Problème de probabilités discrètes : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « problème de probabilités discrètes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce devoir surveillé de quatre heures, au format concours, suit un seul modèle du début à la fin : une marche aléatoire paresseuse sur les entiers, qui reste sur place une fois sur deux. D’abord, vous étudiez le premier déplacement, qui fait apparaître une loi géométrique. Ensuite, la fonction génératrice donne la loi exacte de la position. Le troisième exercice mobilise Bienaymé-Tchebychev, la loi faible des grands nombres et la covariance. Puis une partie plus théorique traite de dénombrabilité et d’événements négligeables. Enfin, le problème établit que le retour en 0 est presque sûr. Ce contrôle se place à la fin du chapitre de probabilités.
Ce qu’évalue le contrôle : problème de probabilités discrètes
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée4 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Dénombrabilité, tribus et espaces probabilisés et Lois discrètes usuelles : géométrique et Poisson et Espérance, variance et covariance d’une variable discrète et Loi faible des grands nombres et séries génératrices (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Reconnaître une loi géométrique et utiliser un système quasi-complet d’événements
- Déterminer la loi d’une somme de variables indépendantes grâce aux fonctions génératrices
- Majorer une probabilité d’écart avec Bienaymé-Tchebychev et calculer des covariances
- Prouver qu’un ensemble est dénombrable ou non, et qu’un événement est négligeable
- Étudier le temps de premier retour en 0 par fonctions génératrices et estimation asymptotique
Avant de commencer le devoir
Lisez tout le sujet avant de commencer, car les exercices s’appuient les uns sur les autres : la loi de la position sert notamment dans le problème. Pour chaque variable, nommez d’abord sa loi usuelle avant tout calcul. Ensuite, citez précisément l’indépendance chaque fois qu’elle intervient, en particulier pour une somme ou un produit. Enfin, contrôlez vos formules générales sur les petites valeurs de n lues sur la figure de la trajectoire.
Le sujet du contrôle : problème de probabilités discrètes
Tout le sujet porte sur le modèle suivant. Soit \((X_k)_{k \geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes, définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), de même loi donnée par \(P(X_k = 1) = P(X_k = -1) = \frac{1}{4}\) et \(P(X_k = 0) = \frac{1}{2}\). On pose \(S_0 = 0\) et \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) pour \(n \geq 1\) : c’est la position, après \(n\) pas, d’un marcheur qui part de 0 et qui, à chaque instant, avance, recule ou reste sur place.
Exercice 1 – Un marcheur qui hésite (3,5 points)
On note \(T\) le premier instant \(k \geq 1\) tel que \(X_k \neq 0\), avec \(T = +\infty\) si un tel instant n’existe pas. La figure ci-dessous montre une trajectoire possible sur 30 pas ; les cercles orange signalent les instants \(k \geq 1\) où \(S_k = 0\).
- Calculer \(E(X_1)\) et \(V(X_1)\), puis \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\).
- Pour la trajectoire de la figure, lire la valeur de \(T\), celle de \(X_T\) et le nombre d’instants \(k \in \{1, \ldots, 30\}\) tels que \(S_k = 0\).
- Calculer \(P(T = k)\) pour \(k \geq 1\). Montrer alors que \(T\) est presque sûrement fini, reconnaître sa loi et donner \(E(T)\).
- En utilisant le système quasi-complet \((\{T = k\})_{k \geq 1}\), montrer que \(X_T\) suit la loi uniforme sur \(\{-1, 1\}\) et qu’elle est indépendante de \(T\).
Exercice 2 – La loi de la position par fonction génératrice (4 points)
Pour tout \(k \geq 1\), on pose \(Y_k = X_k + 1\), variable à valeurs dans \(\{0, 1, 2\}\).
- Calculer la fonction génératrice \(G_{Y_1}\) et la factoriser. Reconnaître ainsi la loi de \(Y_1\).
- En déduire la fonction génératrice de \(S_n + n\), puis la loi de \(S_n\) : donner \(P(S_n = j)\) pour tout entier \(j\). Représenter enfin la loi de \(S_4\) par un diagramme en bâtons.
- Retrouver \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\) à l’aide des dérivées de la fonction génératrice en 1.
