur](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/sup-maths-pdf/l3/ideaux-premiers-anneaux-factoriels-cours-ideaux-zx.png)
Pour identifier un idéal maximal \(I\) de \(A\) :
- chercher un morphisme surjectif explicite \(A \to B\) dont \(I\) est le noyau (évaluation, réduction modulo un entier) ;
- reconnaître \(B\) : un corps \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), un quotient \(K[X]/(Q)\) avec \(Q\) irréductible ;
- conclure par le théorème : \(I\) est maximal exactement quand \(B\) est un corps.
Montrons que \(I = (5, X^2 + 2)\) est maximal dans \(\mathbb{Z}[X]\). D’abord, la réduction des coefficients modulo \(5\) donne un morphisme surjectif \(\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{F}_5[X]\) de noyau \((5)\). Ensuite, on compose avec la projection sur \(\mathbb{F}_5[X]/(X^2 + 2)\). Le noyau de la composée est exactement \(I\). Il reste à voir si \(X^2 + 2\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_5\). Or les carrés modulo \(5\) sont \(0, 1, 4\), et \(-2 \equiv 3\) n’en fait pas partie. Ainsi, \(X^2 + 2\) n’a pas de racine, donc il est irréductible, car il est de degré \(2\). Par conséquent, \(\mathbb{Z}[X]/I\) est un corps à \(25\) éléments et \(I\) est maximal.
Remarque :
Tout anneau non nul possède au moins un idéal maximal. L’argument général fait appel à l’axiome du choix, sous la forme du lemme de Zorn, et sort du cadre de ce chapitre. Cependant, dans tous les anneaux étudiés ici, on exhibe les idéaux maximaux à la main.
3. Anneaux intègres et corps des fractions
Un anneau \(A\) est intègre s’il est non nul et sans diviseur de zéro. Autrement dit, l’idéal \(\{0\}\) est premier. C’est le cadre minimal pour parler de divisibilité sérieusement.
3.1 Construction du corps des fractions
On reproduit la construction de \(\mathbb{Q}\) à partir de \(\mathbb{Z}\). Sur \(A \times (A \setminus \{0\})\), on pose \((a, s) \sim (b, t)\) lorsque \(at = bs\). L’intégrité est indispensable pour que cette relation soit transitive.
Soit \(A\) un anneau intègre. L’ensemble \(\operatorname{Frac}(A)\) des classes \(a/s\) est un corps, et \(a \mapsto a/1\) est un morphisme injectif. De plus, pour tout morphisme injectif \(f : A \to L\) vers un corps, il existe un unique morphisme \(\tilde{f} : \operatorname{Frac}(A) \to L\) qui prolonge \(f\), donné par \(\tilde{f}(a/s) = f(a)f(s)^{-1}\).
Concrètement, \(\operatorname{Frac}(A)\) est le plus petit corps contenant \(A\). Par exemple, \(\operatorname{Frac}(K[X])\) est le corps \(K(X)\) des fractions rationnelles. De même, le corps des fractions de \(\mathbb{Z}[i\sqrt{6}]\) s’identifie à \(\{a + bi\sqrt{6},\ a, b \in \mathbb{Q}\}\).
Piège à éviter :
Un anneau non intègre n’a pas de corps des fractions. Par exemple, dans \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), on a \(\bar{3} \cdot \bar{4} = \bar{0}\). Si \(\bar{3}\) était inversible dans un corps contenant cet anneau, on obtiendrait \(\bar{4} = \bar{0}\), ce qui est absurde. Ainsi, avant de diviser, il faut toujours vérifier l’intégrité.
3.2 Divisibilité dans un anneau intègre
Soit \(A\) intègre. On écrit \(a \mid b\) lorsque \(b\) est un multiple \(ac\) de \(a\), ce qui revient à l’inclusion \((b) \subset (a)\). Deux éléments sont associés s’ils diffèrent d’un facteur inversible, autrement dit s’ils engendrent le même idéal.
