Cauchy linéaire et wronskien en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Mettre une équation sous forme matricielle

1. D’abord, écrire l’équation \(y^{\prime\prime\prime}-t\,y^{\prime}+e^{t}y=\sin t\) sous la forme \(Y^{\prime}=A(t)Y+B(t)\), en précisant \(Y\), \(A(t)\) et \(B(t)\).
2. Ensuite, donner la dimension de l’espace des solutions de l’équation homogène associée. Combien de conditions initiales en un point \(t_0\) faut-il fixer pour obtenir une unique solution ?
3. Enfin, écrire sous forme matricielle le système \(u^{\prime}=t\,u-v+1\), \(v^{\prime}=u+e^{t}v\), et justifier que tout problème de Cauchy associé admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 2 – Conséquences directes de l’unicité

On considère l’équation \((E)\ :\ y^{\prime\prime}+(\cos t)\,y^{\prime}+t^2y=0\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(y\) une solution telle que \(y(1)=y^{\prime}(1)=0\). Montrer que \(y\) est la fonction nulle.
2. Ensuite, montrer que deux solutions dont les courbes sont tangentes en un point sont égales.
3. Enfin, la fonction \(t\mapsto(t-2)^2\) peut-elle être solution d’une équation \(y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=0\) avec \(p\) et \(q\) continues sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 3 – Wronskien d’une équation à coefficients constants

On considère \(y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+10y=0\) sur \(\mathbb{R}\), et les fonctions \(y_1=e^{2t}\), \(y_2=e^{5t}\).

1. Vérifier que \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions, puis calculer leur wronskien.
2. Ensuite, vérifier la formule de Liouville sur cet exemple, et conclure que \((y_1,y_2)\) est une base.
3. Enfin, résoudre le problème de Cauchy \(y(0)=1\), \(y^{\prime}(0)=0\).

Exercice 4 – Superposition de deux seconds membres

On étudie \(y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=4t+6e^{t}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Donner une base des solutions de l’équation homogène.
2. Ensuite, trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=4t\) sous forme polynomiale.
3. Puis trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=6e^{t}\) de la forme \(\gamma\,te^{t}\).
4. Enfin, en déduire toutes les solutions de l’équation initiale.

Exercice 5 – Normaliser avant de résoudre

On considère \((1+t^2)\,y^{\prime}+2t\,y=1\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Justifier que le théorème de Cauchy linéaire s’applique sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
2. Ensuite, résoudre l’équation, par exemple en reconnaissant la dérivée d’un produit.
3. Enfin, déterminer la solution telle que \(y(0)=2\), puis sa limite en \(+\infty\).

Exercice 6 – Deux raccordements en zéro

1. D’abord, résoudre \(t\,y^{\prime}-y=0\) sur \(]0,+\infty[\) et sur \(]-\infty,0[\), puis déterminer toutes les solutions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\).
2. Ensuite, faire de même pour \(t\,y^{\prime}+3y=0\).
3. Enfin, comparer la dimension des deux espaces obtenus avec celle que donnerait le théorème de Cauchy linéaire pour une équation normalisée.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Raccordement avec une exponentielle plate

On considère l’équation \(t^2y^{\prime}-y=0\). La figure montre quelques solutions sur chaque demi-droite.

1. Résoudre l’équation sur \(]0,+\infty[\) et sur \(]-\infty,0[\).
2. Ensuite, déterminer toutes les solutions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\).
3. Enfin, combien de solutions sur \(\mathbb{R}\) vérifient \(y(0)=0\) ? Et \(y(0)=1\) ? Commenter.

Exercice 8 – Raccordement à l’ordre 2 pour une équation d’Euler

On considère \(t^2y^{\prime\prime}-2y=0\).

1. Chercher les solutions de la forme \(t\mapsto t^r\) sur \(]0,+\infty[\), et en déduire toutes les solutions sur cet intervalle.
2. Ensuite, donner sans calcul les solutions sur \(]-\infty,0[\).
3. Enfin, déterminer les fonctions deux fois dérivables sur \(\mathbb{R}\) qui vérifient l’équation en tout point.

