Quiz intégrales multiples et jacobiens en L3

Quiz intégrales multiples et jacobiens en L3 de maths

Dix questions éclair pour vérifier tes réflexes sur les hypothèses de Tonelli et Fubini, les jacobiens usuels, les volumes et la convolution.

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express fait travailler les réflexes d'intégration sur un produit en troisième année : savoir quelle hypothèse permet d'intervertir, distinguer le cadre positif de Tonelli du cadre intégrable de Fubini, retrouver sans calcul le jacobien des coordonnées polaires ou sphériques. Il te fait aussi utiliser l'effet d'une application linéaire sur la mesure de Lebesgue, l'invariance par translation, un volume de boule et une convolution d'indicatrices évaluée en un point.

Utilise-le avant un TD de théorie de la mesure ou un oral, en répondant de tête. Une erreur sur un jacobien se corrige en recalculant le déterminant de la matrice des dérivées partielles ; une erreur sur une hypothèse se corrige en relisant l'énoncé exact du théorème. Refais-le avant un partiel : dans les copies, c'est presque toujours la justification de l'interversion qui coûte des points.

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Questions fréquentes : intégrales multiples et jacobiens en L3

Quand Tonelli suffit-il sans vérifier l'intégrabilité ?

Dès que la fonction est mesurable et positive : on peut alors intervertir librement, la valeur commune pouvant être infinie. C'est aussi ainsi qu'on prouve l'intégrabilité avant d'appliquer Fubini.

Que se passe-t-il si on applique Fubini sans hypothèse ?

Les deux intégrales itérées peuvent exister et être différentes. Il faut d'abord vérifier que l'intégrale double de la valeur absolue est finie.

Pourquoi met-on une valeur absolue sur le jacobien ?

La mesure d'un ensemble est positive : un changement de variables qui renverse l'orientation donne un déterminant négatif, et seule sa valeur absolue mesure la dilatation des volumes.

Quiz intégrales multiples et jacobiens en L3 de maths

Jacobien du passage en coordonnées polaires \((r, \theta)\) ?

En sphériques, avec \(\varphi\) angle mesuré depuis l'axe vertical, jacobien en valeur absolue ?

Hypothèse de Tonelli pour intervertir les intégrales ?

Pour une fonction de signe quelconque, Fubini demande :

\(A\) linéaire de \(\mathbb{R}^2\), \(\det A = -3\). Aire de l'image du disque unité ?

Volume de la boule de rayon 2 dans \(\mathbb{R}^3\) ?

Valeur de \(\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-2(x^2+y^2)} \, dx \, dy\) ?

On convole les indicatrices de \([0, 2]\) et de \([0, 3]\). Valeur du produit de convolution en 4 ?

\(E \subset \mathbb{R}^2\) a une aire de 5. Aire de son translaté par le vecteur \((3, -1)\) ?

Par \(x \mapsto 2x\) dans \(\mathbb{R}^3\), les volumes sont multipliés par :

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