Quiz exponentielle matricielle en pratique en MP

Quiz exponentielle matricielle en pratique en maths spé (MP)

Dix questions éclair pour calculer une exponentielle de matrice simple, retenir ses propriétés et résoudre sans hésiter un système différentiel linéaire à coefficients constants.

\(A\) diagonalisable de valeurs propres \(-1\) et \(-3\). Quand \(t \to +\infty\), les solutions de \(X^{\prime}=AX\) :

A.tendent toutes vers 0B.divergent toutes en normeC.sont toutes périodiquesD.tendent vers un vecteur propre non nul

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express fait travailler les automatismes autour de l'exponentielle de matrice : calcul pour une matrice diagonale ou nilpotente, lien entre spectre de la matrice et spectre de son exponentielle, déterminant, inverse et dérivée de la fonction qui à t associe l'exponentielle de tA. Il insiste sur l'hypothèse de commutation, indispensable pour transformer l'exponentielle d'une somme en produit, et sur la résolution des systèmes différentiels linéaires.

Fais-le avant une colle ou un TD, sans brouillon, puis reprends chaque erreur en écrivant la série qui définit l'exponentielle : c'est elle qui justifie presque toutes les propriétés. À l'approche d'un partiel, recommence jusqu'à dix sur dix, puis entraîne-toi à rédiger complètement la résolution d'un système de taille deux par diagonalisation, en vérifiant le comportement des solutions en l'infini.

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Questions fréquentes : exponentielle matricielle en pratique en MP

Pourquoi l'exponentielle d'une matrice est-elle toujours inversible ?

Parce que A et moins A commutent : le produit de leurs exponentielles vaut l'exponentielle de la matrice nulle, c'est-à-dire l'identité. L'inverse de l'exponentielle de A est donc l'exponentielle de moins A.

Comment calculer une exponentielle quand la matrice n'est pas diagonalisable ?

On la décompose en somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente qui commutent, ou on trigonalise. La partie nilpotente donne une somme finie, ce qui rend le calcul exact.

Que représente l'exponentielle de tA pour un système différentiel ?

Ses colonnes forment une base de l'espace des solutions du système homogène. La solution valant X0 en 0 s'obtient en multipliant cette matrice par le vecteur X0.

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Que vaut \(\exp(\mathrm{diag}(1,2))\) ?

Si \(N^2=0\), alors \(\exp(N)\) vaut :

Pour toute matrice carrée \(A\), \(\det(\exp A)\) vaut :

L'inverse de \(\exp(A)\) est :

\(\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)\) est garanti dès que :

La dérivée de \(t \mapsto \exp(tA)\) est :

La solution de \(X^{\prime}=AX\) avec \(X(0)=X_0\) est :

Si \(J^2=-I_2\), alors \(\exp(\theta J)\) vaut :

\(A\) a pour valeurs propres 1 et \(-1\). Celles de \(\exp A\) :

\(A\) diagonalisable de valeurs propres \(-1\) et \(-3\). Quand \(t \to +\infty\), les solutions de \(X^{\prime}=AX\) :

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