Exercice 9 – Une seconde solution grâce au wronskien

Sur \(I=\,]0,+\infty[\), on considère \(t\,y^{\prime\prime}-(t+2)\,y^{\prime}+2y=0\).

1. Chercher une solution polynomiale de degré 2, de coefficient dominant égal à 1.
2. Ensuite, écrire l’équation sous forme normalisée et calculer le wronskien de deux solutions à une constante près.
3. En déduire une seconde solution, indépendante de la première, à l’aide de la relation \((y_2/y_1)^{\prime}=W/y_1^2\).
4. Enfin, donner toutes les solutions sur \(I\).

Exercice 10 – Wronskien constant sans terme du premier ordre

Soit \(q\) continue sur \(\mathbb{R}\). On considère \(y^{\prime\prime}+q(t)\,y=0\), et ses solutions \(y_1\), \(y_2\) définies par \(y_1(0)=1\), \(y_1^{\prime}(0)=0\), \(y_2(0)=0\), \(y_2^{\prime}(0)=1\).

1. Montrer que le wronskien de deux solutions quelconques est constant.
2. Ensuite, en déduire que \(y_1y_2^{\prime}-y_1^{\prime}y_2=1\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(y_1\) et \(y_2\) n’ont aucun zéro commun, et que \(y_1\) et \(y_1^{\prime}\) n’en ont pas non plus.
4. Enfin, on suppose \(q\) paire. Montrer que \(y_1\) est paire et que \(y_2\) est impaire.

Exercice 11 – Un système à coefficients variables

On considère le système \(X^{\prime}=A(t)X\), avec \(X=\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\) et \(A(t)=\begin{pmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix}\).

1. Résoudre le système en commençant par la seconde équation.
2. Ensuite, écrire la matrice \(\Phi(t)\) dont les colonnes sont les solutions valant \((1,0)\) et \((0,1)\) en 0. Vérifier que \(\det\Phi(t)=\exp\left(\int_0^t\operatorname{tr}A(s)\,ds\right)\).
3. Enfin, résoudre le système complet \(X^{\prime}=A(t)X+\begin{pmatrix}0\\ e^{t}\end{pmatrix}\) avec \(X(0)=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\).

Exercice 12 – Variation des constantes avec un second membre hyperbolique

On veut résoudre \(y^{\prime\prime}-y=\dfrac{1}{\operatorname{ch}t}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Donner une base \((y_1,y_2)\) des solutions homogènes, puis calculer son wronskien.
2. Ensuite, appliquer la variation des constantes et calculer \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).
3. Vérifier que \(y_p(t)=t\operatorname{sh}t-\operatorname{ch}t\,\ln(\operatorname{ch}t)\) est solution, puis donner toutes les solutions.

Exercice 13 – Variation des constantes pour une équation d’Euler

Sur \(]0,+\infty[\), on considère \(t^2y^{\prime\prime}-2t\,y^{\prime}+2y=t^4\).

1. Vérifier que \(t\mapsto t\) et \(t\mapsto t^2\) sont solutions de l’équation homogène, et qu’elles forment une base.
2. Ensuite, normaliser l’équation, puis trouver une solution particulière par variation des constantes.
3. Enfin, déterminer la solution telle que \(y(1)=0\) et \(y^{\prime}(1)=0\).

Exercice 14 – Solutions en série entière bornées en zéro

On considère \(t\,y^{\prime\prime}+2y^{\prime}-t\,y=0\).

1. Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage de 0, et leur rayon. Reconnaître leur somme.
2. Ensuite, on pose \(z(t)=t\,y(t)\) sur \(]0,+\infty[\). Montrer que \(y\) est solution si et seulement si \(z^{\prime\prime}=z\). En déduire toutes les solutions sur \(]0,+\infty[\).
3. Enfin, quelles solutions sur \(]0,+\infty[\) ont une limite finie en \(0^+\) ?

