Loi faible et séries génératrices en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Markov pour un temps d’attente

Le temps d’attente \(X\) à un guichet, en minutes, est une variable positive d’espérance 5.

1. Majorer \(P(X\geqslant 30)\) à l’aide de l’inégalité de Markov.
2. On suppose de plus que \(V(X)=4\). Majorer à nouveau \(P(X\geqslant 30)\), cette fois avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3. Sous cette même hypothèse, minorer \(P(1<X<9)\).

Exercice 2 – Bienaymé-Tchebychev pour une binomiale

Soit \(X\) une variable de loi \(\mathcal{B}\left(400\,;\,\frac{1}{5}\right)\).

1. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
2. Majorer \(P\left(|X-80|\geqslant 20\right)\), puis minorer \(P(60<X<100)\).
3. Déterminer le plus petit réel \(\varepsilon>0\) pour lequel l’inégalité garantit \(P\left(|X-80|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant 0{,}04\).

Exercice 3 – Fonctions génératrices de lois simples

1. Soit \(X\) de loi uniforme sur \(\{0,1,\dots,n\}\). Calculer \(G_X(t)\) pour \(t\neq 1\).
2. Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), et \(a,b\in\mathbb{N}\). Montrer que \(G_{aX+b}(t)=t^b\,G_X\left(t^a\right)\) pour \(t\in[-1,1]\).
3. En déduire la fonction génératrice de \(3X+2\) lorsque \(X\sim\mathcal{B}(p)\).
4. On suppose maintenant que \(X\) suit la loi \(\mathcal{P}(\lambda)\). Calculer \(G_X(-1)\), puis en déduire la probabilité que \(X\) soit pair.

Exercice 4 – Reconnaître une loi à sa fonction génératrice

Dans chaque cas, reconnaître la loi de la variable \(X\) dont la fonction génératrice est donnée, et préciser \(P(X=2)\).

1. \(G_X(t)=e^{3t-3}\) pour tout réel \(t\).
2. \(G_X(t)=\dfrac{(1+2t)^4}{81}\) pour tout réel \(t\).
3. \(G_X(t)=\dfrac{t^2}{2-t}\) pour \(|t|<2\).

Exercice 5 – Moments des lois binomiale et de Poisson

1. Soit \(X\sim\mathcal{B}(n\,;\,p)\). Calculer \(G_X^{\prime}(1)\) et \(G_X^{\prime\prime}(1)\), puis en déduire \(E(X)\) et \(V(X)\).
2. Mêmes questions pour une variable \(Y\) de loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
3. Calculer \(E\left(Y(Y-1)(Y-2)\right)\) à l’aide de \(G_Y\).

Exercice 6 – Rayon de convergence d’une série génératrice

1. Soit \(X\) telle que \(P(X=n)=\dfrac{6}{\pi^2n^2}\) pour \(n\geqslant 1\). Justifier que c’est une loi de probabilité, puis déterminer le rayon de convergence de \(G_X\).
2. Montrer que \(X\) n’a pas d’espérance finie.
3. Soit \(Y\) telle que \(P(Y=n)=\dfrac{1}{2^{n+1}}\) pour \(n\in\mathbb{N}\). Calculer \(G_Y\) et son rayon de convergence.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Taille d’un échantillon pour estimer une proportion

On souhaite estimer la proportion \(p\) d’électeurs favorables à un projet. On interroge \(n\) personnes, choisies de façon indépendante, et on note \(F_n\) la fréquence des réponses favorables.

1. Montrer que \(P\left(|F_n-p|\geqslant 0{,}03\right)\leqslant\dfrac{1}{0{,}0036\,n}\).
2. Déterminer une taille \(n\) qui garantit un risque d’au plus \(5\,\%\).
3. On sait désormais que \(p\leqslant 0{,}1\). Améliorer la taille trouvée.

Exercice 8 – Moyenne de variables de Poisson

Soit \((X_k)_{k\geqslant 1}\) une suite de variables indépendantes de loi \(\mathcal{P}(2)\), et \(S_n=X_1+\cdots+X_n\).