- On note \(u_n = P(S_n = 0)\). Exprimer \(u_n\) à l’aide d’un coefficient binomial, puis calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Exercice 3 – Écarts, covariances et loi faible (3,5 points)
On note \(Z_n\) le nombre d’instants \(k \in \{1, \ldots, n\}\) où le marcheur reste sur place, c’est-à-dire où \(X_k = 0\).
- Soit \(\varepsilon > 0\). Énoncer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis majorer \(P\left(\lvert S_n \rvert \geq \varepsilon n\right)\).
- Déterminer un entier \(n\) à partir duquel la probabilité que \(\lvert S_n \rvert\) dépasse \(\frac{n}{10}\) est au plus \(\frac{1}{20}\). Expliquer ensuite pourquoi \(\frac{S_n}{n}\) tend vers 0 en probabilité, en nommant le théorème utilisé.
- Montrer que \(X_1\) et \(\mathbf{1}_{\{X_1 = 0\}}\) ont une covariance nulle sans être indépendantes. En déduire \(\mathrm{Cov}(S_n, Z_n)\).
- Pour \(1 \leq m \leq n\), calculer \(\mathrm{Cov}(S_m, S_n)\), puis le coefficient de corrélation de \(S_m\) et de \(S_n\).
Exercice 4 – Trajectoires dénombrables et pas nuls (3 points)
On appelle trajectoire finie toute suite finie d’éléments de \(\{-1, 0, 1\}\), et trajectoire infinie toute suite \((a_k)_{k \geq 1}\) à valeurs dans \(\{-1, 0, 1\}\).
- Montrer que l’ensemble des trajectoires finies est dénombrable. Prouver en revanche, par un argument diagonal, que l’ensemble des trajectoires infinies ne l’est pas.
- Soit \(A\) l’événement « à partir d’un certain rang, tous les pas \(X_k\) sont nuls ». Écrire \(A\) à l’aide de réunions et d’intersections d’événements \(\{X_k = 0\}\), puis montrer que \(A\) est négligeable. Interpréter le résultat pour le marcheur.
Exercice 5 – Problème : le premier retour à l’origine (6 points)
On reprend \(u_n = P(S_n = 0)\), avec \(u_0 = 1\). Pour \(n \geq 1\), on note \(f_n\) la probabilité que le marcheur revienne en 0 pour la première fois à l’instant \(n\), c’est-à-dire \(f_n = P(S_1 \neq 0, \ldots, S_{n-1} \neq 0, S_n = 0)\). On note enfin \(R\) l’instant du premier retour en 0, avec \(R = +\infty\) s’il n’y en a pas. La figure compare les premiers termes \(u_n\) à la suite \(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\).
- Calculer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\). En admettant la formule de Stirling, montrer ensuite que \(u_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\).
- Soit \(N_n\) le nombre d’instants \(k \in \{1, \ldots, n\}\) tels que \(S_k = 0\). Exprimer \(E(N_n)\) à l’aide des \(u_k\), puis montrer que \(E(N_n) \sim 2\sqrt{\frac{n}{\pi}}\).
- Déterminer le rayon de convergence de \(U(x) = \sum_{n \geq 0} u_n x^n\), puis prouver que \(U(x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x}}\) pour \(x \in \left]-1, 1\right[\).
- On admet la relation de renouvellement \(u_n = \sum_{k=1}^{n} f_k\, u_{n-k}\) pour \(n \geq 1\). En notant \(F(x) = \sum_{n \geq 1} f_n x^n\), établir que \(F(x) = 1 – \sqrt{1 – x}\) sur \(\left]-1, 1\right[\), puis que \(f_n = \frac{u_{n-1}}{2n}\).
- Montrer que le marcheur revient presque sûrement en 0, puis que \(R\) n’est pas d’espérance finie.
Réviser problème de probabilités discrètes avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dénombrabilité, tribus et espaces probabilisés puis lois discrètes usuelles puis espérance, variance et covariance d’une variable discrète puis loi faible des grands nombres et séries génératrices ; entraînez-vous sur les exercices dénombrabilité, tribus et espaces probabilisés et lois discrètes usuelles et espérance, variance et covariance d’une variable discrète et loi faible des grands nombres et séries génératrices avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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