Exercice 15 – Une série entière qui fait apparaître une gaussienne

On considère \(y^{\prime\prime}-2t\,y^{\prime}-2y=0\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Chercher une solution \(y=\sum a_nt^n\) et établir une relation entre \(a_{n+2}\) et \(a_n\).
2. Ensuite, calculer la solution paire telle que \(y(0)=1\), et reconnaître sa somme \(y_1\).
3. Montrer que la solution impaire \(y_2\) telle que \(y_2^{\prime}(0)=1\) a un rayon infini.
4. Enfin, à l’aide du wronskien, montrer que \(y_2(t)=e^{t^2}\displaystyle\int_0^{t}e^{-s^2}\,ds\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Entrelacement des zéros de deux solutions

Soit \(q\) continue sur \(\mathbb{R}\), et soit \((y_1,y_2)\) une base des solutions de \(y^{\prime\prime}+q(t)\,y=0\). On note \(W\) leur wronskien. Soient \(a < b\) deux zéros consécutifs de \(y_1\). La figure montre la situation pour \(q(t)=1+t/2\).

1. Justifier que \(W\) est une constante non nulle, puis que \(y_2(a)\neq 0\) et \(y_2(b)\neq 0\).
2. Ensuite, on suppose \(y_1 > 0\) sur \(]a,b[\). Montrer que \(y_1^{\prime}(a) > 0\) et \(y_1^{\prime}(b) < 0\).
3. En déduire que \(y_2(a)\) et \(y_2(b)\) sont de signes contraires, puis que \(y_2\) s’annule dans \(]a,b[\).
4. Enfin, montrer que \(y_2\) s’annule une seule fois dans \(]a,b[\).

Exercice 17 – Formule intégrale pour un oscillateur forcé

Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\). On considère \(y^{\prime\prime}+y=f(t)\).

1. Par variation des constantes, montrer que la solution telle que \(y(0)=y^{\prime}(0)=0\) est \[y(t)=\int_0^{t}\sin(t-s)\,f(s)\,ds.\]
2. Ensuite, vérifier cette formule pour \(f(t)=t\).
3. On suppose que \(\int_0^{+\infty}|f(s)|\,ds\) converge. Montrer que toutes les solutions sont bornées sur \([0,+\infty[\).
4. Enfin, calculer la solution nulle en 0 de dérivée nulle en 0 lorsque \(f(t)=\cos t\). Est-elle bornée sur \([0,+\infty[\) ?

Exercice 18 – Problème : la fonction ch racine de t et ses raccordements

On étudie l’équation \((E)\ :\ 4t\,y^{\prime\prime}+2y^{\prime}-y=0\), dont le coefficient dominant s’annule en 0.

Partie A : une solution en série entière

1. Chercher les solutions développables en série entière au voisinage de 0. Montrer qu’elles sont proportionnelles à \(f(t)=\sum_{n\geq 0}\frac{t^n}{(2n)!}\), de rayon infini.
2. Ensuite, exprimer \(f(t)\) à l’aide de fonctions usuelles, selon le signe de \(t\).

Partie B : résolution sur chaque demi-droite

1. Sur \(]0,+\infty[\), on pose \(z(s)=y(s^2)\) pour \(s > 0\). Montrer que \(y\) résout \((E)\) si et seulement si \(z^{\prime\prime}=z\). En déduire les solutions sur \(]0,+\infty[\).
2. De même, sur \(]-\infty,0[\), on pose \(z(s)=y(-s^2)\) pour \(s > 0\). Établir l’équation vérifiée par \(z\), puis donner les solutions sur \(]-\infty,0[\).
3. Calculer le wronskien de \(\operatorname{ch}\sqrt{t}\) et \(\operatorname{sh}\sqrt{t}\) sur \(]0,+\infty[\), et vérifier la formule de Liouville.

Partie C : raccordement en 0

1. Soit \(y\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et solution de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(y^{\prime}\) a une limite finie en \(0^+\) et en \(0^-\). En déduire que les coefficients de \(\operatorname{sh}\sqrt{t}\) et de \(\sin\sqrt{-t}\) sont nuls.
2. Ensuite, montrer que l’ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) est la droite engendrée par \(f\).
3. Enfin, le problème de Cauchy \(y(0)=1\), \(y^{\prime}(0)=0\) a-t-il une solution sur \(\mathbb{R}\) ? Situer cette réponse par rapport aux hypothèses du théorème de Cauchy linéaire.

Pour aller plus loin

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