Un élément \(p\) non nul et non inversible est irréductible si \(p = ab\) entraîne que \(a\) ou \(b\) est inversible. Il est premier si \(p\) divise \(ab\) entraîne que \(p\) divise \(a\) ou \(b\), c’est-à-dire si \((p)\) est un idéal premier.
Un élément premier d’un anneau intègre est toujours irréductible. Supposons en effet \(p = ab\) ; alors \(p\) divise \(a\) par exemple. On écrit \(a = pc\), d’où \(p = pcb\), puis \(cb = 1\) par intégrité. La réciproque est fausse en général, et c’est elle qui distingue les étages de la hiérarchie.
4. Anneaux euclidiens, principaux et factoriels
Nous construisons maintenant la hiérarchie des anneaux intègres. Chaque étage ajoute une propriété, et un contre-exemple montre que la marche est réelle. La figure résume les inclusions.
4.1 Anneaux euclidiens
Un anneau intègre \(A\) est euclidien s’il existe une application \(v : A \setminus \{0\} \to \mathbb{N}\) telle que, pour tous \(a\) et \(b \neq 0\), il existe \(q, r \in A\) avec \(a = bq + r\) et \(r = 0\) ou \(v(r) < v(b)\).
Les exemples de référence sont \(\mathbb{Z}\) avec la valeur absolue et \(K[X]\) avec le degré, pour un corps \(K\). Nous verrons en partie 6 que \(\mathbb{Z}[i]\) est aussi euclidien pour la norme.
Tout anneau euclidien est principal : chacun de ses idéaux est de la forme \((d)\).
Soit \(I\) un idéal non nul. On choisit \(d \in I\) non nul tel que \(v(d)\) soit minimal. Pour \(a \in I\), on écrit \(a = dq + r\). Alors \(r = a – dq\) appartient à \(I\). Si \(r\) était non nul, on aurait \(v(r) < v(d)\), ce qui contredit la minimalité. Donc \(r = 0\) et \(a \in (d)\). Ainsi, \(I = (d)\).
Remarque :
La réciproque est fausse : il existe des anneaux principaux qui ne sont euclidiens pour aucune application \(v\). Les exemples connus sont des anneaux d’entiers quadratiques dont l’étude dépasse le programme. Nous l’admettons donc, à titre de culture.
4.2 Anneaux principaux
Dans un anneau principal, la divisibilité se lit sur les idéaux. Par exemple, le pgcd de \(a\) et \(b\) est un générateur de \((a, b)\), ce qui donne immédiatement une relation de Bézout.
Soit \(A\) un anneau principal et \(p \in A\) non nul. Les propriétés suivantes sont équivalentes : \(p\) est irréductible ; \(p\) est premier ; l’idéal \((p)\) est maximal.
Supposons \(p\) irréductible et soit \(J\) un idéal contenant \((p)\). On écrit \(J = (d)\). Alors \(d\) divise \(p\), donc \(d\) est inversible ou associé à \(p\). Dans le premier cas \(J = A\), dans le second \(J = (p)\). Ainsi, \((p)\) est maximal. Ensuite, maximal entraîne premier, et premier entraîne irréductible dans tout anneau intègre.
Par conséquent, dans un anneau principal qui n’est pas un corps, les idéaux premiers non nuls sont maximaux. C’est un test efficace : si l’on trouve un idéal premier non nul et non maximal, l’anneau n’est pas principal.
L’anneau \(\mathbb{Z}[X]\) n’est pas principal. En effet, \((X)\) y est premier, non nul et non maximal. On peut aussi le voir directement : un générateur de \((7, X)\) diviserait \(7\), donc serait une constante \(\pm 1\) ou \(\pm 7\). Or \(\pm 7\) ne divise pas \(X\), et \(\pm 1\) donnerait \((7, X) = \mathbb{Z}[X]\), ce qui est faux.