1. Déterminer la loi de \(S_n\) à l’aide des fonctions génératrices.
2. Majorer \(P\left(\left|\frac{S_n}{n}-2\right|\geqslant 0{,}1\right)\) en fonction de \(n\).
3. À partir de quel rang ce majorant est-il inférieur à \(0{,}01\) ?

Exercice 9 – Trois majorations pour une loi géométrique

Soit \(X\) de loi géométrique de paramètre \(\frac{1}{4}\). La figure représente sa loi et l’événement \((X\geqslant 16)\).

1. Rappeler \(E(X)\) et \(V(X)\).
2. Majorer \(P(X\geqslant 16)\) par l’inégalité de Markov, puis par celle de Bienaymé-Tchebychev.
3. Calculer la valeur exacte de \(P(X\geqslant 16)\) et comparer.

Exercice 10 – Majoration exponentielle d’une queue de Poisson

Soit \(X\sim\mathcal{P}(2)\).

1. Pour \(s>0\), montrer que \(P(X\geqslant 10)\leqslant e^{-10s}\,G_X\left(e^s\right)\).
2. En déduire que \(P(X\geqslant 10)\leqslant\exp\left(2(e^s-1)-10s\right)\), puis optimiser en \(s\).
3. Comparer avec les majorations de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 11 – Somme de deux variables de Bernoulli différentes

1. Soit \(X\sim\mathcal{B}(n\,;\,p)\) et \(Y\sim\mathcal{B}(m\,;\,p)\) indépendantes. Déterminer la loi de \(X+Y\).
2. Soit \(U\sim\mathcal{B}\left(\frac{1}{2}\right)\) et \(W\sim\mathcal{B}\left(\frac{1}{3}\right)\) indépendantes. Calculer \(G_{U+W}\) et la loi de \(U+W\).
3. Montrer que \(U+W\) ne suit aucune loi binomiale.

Exercice 12 – Trois dés et coefficients d’un polynôme

Trois dés non truqués sont jetés ensemble, de façon indépendante. On s’intéresse au total \(S\) des points affichés.

1. Écrire \(G_S\) sous forme de fraction rationnelle.
2. Calculer \(P(S=9)\) en lisant un coefficient.
3. Vérifier que \(G_S(t)=t^{21}G_S\left(\frac{1}{t}\right)\) pour \(t\neq 0\). En déduire que \(P(S=k)=P(S=21-k)\), puis la valeur de \(P(S\geqslant 11)\).

Exercice 13 – Une loi déterminée par sa fonction génératrice

On admet qu’une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) a pour fonction génératrice \(G_X(t)=\dfrac{1}{(2-t)^2}\) sur \(]-2,2[\).

1. Développer \(G_X\) en série entière et en déduire la loi de \(X\).
2. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\) par dérivation.
3. Soit \(Y_1\) et \(Y_2\) indépendantes, avec \(P(Y_i=k)=\frac{1}{2^{k+1}}\) pour \(k\in\mathbb{N}\). Montrer que \(Y_1+Y_2\) a la même loi que \(X\).

Exercice 14 – Espérance finie sans variance

On pose \(p_n=\dfrac{4}{n(n+1)(n+2)}\) pour \(n\geqslant 1\).

1. Décomposer \(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) comme une différence de deux termes consécutifs, puis montrer que \((p_n)\) définit une loi de probabilité sur \(\mathbb{N}^*\).
2. Soit \(X\) de loi \((p_n)\). Montrer que \(X\) a une espérance finie et la calculer.
3. Montrer que \(X\) n’admet pas de moment d’ordre 2.
4. Vérifier sur la fonction génératrice : montrer que \(G_X^{\prime\prime}(t)\to+\infty\) quand \(t\to 1^-\).

Exercice 15 – Loi faible pour des variables de Bernoulli différentes

Soit \((X_k)_{k\geqslant 1}\) des variables indépendantes, avec \(X_k\sim\mathcal{B}(p_k)\). On pose \(S_n=X_1+\cdots+X_n\) et \(m_n=p_1+\cdots+p_n\).

