Quiz espaces de Lebesgue et inégalités en L3

Si \(f_n \to f\) dans \(L^p\) avec \(p\) fini, on peut affirmer que :

A.la suite converge presque partoutB.la suite converge uniformémentC.la suite est bornée dans \(L^\infty\)D.une sous-suite converge presque partout

\(\mu\) mesure de probabilité, \(\varphi\) convexe. Jensen donne :

A.\(\varphi(\int f\,d\mu) \geq \int \varphi(f)\,d\mu\)B.\(\varphi(\int f\,d\mu) = \int \varphi(f)\,d\mu\)C.\(\varphi(\int f\,d\mu) \leq \int \varphi(f)\,d\mu\)D.\(\int \varphi(f)\,d\mu \leq \varphi(1)\)

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz rapide reprend les automatismes de troisième année de licence autour des espaces L^p. Tu y calcules un exposant conjugué, tu reconnais le cas particulier de Hölder que tout le monde connaît, tu écris correctement l'inégalité de Jensen et tu décides quelles inclusions sont vraies selon que la mesure est finie ou non. La fin du quiz porte sur la densité des fonctions continues à support compact, sur l'extraction d'une sous-suite qui converge presque partout et sur le théorème de Riesz-Fischer.

Utilise-le la veille d'un TD ou d'un partiel d'intégration : chaque réponse doit tomber en quelques secondes. Une erreur signale souvent un exposant infini traité comme les autres, ou une hypothèse de mesure finie oubliée. Repère la propriété en cause, relis sa preuve, puis recommence le quiz quelques jours plus tard.

Aller plus loin sur espaces de Lebesgue et inégalités

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Questions fréquentes : espaces de Lebesgue et inégalités en L3

Pourquoi parle-t-on de classes de fonctions dans L^p ?

Deux fonctions égales presque partout ont la même intégrale de |f - g|^p, nulle. Pour que la quantité ||f||_p soit une vraie norme, on identifie donc les fonctions qui coïncident hors d'un ensemble négligeable.

Comment retenir le sens des inclusions entre L^p ?

Sur un espace de mesure finie, plus l'exposant est grand, plus l'espace est petit : on le prouve avec Hölder appliqué à f et à la constante 1. Sans mesure finie, ce raisonnement tombe et les inclusions peuvent toutes être fausses.

La convergence dans L^p entraîne-t-elle la convergence presque partout ?

Pas pour la suite entière : l'exemple des indicatrices glissantes sur [0, 1] le montre. En revanche, la preuve de Riesz-Fischer fournit toujours une sous-suite qui converge presque partout.

Quiz espaces de Lebesgue et inégalités en L3 de maths

Quel est l'exposant conjugué de \(p = 3\) ?

L'inégalité de Hölder prise avec \(p = q = 2\) n'est autre que :

Sur \([0, 1]\) muni de la mesure de Lebesgue, quelle inclusion est vraie ?

Sur \(\mathbb{R}\) muni de la mesure de Lebesgue, entre \(L^1\) et \(L^2\) on a :

La fonction \(x \mapsto x^{-1/3}\) sur \(]0, 1]\) appartient à \(L^p\) si et seulement si :

Les fonctions continues à support compact sont denses dans \(L^p(\mathbb{R})\) pour :