De même, \(K[X, Y]\) n’est pas principal, car \((X)\) y est premier sans être maximal. Ainsi, un anneau de polynômes n’est principal que s’il est en une variable sur un corps.
4.3 Anneaux factoriels
On dit que l’anneau intègre \(A\) est factoriel lorsque deux conditions sont réunies. D’abord, chaque élément ni nul ni inversible est un produit fini d’irréductibles. Ensuite, deux telles décompositions ont le même nombre de facteurs et, quitte à les réordonner, leurs facteurs sont associés deux à deux.
Dans un anneau factoriel, on retrouve toute l’arithmétique de \(\mathbb{Z}\) : pgcd, ppcm, valuations. En revanche, la relation de Bézout peut disparaître. Par exemple, dans \(\mathbb{Z}[X]\), le pgcd de \(7\) et \(X\) vaut \(1\), mais \(1\) ne s’écrit pas \(7U + XV\).
Soit \(A\) un anneau intègre dans lequel toute décomposition en irréductibles existe. Alors \(A\) est factoriel si et seulement si tout irréductible de \(A\) est premier. En particulier, tout anneau principal est factoriel.
Si tout irréductible est premier, on compare deux écritures \(p_1 \cdots p_r = u\,q_1 \cdots q_s\). Comme \(p_1\) est premier, il divise un \(q_j\), donc lui est associé. On simplifie par intégrité, puis on conclut par récurrence sur \(r\). Pour un anneau principal, les irréductibles sont premiers d’après la proposition précédente. L’existence vient de ce qu’une suite croissante d’idéaux \((a_1) \subset (a_2) \subset \cdots\) est stationnaire : leur réunion est un idéal, donc de la forme \((d)\), et \(d\) appartient déjà à l’un d’eux. Ainsi, on ne peut pas casser un élément indéfiniment.
Le dernier étage de la hiérarchie est le plus délicat. Il existe des anneaux intègres qui ne sont pas factoriels, même parmi des anneaux d’apparence très simple.
Dans \(A = \mathbb{Z}[i\sqrt{6}]\), on utilise la norme \(N(a + bi\sqrt{6}) = a^2 + 6b^2\), qui est multiplicative. On a \(10 = 2 \times 5 = (2 + i\sqrt{6})(2 – i\sqrt{6})\). D’abord, aucun élément n’est de norme \(2\) ni de norme \(5\), car \(a^2 + 6b^2\) ne prend pas ces valeurs. Ensuite, \(2\), \(5\) et \(2 \pm i\sqrt{6}\) ont pour normes \(4\), \(25\) et \(10\). Un facteur strict serait de norme \(2\) ou \(5\), donc ces quatre éléments sont irréductibles. Enfin, les seuls inversibles sont \(\pm 1\), donc \(2\) n’est associé à aucun des \(2 \pm i\sqrt{6}\). Par conséquent, \(10\) a deux factorisations distinctes et \(A\) n’est pas factoriel.
Piège à éviter :
Factoriel n’entraîne pas principal. L’anneau \(\mathbb{Z}[X]\) est factoriel, comme nous le verrons grâce au lemme de Gauss, mais nous venons de voir qu’il n’est pas principal. Il ne faut donc jamais invoquer Bézout dans un anneau seulement factoriel.
5. Polynômes : lemme de Gauss et critère d’Eisenstein
5.1 L’anneau K[X]
Pour un corps \(K\), l’anneau \(K[X]\) est euclidien, donc principal et factoriel. Ses idéaux maximaux sont les \((Q)\) avec \(Q\) irréductible, et le quotient \(K[X]/(Q)\) est alors un corps de dimension \(\deg Q\) sur \(K\). Ainsi, savoir prouver une irréductibilité, c’est savoir fabriquer des corps.
Un polynôme de \(K[X]\) de degré \(2\) ou \(3\) est irréductible si et seulement s’il n’a aucune racine dans \(K\).
