Quiz équations linéaires et wronskiens en MP

Quiz équations linéaires et wronskiens en maths spé (MP)

Dix questions éclair sur les équations différentielles linéaires : dimension des solutions, calculs de wronskiens, raccordements délicats et variation des constantes.

Variation des constantes \(y = \lambda y_1 + \mu y_2\) à l'ordre 2 : condition imposée en plus ?

A.\(\lambda^{\prime} y_1 + \mu^{\prime} y_2 = 0\)B.\(\lambda y_1 + \mu y_2 = 0\)C.\(\lambda^{\prime} y_1^{\prime} + \mu^{\prime} y_2^{\prime} = 0\)D.\(\lambda^{\prime} + \mu^{\prime} = 0\)

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz rapide fait travailler les réflexes attendus sur les équations différentielles linéaires de seconde année : hypothèses exactes du théorème de Cauchy linéaire, dimension de l'espace des solutions, calcul d'un wronskien et équation qu'il vérifie, superposition des seconds membres, relation de récurrence d'une solution cherchée en série entière. Une question piège porte sur un raccordement en un point où le coefficient dominant s'annule.

Fais-le avant une colle ou un devoir pour vérifier que tu sais conclure vite sans tout recalculer. En cas d'erreur sur le raccordement, reprends la méthode : résous sur chaque intervalle où l'équation est normalisée, puis teste la continuité et la dérivabilité au point de jonction. Un score d'au moins 8 sur 10 montre que les outils sont en place pour les écrits de concours ; sinon, refais les calculs de wronskiens à la main.

Aller plus loin sur équations linéaires et wronskiens

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Questions fréquentes : équations linéaires et wronskiens en MP

Pourquoi l'espace des solutions peut-il changer de dimension après raccordement ?

Le théorème de Cauchy ne s'applique que là où l'équation est normalisée. Au point où le coefficient dominant s'annule, les conditions de recollement peuvent laisser plus ou moins de liberté, selon l'équation.

Que prouve un wronskien non nul ?

Pour deux solutions d'une même équation homogène normalisée d'ordre 2, un wronskien non nul en un seul point suffit : il ne s'annule nulle part et les deux solutions forment une base.

Pourquoi impose-t-on une condition supplémentaire dans la variation des constantes ?

On cherche deux fonctions inconnues avec une seule équation. La condition ajoutée simplifie la dérivée seconde et conduit à un système de Cramer dont le déterminant est le wronskien.

Quiz équations linéaires et wronskiens en maths spé (MP)

Dimension des solutions de \(y^{\prime\prime\prime} + a(t)\,y^{\prime} + b(t)\,y = 0\), avec \(a, b\) continues sur un intervalle ?

Deux solutions de \(y^{\prime\prime} + p\,y^{\prime} + q\,y = 0\) ont un wronskien nul en un point. Elles sont…

Wronskien du couple \((\cos t, \sin t)\) ?

Pour \(y^{\prime\prime} + p(t)\,y^{\prime} + q(t)\,y = 0\), le wronskien vérifie…

Wronskien du couple \((e^{t}, e^{2t})\) ?

Hypothèse sur \(a\) et \(b\) dans le théorème de Cauchy linéaire pour \(x^{\prime} = a(t)x + b(t)\) ?

Dimension de l'espace des solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(t\,y^{\prime} - 2y = 0\) ?

\(y_1\) résout \(L(y) = \cos t\) et \(y_2\) résout \(L(y) = e^{t}\), \(L\) linéaire. \(y_1 - 3y_2\) résout…

Avec \(y = \sum a_n t^n\) solution de \(y^{\prime\prime} + y = 0\), que vaut \(a_{n+2}\) ?

Variation des constantes \(y = \lambda y_1 + \mu y_2\) à l'ordre 2 : condition imposée en plus ?

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

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