1. Montrer que \(V(S_n)\leqslant\frac{n}{4}\).
2. En déduire que, pour tout \(\varepsilon>0\), \(P\left(\left|\frac{S_n-m_n}{n}\right|\geqslant\varepsilon\right)\to 0\).
3. On prend \(p_k=\frac{1}{k+1}\). Montrer que \(P\left(\frac{S_n}{n}\geqslant\varepsilon\right)\to 0\) pour tout \(\varepsilon>0\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Somme d’un nombre aléatoire de variables

Un serveur reçoit \(N\) messages par heure, et \(N\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). Chaque message est indésirable avec probabilité \(p\in\,]0,1[\), indépendamment des autres et de \(N\). On note \(X_i\) l’indicatrice « le \(i\)-ième message est indésirable » et \(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\), avec \(S=0\) si \(N=0\).

1. Pour \(t\in[0,1]\), montrer que \(G_S(t)=\sum_{n\geqslant 0}P(N=n)\,G_{X_1}(t)^n=G_N\left(G_{X_1}(t)\right)\).
2. En déduire la loi de \(S\), puis son espérance.
3. Montrer que \(S\) et \(N-S\) sont indépendantes et préciser la loi de \(N-S\).

Exercice 17 – Deux dés pipés à somme uniforme

Peut-on piper deux dés à six faces, éventuellement de façons différentes, pour que la somme des deux faces suive la loi uniforme sur \(\{2,\dots,12\}\) ? La figure compare la loi de la somme de deux dés équilibrés à cette loi uniforme.

1. On note \(a_k=P(X=k)\) et \(b_k=P(Y=k)\) les lois des deux dés, supposés indépendants. Écrire \(G_X\), \(G_Y\) et la condition à réaliser sur \(G_XG_Y\).
2. Montrer que \(a_6b_6>0\) et \(a_1b_1>0\), puis que \(G_X(t)=tA(t)\), où \(A\) est un polynôme réel de degré exactement 5.
3. Justifier que \(A\) possède une racine réelle non nulle.
4. Montrer que le polynôme \(1+t+\cdots+t^{10}\) n’a aucune racine réelle, puis conclure.

Exercice 18 – Problème – Le collectionneur de vignettes

Un album compte \(N\geqslant 2\) vignettes différentes. Chaque achat fournit une vignette uniforme parmi les \(N\), indépendamment des achats précédents. On note \(T_N\) le nombre d’achats nécessaires pour compléter l’album et, pour \(1\leqslant j\leqslant N\), \(Y_j\) le nombre d’achats qui suivent l’obtention de la \((j-1)\)-ième vignette distincte, jusqu’à la \(j\)-ième incluse. On admet que les \(Y_j\) sont indépendantes et que \(Y_j\) suit la loi géométrique de paramètre \(p_j=\frac{N-j+1}{N}\).

1. Pour \(X\sim\mathcal{G}(p)\), retrouver \(G_X\), puis \(E(X)=\frac{1}{p}\) et \(V(X)=\frac{1-p}{p^2}\) par dérivation.
2. Exprimer \(G_{T_N}\) comme un produit de fonctions génératrices.
3. Montrer que \(E(T_N)=NH_N\), où \(H_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}\). Donner une valeur approchée de \(E(T_{50})\), sachant que \(H_{50}\approx 4{,}4992\).
4. Montrer que \(V(T_N)\leqslant N^2\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2}\leqslant\frac{\pi^2}{6}N^2\).
5. Soit \(\varepsilon>0\). Montrer que \(P\left(\left|T_N-NH_N\right|\geqslant\varepsilon N\ln N\right)\to 0\) quand \(N\to+\infty\).
6. En utilisant \(H_N\sim\ln N\), en déduire que \(P\left(\left|\dfrac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geqslant 2\varepsilon\right)\to 0\).

Pour aller plus loin

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