En effet, une factorisation non triviale d’un tel polynôme contient forcément un facteur de degré \(1\). À partir du degré \(4\), ce test ne suffit plus : par exemple, \((X^2 + 3)^2\) n’a aucune racine réelle mais n’est pas irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\).
Considérons \(Q = X^3 – X + 1\) dans \(\mathbb{F}_3[X]\). On calcule \(Q(0) = 1\), \(Q(1) = 1\) et \(Q(2) = 8 – 2 + 1 = 7 \equiv 1\). Le polynôme n’a donc pas de racine dans \(\mathbb{F}_3\). Comme il est de degré \(3\), il est irréductible. Par conséquent, \(\mathbb{F}_3[X]/(Q)\) est un corps à \(3^3 = 27\) éléments.
5.2 Contenu et lemme de Gauss
Le passage de \(\mathbb{Z}[X]\) à \(\mathbb{Q}[X]\) demande un outil spécifique. On appelle contenu \(c(P)\) d’un polynôme non nul \(P \in \mathbb{Z}[X]\) le pgcd positif de ses coefficients. Le polynôme est primitif si \(c(P) = 1\).
Lemme de Gauss : pour \(P, Q \in \mathbb{Z}[X]\) non nuls, on a \(c(PQ) = c(P)\,c(Q)\). En particulier, un produit de polynômes primitifs est primitif.
On se ramène à des polynômes primitifs en divisant par les contenus. Supposons alors \(PQ\) non primitif. Il existe un nombre premier \(p\) qui divise tous les coefficients de \(PQ\). Notons \(\bar{P}\) la réduction modulo \(p\). On obtient \(\bar{P}\,\bar{Q} = 0\) dans \(\mathbb{F}_p[X]\). Or cet anneau est intègre, donc \(\bar{P} = 0\) ou \(\bar{Q} = 0\). Autrement dit, \(p\) divise tous les coefficients de \(P\) ou tous ceux de \(Q\), ce qui contredit la primitivité.
Un polynôme primitif \(P \in \mathbb{Z}[X]\) est irréductible dans \(\mathbb{Z}[X]\) si et seulement s’il est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Les irréductibles de \(\mathbb{Z}[X]\) sont les nombres premiers \(\pm p\) et les polynômes primitifs irréductibles dans \(\mathbb{Q}[X]\). De plus, \(\mathbb{Z}[X]\) est factoriel.
Le principe est simple : si \(P = FG\) dans \(\mathbb{Q}[X]\), on chasse les dénominateurs pour écrire \(P = \lambda F_0 G_0\) avec \(F_0, G_0\) primitifs et \(\lambda \in \mathbb{Q}\). Le lemme montre alors que \(\lambda = \pm 1\). On obtient ainsi une factorisation dans \(\mathbb{Z}[X]\) de mêmes degrés. Plus généralement, le même argument montre que \(A[X]\) est factoriel dès que \(A\) l’est.
Piège à éviter :
Le polynôme \(4X – 10\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\), car il est de degré \(1\). Pourtant, il s’écrit \(2(2X – 5)\) dans \(\mathbb{Z}[X]\), où \(2\) n’est pas inversible. Il faut donc toujours vérifier la primitivité avant de conclure dans \(\mathbb{Z}[X]\).
5.3 Critère d’Eisenstein
Soit \(P = a_nX^n + \dots + a_1X + a_0 \in \mathbb{Z}[X]\) et \(p\) un nombre premier. On suppose que \(p\) ne divise pas \(a_n\), que \(p\) divise \(a_0, \dots, a_{n-1}\) et que \(p^2\) ne divise pas \(a_0\). Alors \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).
