Intégrabilité aux bornes et IPP : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « intégrabilité aux bornes et IPP », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cette interrogation d’une heure trente porte sur les intégrales généralisées, juste avant le chapitre sur les intégrales à paramètre. D’abord, vous établissez l’intégrabilité par comparaison de quatre fonctions, en examinant séparément chaque borne. Ensuite, une famille d’intégrales logarithmiques se calcule par intégration par parties sur un intervalle non borné, puis par changement de variable. Le troisième exercice demande l’équivalent d’un reste, tantôt par intégration des relations de comparaison, tantôt par un encadrement. Enfin, le problème étudie l’intégrale du sinus cardinal : elle converge sans que la fonction soit intégrable, ce qui illustre la semi-convergence. Ce contrôle exclut les intégrales à paramètre et la convergence dominée.
Ce qu’évalue le contrôle : intégrabilité aux bornes et IPP
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Intégrabilité sur un intervalle quelconque (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Prouver l’intégrabilité d’une fonction en la comparant à une fonction de Riemann au voisinage de chaque borne
- Justifier une intégration par parties sur un intervalle ouvert en étudiant la limite des crochets
- Effectuer un changement de variable bijectif de classe C1 dans une intégrale généralisée
- Obtenir un équivalent du reste d’une intégrale convergente par comparaison ou par encadrement
- Établir la semi-convergence de l’intégrale du sinus cardinal sur la demi-droite positive
Avant de commencer le devoir
Pour chaque fonction, repérez d’abord les bornes réellement problématiques : une fonction prolongeable par continuité en une borne finie ne pose aucune difficulté en ce point. Avant toute intégration par parties généralisée, calculez ensuite la limite du crochet aux deux bornes, car c’est elle qui autorise le calcul. Pour un changement de variable, vérifiez enfin que la fonction choisie est une bijection de classe C1 strictement monotone. Gardez du temps pour le problème, qui compte huit points.
Le sujet du contrôle : intégrabilité aux bornes et IPP
Exercice 1 – Quatre fonctions et leurs bornes (4 points)
Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est intégrable sur l’intervalle indiqué, en étudiant chaque borne séparément. La figure trace la fonction \(g\) de la question 2, ainsi que deux fonctions qui la majorent.
- \(f(t) = \frac{\ln t}{\sqrt{t}}\) sur \(\left] 0, 1 \right]\).
- \(g(t) = \frac{\arctan t}{t^{3/2}}\) sur \(\left] 0, +\infty \right[\).
- \(h(t) = \frac{1 – \cos t}{t^{5/2}}\) sur \(\left] 0, +\infty \right[\).
- \(k(t) = \frac{\mathrm{e}^{-1/t}}{t}\) sur \(\left] 0, +\infty \right[\).
Exercice 2 – Une famille d’intégrales logarithmiques (4 points)
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(K_n = \int_1^{+\infty} \frac{(\ln t)^n}{t^3}\, \mathrm{d}t\).
- Montrer que \(K_n\) est bien définie pour tout \(n\).
- Pour \(n \geq 1\), établir la relation \(K_n = \frac{n}{2} K_{n-1}\) par une intégration par parties sur \(\left[ 1, +\infty \right[\), dont on justifiera soigneusement la validité.
- Calculer alors \(K_0\), puis en déduire \(K_n\) en fonction de \(n\).
- À l’aide du changement de variable \(t = \mathrm{e}^u\), écrire \(K_n\) comme une intégrale sur \(\left[ 0, +\infty \right[\). En déduire ensuite la valeur de \(\int_0^{+\infty} u^5 \mathrm{e}^{-2u}\, \mathrm{d}u\).
Exercice 3 – Équivalents de deux restes (4 points)
Les deux questions sont indépendantes ; dans chacune, \(x\) désigne un réel strictement positif qui tend vers \(+\infty\).
- On pose \(R(x) = \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3 + \sqrt{t}}\). Justifier l’existence de \(R(x)\), puis donner un équivalent simple de \(R(x)\).
- On pose maintenant \(T(x) = \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2t}}{\sqrt{t}}\, \mathrm{d}t\) et \(U(x) = \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2t}}{t^{3/2}}\, \mathrm{d}t\).
- Justifier l’existence de ces deux intégrales. Démontrer ensuite, par une intégration par parties, que \(T(x) = \frac{\mathrm{e}^{-2x}}{2\sqrt{x}} – \frac{1}{4} U(x)\).
- Prouver que \(0 \leq U(x) \leq \frac{T(x)}{x}\). En déduire alors que \(T(x)\) est équivalent à \(\frac{\mathrm{e}^{-2x}}{2\sqrt{x}}\).
Exercice 4 – Problème : le sinus cardinal (8 points)
On note \(\varphi(t) = \frac{\sin t}{t}\) pour \(t > 0\). Pour tout entier \(k \geq 0\), on pose aussi \(A_k = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\varphi(t)|\, \mathrm{d}t\). La figure représente \(\varphi\) sur \(\left] 0, 5\pi \right]\) ; les aires \(A_0\) à \(A_4\) y sont colorées, en bleu quand \(\varphi\) est positive et en orange sinon.
- Montrer que \(\varphi\) se prolonge par continuité en 0. Quelle est alors la seule borne qui pose problème pour \(\int_0^{+\infty} \varphi(t)\, \mathrm{d}t\) ?
- Pour \(x \geq 1\), intégrer par parties \(\int_1^x \varphi(t)\, \mathrm{d}t\). En déduire que l’intégrale \(I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, \mathrm{d}t\) converge.
- Minorer \(A_k\) par \(\frac{2}{(k+1)\pi}\). Démontrer ensuite que \(\varphi\) n’est pas intégrable sur \(\left] 0, +\infty \right[\).
- Pour \(x > 0\), on note \(r(x) = \int_x^{+\infty} \varphi(t)\, \mathrm{d}t\). Établir que \(r(x) = \frac{\cos x}{x} – \int_x^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\, \mathrm{d}t\), puis que \(r(x) – \frac{\cos x}{x}\) est un \(O\left(\frac{1}{x^2}\right)\).
- Soit \(a > 0\). Montrer d’abord que \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin(at)}{t}\, \mathrm{d}t = I\). Prouver enfin que \(\frac{\sin^2 t}{t^2}\) est intégrable sur \(\left] 0, +\infty \right[\) et que son intégrale vaut aussi \(I\).
Réviser intégrabilité aux bornes et IPP avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours intégrabilité sur un intervalle quelconque ; entraînez-vous sur les exercices intégrabilité sur un intervalle quelconque avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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