Quiz passer à la limite sous l’intégrale en L3

Quiz passer à la limite sous l’intégrale en L3 de maths

Dix questions rapides pour vérifier que tu sais quand et comment intervertir limite, somme et intégrale avec Beppo Levi, Fatou et la convergence dominée.

Hypothèse demandée par le théorème de convergence monotone ?

A.suite croissante de fonctions mesurables positivesB.suite dominée par une fonction intégrableC.convergence uniforme de la suiteD.suite décroissante de fonctions positives

Pourquoi la convergence dominée ne s’applique-t-elle pas à cette suite ?

A.la limite simple n’existe nulle partB.les fonctions ne sont pas mesurablesC.les fonctions ne sont pas positivesD.aucune fonction intégrable ne la majore

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz entraîne les réflexes d’intégration de Lebesgue : reconnaître les hypothèses du théorème de convergence monotone, se souvenir du sens de l’inégalité de Fatou, repérer la domination qui manque dans un contre-exemple. Tu y calcules aussi quelques limites d’intégrales et une somme de série par intégration terme à terme, et tu compares intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue.

Utilise-le avant un TD ou une colle de théorie de la mesure : chaque question se résout en citant le bon théorème avec ses hypothèses. Pour chaque erreur, écris la fonction dominante ou la monotonie qui justifie l’interversion, c’est exactement ce que le correcteur attend. Refais-le avant le partiel pour que la vérification des hypothèses de la convergence dominée et des intégrales à paramètre devienne automatique.

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Questions fréquentes : passer à la limite sous l’intégrale en L3

Quand préférer Beppo Levi à la convergence dominée ?

Dès que la suite est croissante et formée de fonctions mesurables positives : aucune domination n’est alors à chercher, et le théorème vaut même si la limite des intégrales est infinie.

À quoi sert concrètement le lemme de Fatou ?

Il donne une inégalité sans aucune hypothèse de domination. On l’utilise souvent pour montrer qu’une limite simple est intégrable, ou comme étape dans la preuve de la convergence dominée.

Une intégrale de Riemann généralisée convergente est-elle une intégrale de Lebesgue ?

Seulement si elle est absolument convergente. Une intégrale seulement semi-convergente, comme celle de \(\frac{\sin x}{x}\) sur \(]0,+\infty[\), ne correspond pas à une fonction intégrable au sens de Lebesgue.

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Hypothèse demandée par le théorème de convergence monotone ?

Fatou compare \(\int\liminf f_n\) et \(\liminf\int f_n\). La première est :

Avec \(f_n=n^2\mathbf{1}_{[0,1/n]}\), vers quoi tend \(\int_{\mathbb{R}} f_n\) ?

Pourquoi la convergence dominée ne s’applique-t-elle pas à cette suite ?

Que vaut \(\lim_{n}\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{1+x/n}\,\mathrm{d}x\) ?

Pour intégrer terme à terme une série de fonctions de signe quelconque, on vérifie :

Pour \(F(x)=\int f(x,t)\,\mathrm{d}t\), la fonction dominante doit être indépendante de :

Intégrale de Lebesgue de l’indicatrice de \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) ?

\(x\mapsto\frac{\sin x}{x}\) est-elle Lebesgue-intégrable sur \(]0,+\infty[\) ?

Par interversion série-intégrale, \(\sum_{n\geqslant 0}\int_0^1 x^n(1-x)\,\mathrm{d}x\) vaut :

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