QCM : Loi faible et séries génératrices en maths spé (MP)

Réponse B.

Markov affirme que \(P(X\geq a)\leq E(X)/a\) pour \(a>0\). Ici, on obtient donc \(2/10=1/5\). La valeur \(1/25\) élève à tort le quotient au carré, comme dans Bienaymé-Tchebychev, qui demanderait une variance. De son côté, \(4/5\) est le complément de la borne, c’est-à-dire une minoration de \(P(X<10)\), et non la majoration cherchée.

Réponse C.

La preuve repose sur \(a\,\mathbf{1}_{X\geq a}\leq X\), qui exige \(X\geq0\). Sans positivité, l’inégalité tombe : une variable d’espérance nulle peut valoir 10 avec probabilité \(1/2\). En revanche, la variance ne sert que pour Tchebychev. Par ailleurs, un seuil inférieur à \(E(X)\) reste permis ; la borne obtenue dépasse alors 1, ce qui la rend inutile mais pas fausse.

Réponse D.

L’inégalité s’écrit \(P(|Y-E(Y)|\geq\varepsilon)\leq V(Y)/\varepsilon^2\). Avec \(\varepsilon=10\), on obtient \(25/100=1/4\). Le piège \(1/2\) divise l’écart type 5 par 10, sans carré. Ensuite, \(2/5\) inverse le rapport entre 10 et 25. Enfin, la borne « au moins \(3/4\) » concerne l’événement contraire \(|Y-50|<10\).

Réponse A.

La fréquence a pour variance \(p(1-p)/n=0{,}25/10\,000\). Ainsi, la borne vaut \(0{,}25/(10\,000\times0{,}0025)=0{,}25/25=0{,}01\). Le piège \(0{,}02\) remplace la variance \(0{,}25\) par l’écart type \(0{,}5\). De plus, \(0{,}0005\) oublie d’élever \(0{,}05\) au carré. Quant à la borne 1, elle divise seulement par \(\sqrt{n}\) et ne dit plus rien.

Réponse A.

Le théorème contrôle la moyenne empirique : la probabilité d’un écart fixé tend vers 0. Cependant, la somme \(S_n-nm\) a une variance \(n\sigma^2\) qui grandit, donc elle ne se concentre pas. Le piège \(P(S_n/n=m)\to1\) est faux, par exemple pour des Bernoulli de paramètre irrationnel. Enfin, l’égalité exacte pour \(n\) grand n’a aucun sens pour des variables aléatoires.

Réponse B.

Pour \(|t|\leq1\), on a \(|P(X=n)t^n|\leq P(X=n)\), terme général d’une série convergente de somme 1. La convergence est donc normale sur \([-1,1]\), et le rayon vaut au moins 1. Il peut cependant être infini, comme pour une loi de Poisson, ou égal à 1 pour d’autres lois. Enfin, la valeur en 1 vaut toujours 1 ; l’espérance s’obtient avec la dérivée.

Réponse A.

Pour \(X\sim\mathcal{P}(\lambda)\), on a \(E(t^X)=e^{-\lambda}\sum\lambda^nt^n/n!=e^{\lambda(t-1)}\). Or \(e^{3t-3}=e^{3(t-1)}\), donc \(\lambda=3\). Comme la fonction génératrice caractérise la loi, la conclusion est certaine. Le piège \(\mathcal{P}(1/3)\) inverse le paramètre. Par ailleurs, une binomiale aurait une génératrice polynomiale, et une géométrique une fraction rationnelle.

Réponse D.

On factorise : \(\frac{t}{3-2t}=\frac{\frac13t}{1-\frac23t}=\sum_{k\geq1}\frac13\left(\frac23\right)^{k-1}t^k\). Ce sont donc les probabilités de \(\mathcal{G}(1/3)\), sans terme constant. Le paramètre \(2/3\) confond la probabilité d’échec avec celle du succès. De plus, le facteur \(t\) au numérateur impose \(P(X=0)=0\), ce qui exclut le support \(\mathbb{N}\).

Réponse D.

La dérivée seconde en 1 vaut \(E\big(X(X-1)\big)=E(X^2)-E(X)\), et non \(E(X^2)\). Par conséquent, \(E(X^2)=G_X^{\prime\prime}(1)+G_X^{\prime}(1)\), puis on retire \(E(X)^2\). Le piège sans le terme \(G_X^{\prime}(1)\) confond moment factoriel et moment d’ordre 2. Quant à \(G_X^{\prime\prime}(1)+G_X^{\prime}(1)\), c’est \(E(X^2)\) et non la variance.

Réponse B.

On calcule \(G_X^{\prime}(1)=4\cdot2^3/16=2\) et \(G_X^{\prime\prime}(1)=12\cdot2^2/16=3\). Donc \(V(X)=3+2-4=1\), cohérent avec \(\mathcal{B}(4,1/2)\) dont la variance est \(4\times\frac14\). La réponse 3 s’arrête à la dérivée seconde. Ensuite, 5 oublie de soustraire le carré de l’espérance. Enfin, une variance négative signale l’oubli du terme \(G_X^{\prime}(1)\).

Réponse C.

Grâce à l’indépendance, \(G_{X+Y}=G_XG_Y=\left(\frac23+\frac t3\right)^2\left(\frac23+\frac t3\right)^3=\left(\frac23+\frac t3\right)^5\). On reconnaît donc \(\mathcal{B}(5,1/3)\). Le piège \(\mathcal{B}(6,1/3)\) multiplie les nombres d’épreuves au lieu de les additionner. De même, \(1/9\) multiplie les paramètres, et \(2/3\) prend la probabilité d’échec.

Réponse C.

On écrit \(G_X(t)=\frac14\left(1-\frac t2\right)^{-2}=\frac14\sum_{n\geq0}(n+1)\frac{t^n}{2^n}\). Le coefficient de \(t^2\) vaut donc \(\frac14\times\frac34=\frac{3}{16}\). La réponse \(3/4\) oublie le facteur \(1/4\) issu de la factorisation par \(2^2\). Quant à \(1/16\), elle développe \((1-u)^{-2}\) comme \((1-u)^{-1}\), sans le coefficient \(n+1\).