D’après le lemme de Gauss, il suffit d’exclure une écriture \(P = FG\) dans \(\mathbb{Z}[X]\) avec \(\deg F \geq 1\) et \(\deg G \geq 1\). Réduisons modulo \(p\) : on obtient \(\bar{F}\,\bar{G} = \bar{a}_n X^n\) dans \(\mathbb{F}_p[X]\). Comme \(\mathbb{F}_p[X]\) est factoriel, \(\bar{F}\) et \(\bar{G}\) sont des monômes \(\alpha X^k\) et \(\beta X^{n-k}\). De plus, \(p\) ne divise pas \(a_n\), donc les degrés sont conservés et \(k \geq 1\), \(n – k \geq 1\). Ainsi, \(p\) divise les termes constants de \(F\) et de \(G\). Par conséquent, \(p^2\) divise leur produit \(a_0\), ce qui est exclu.
Par exemple, \(3X^5 + 14X^3 – 28X + 21\) vérifie le critère pour \(p = 7\). En effet, \(7\) divise \(14\), \(-28\) et \(21\), ne divise pas \(3\), et \(49\) ne divise pas \(21\). De plus, ce polynôme est primitif, donc il est aussi irréductible dans \(\mathbb{Z}[X]\).
Pour prouver qu’un polynôme \(P \in \mathbb{Z}[X]\) est irréductible :
- vérifier qu’il est primitif, sinon il est réductible dans \(\mathbb{Z}[X]\) ;
- en degré \(2\) ou \(3\), chercher les racines rationnelles \(r/s\), avec \(r\) divisant \(a_0\) et \(s\) divisant \(a_n\) ;
- tester Eisenstein, éventuellement après la translation \(X \mapsto X + c\), qui préserve l’irréductibilité ;
- sinon, réduire modulo un premier \(p\) ne divisant pas \(a_n\) : si \(\bar{P}\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_p[X]\), alors \(P\) l’est dans \(\mathbb{Q}[X]\) ;
- en dernier recours, poser une factorisation à coefficients inconnus et identifier.
Soit \(P = X^3 + 6X^2 + 12X + 5\). Les coefficients \(6\) et \(12\) sont pairs, mais \(5\) est impair, donc Eisenstein ne s’applique pas directement. Or \(P = (X + 2)^3 – 3\). Ainsi, \(P(X – 2) = X^3 – 3\), qui vérifie le critère pour \(p = 3\). Comme \(P \mapsto P(X – 2)\) est un automorphisme de \(\mathbb{Q}[X]\), le polynôme \(P\) est irréductible.
Remarque :
La réduction modulo \(p\) ne fonctionne que dans un sens. Un polynôme réductible modulo \(p\) peut très bien être irréductible sur \(\mathbb{Q}\). C’est par exemple le cas de \(X^2 + 1\), irréductible sur \(\mathbb{Q}\) mais égal à \((X + 1)^2\) modulo \(2\).
6. Les entiers de Gauss
L’anneau \(\mathbb{Z}[i] = \{a + bi,\ a, b \in \mathbb{Z}\}\) est un sous-anneau de \(\mathbb{C}\), donc il est intègre. Ses éléments forment le réseau des points à coordonnées entières du plan. On le munit de la norme \(N(a + bi) = a^2 + b^2 = |a + bi|^2\), qui est multiplicative.
6.1 Inversibles et division euclidienne
Si \(uv = 1\), alors \(N(u)N(v) = 1\), donc \(N(u) = 1\). Les inversibles sont ainsi les quatre éléments \(1, -1, i, -i\). Ensuite, la norme sert de stathme.
La norme \(N\) fait de \(\mathbb{Z}[i]\) un anneau euclidien. Par suite, cet anneau est principal, puis factoriel.
Soit \(a, b \in \mathbb{Z}[i]\) avec \(b \neq 0\). Le quotient complexe \(a/b = x + iy\) a des coordonnées réelles. On choisit des entiers \(m, n\) avec \(|x – m| \leq 1/2\) et \(|y – n| \leq 1/2\), puis on pose \(q = m + in\) et \(r = a – bq\). Alors \(r \in \mathbb{Z}[i]\) et \(|r| = |b|\,|a/b – q|\). Or \(|a/b – q|^2 \leq 1/4 + 1/4 = 1/2\). Par conséquent, \(N(r) \leq N(b)/2 < N(b)\).
Géométriquement, on prend le point du réseau le plus proche du quotient. La figure montre le carré de côté \(1\) qui contient \(a/b\) et le disque de rayon \(\sqrt{2}/2\) qui garantit l’inégalité.
Remarque :
Le quotient \(q\) n’est pas unique : quand \(a/b\) tombe sur un bord de carré, plusieurs points conviennent. Cela ne gêne en rien l’algorithme d’Euclide, qui se termine car la norme du reste décroît strictement.
6.2 Irréductibles de Z[i] et factorisation
Un élément de norme première est forcément irréductible, car un facteur strict aurait une norme strictement comprise entre \(1\) et cette valeur. Le théorème suivant décrit tous les irréductibles.
À association près, les irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\) sont : \(1 + i\) ; les nombres premiers \(p \equiv 3 \pmod 4\) ; les éléments \(a + bi\) avec \(a^2 + b^2 = p\) premier et \(p \equiv 1 \pmod 4\), chaque tel \(p\) donnant deux irréductibles non associés \(a + bi\) et \(a – bi\).
Nous admettons ici la description complète, qui est démontrée en exercice. Notons simplement deux faits. D’abord, \(2 = -i(1 + i)^2\). Ensuite, un premier \(p \equiv 3 \pmod 4\) n’est pas une somme de deux carrés, car les carrés valent \(0\) ou \(1\) modulo \(4\). La figure place les irréductibles de petite norme.
![Irréductibles de Z[i] de norme au plus 100, symétriques par rapport aux axes et aux diagonales](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/sup-maths-pdf/l3/ideaux-premiers-anneaux-factoriels-cours-premiers-gauss.png)
Pour factoriser \(z\) dans \(\mathbb{Z}[i]\) :
- calculer \(N(z)\) et le décomposer en facteurs premiers dans \(\mathbb{Z}\) ;
- pour chaque facteur \(2\), diviser \(z\) par \(1 + i\) ;
- pour chaque \(p \equiv 1 \pmod 4\), écrire \(p = a^2 + b^2\) et tester lequel de \(a + bi\) ou \(a – bi\) divise le quotient courant ;
- pour chaque \(p \equiv 3 \pmod 4\), qui apparaît forcément au carré dans la norme, diviser par \(p\) ;
- vérifier en redéveloppant le produit, et ajuster l’inversible final.
Factorisons \(z = 7 + 9i\). On a \(N(z) = 49 + 81 = 130 = 2 \times 5 \times 13\). D’abord, on divise par \(1 + i\) :
\[\frac{7 + 9i}{1 + i} = \frac{(7 + 9i)(1 – i)}{2} = \frac{16 + 2i}{2} = 8 + i.\]
Ensuite, \(5 = (2 + i)(2 – i)\). Le calcul \((8 + i)(2 + i)/5 = (15 + 10i)/5 = 3 + 2i\) montre que \(2 – i\) divise \(8 + i\), avec pour quotient \(3 + 2i\). Enfin, \(N(3 + 2i) = 13\) est premier, donc \(3 + 2i\) est irréductible. Ainsi, \(7 + 9i = (1 + i)(2 – i)(3 + 2i)\). On vérifie : \((1 + i)(2 – i) = 3 + i\), puis \((3 + i)(3 + 2i) = 7 + 9i\).
Cette factorisation donne aussi des informations sur les quotients. Par exemple, \(\mathbb{Z}[i]/(3 + 2i)\) est un corps à \(13\) éléments, car \(3 + 2i\) est irréductible dans un anneau principal. En revanche, \(\mathbb{Z}[i]/(7 + 9i)\) n’est même pas intègre.
Les erreurs fréquentes
- Croire qu’un idéal premier est toujours maximal : c’est vrai pour les idéaux non nuls d’un anneau principal, faux dans \(\mathbb{Z}[X]\) ou \(K[X, Y]\).
- Conclure à l’irréductibilité dans \(\mathbb{Z}[X]\) sans vérifier que le polynôme est primitif.
- Utiliser le test « pas de racine » pour un polynôme de degré \(4\) ou plus.
- Appliquer Eisenstein en oubliant la condition sur le coefficient dominant ou celle sur \(p^2\).
- Déduire d’une factorisation modulo \(p\) une factorisation sur \(\mathbb{Q}\) : seule l’implication inverse est valable.
- Oublier les quatre inversibles de \(\mathbb{Z}[i]\) et déclarer deux factorisations différentes alors qu’elles sont associées.
Fiche mémo
- \(I\) premier \(\iff A/I\) intègre ; \(I\) maximal \(\iff A/I\) corps ; maximal entraîne premier.
- Pour identifier un quotient : morphisme surjectif explicite, puis calcul du noyau.
- Hiérarchie stricte : euclidien \(\Rightarrow\) principal \(\Rightarrow\) factoriel \(\Rightarrow\) intègre.
- Contre-exemples : \(\mathbb{Z}[X]\) factoriel non principal ; \(\mathbb{Z}[i\sqrt{6}]\) intègre non factoriel ; \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) non intègre.
- Dans un anneau principal : irréductible \(\iff\) premier \(\iff (p)\) maximal.
- Factoriel \(\iff\) existence des décompositions et irréductibles premiers.
- Lemme de Gauss : \(c(PQ) = c(P)c(Q)\) ; un primitif irréductible sur \(\mathbb{Q}\) l’est sur \(\mathbb{Z}\).
- Eisenstein : \(p \nmid a_n\), \(p \mid a_k\) pour \(k < n\), \(p^2 \nmid a_0\) ; penser à translater \(X\).
- \(\mathbb{Z}[i]\) euclidien pour \(N(a + bi) = a^2 + b^2\) ; inversibles \(\pm 1, \pm i\).
- Irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\) : \(1 + i\), les \(p \equiv 3 \pmod 4\), et les facteurs \(a \pm bi\) des \(p = a^2 + b^2\).
Questions fréquentes
Comment savoir rapidement si un idéal est maximal ?
Le plus sûr est de calculer l’anneau quotient. Si ce quotient est un corps, l’idéal est maximal ; s’il est seulement intègre, l’idéal est premier. Dans un anneau principal qui n’est pas un corps, il suffit de vérifier que l’idéal est engendré par un irréductible.
Un polynôme irréductible dans Q[X] l'est-il aussi dans Z[X] ?
Pas toujours : le polynôme 3X + 6 est irréductible dans Q[X] mais s’écrit 3(X + 2) dans Z[X]. En revanche, un polynôme primitif irréductible dans Q[X] reste irréductible dans Z[X]. C’est une conséquence directe du lemme de Gauss.
Le critère d'Eisenstein donne-t-il une équivalence ?
Non, c’est seulement une condition suffisante. Un polynôme peut être irréductible sans vérifier le critère pour aucun nombre premier. Il faut alors essayer une translation de la variable, une réduction modulo un premier ou un argument de degré.
Pourquoi étudier les entiers de Gauss en licence ?
Ils forment l’exemple le plus simple d’anneau euclidien qui n’est pas Z ou K[X]. On y voit les nombres premiers ordinaires se décomposer ou rester irréductibles. Ainsi, on obtient une preuve élégante du théorème des deux carrés.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L3 de maths sur anneaux principaux et factoriels
- Bases utiles : Sous-groupes distingués et groupes quotients
- Chapitre d’avant : Actions de groupes, formule des classes et Sylow
- Chapitre d’après : Extensions algébriques et corps finis
- Vérifier ses acquis : QCM de L3 de maths sur anneaux principaux et factoriels
- Contrôle corrigé en temps limité : Anneaux principaux et critère d'Eisenstein : contrôle de maths en L3
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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