Exponentielle de matrice en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une matrice nilpotente d’ordre 3

Soit \(N=\begin{pmatrix}0&3&1\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(N^2\) et \(N^3\).
2. En déduire \(\exp(tN)\) pour tout réel \(t\), puis \(\exp(N)\).
3. Vérifier sur ce résultat que \(\exp(N)\exp(-N)=I_3\).

Exercice 2 – Matrices symétriques à diagonale constante

Pour \(a,b\) réels, on note \(M_{a,b}=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}\) et \(J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(J^2\), puis \(\exp(bJ)\) à l’aide des fonctions hyperboliques.
2. Justifier que \(\exp(M_{a,b})=\mathrm{e}^a\exp(bJ)\) et écrire cette matrice.
3. Retrouver ce résultat en diagonalisant \(M_{a,b}\) dans la base \(\bigl((1,1),(1,-1)\bigr)\).

Exercice 3 – Projecteurs et symétries

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\).

1. Soit \(p\) un projecteur de \(E\), de rang \(r\). Montrer que \(\exp(tp)=\mathrm{id}_E+(\mathrm{e}^t-1)p\) pour tout réel \(t\).
2. Calculer \(\det\bigl(\exp(tp)\bigr)\) de deux manières : avec la formule précédente dans une base adaptée, puis avec la trace.
3. Soit \(s\) une symétrie de \(E\). Exprimer \(\exp(ts)\) à l’aide de \(\mathrm{ch}\,t\), \(\mathrm{sh}\,t\), \(\mathrm{id}_E\) et \(s\).

Exercice 4 – Spectre et déterminant d’une exponentielle

1. Soit \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&-1&5\\0&0&3\end{pmatrix}\). Donner le spectre et le déterminant de \(\exp(A)\) sans calculer cette matrice.
2. Vérifier la cohérence du déterminant avec la trace de \(A\).
3. Montrer qu’il n’existe aucune matrice \(B\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(\exp(B)=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

Exercice 5 – Dériver t ↦ exp(tA)

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(E(t)=\exp(tA)\).

1. Rappeler \(E^{\prime}(t)\) et en déduire \(E^{\prime\prime}(t)\).
2. On pose \(\varphi(t)=\mathrm{tr}\bigl(E(t)\bigr)\). Calculer \(\varphi^{\prime}(0)\) et \(\varphi^{\prime\prime}(0)\) en fonction de \(A\).
3. On pose \(\psi(t)=\det\bigl(E(t)\bigr)\). Donner une expression simple de \(\psi(t)\), puis vérifier que \(\psi^{\prime}(0)=\varphi^{\prime}(0)\).

Exercice 6 – Un système diagonalisable 2×2

On considère le système \(x^{\prime}=4x-2y\), \(y^{\prime}=x+y\), avec \(x(0)=1\) et \(y(0)=0\).

1. Écrire le système sous la forme \(X^{\prime}=AX\). Diagonaliser \(A\).
2. Donner la solution générale du système.
3. Déterminer la solution qui vérifie les conditions initiales, puis son comportement en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Trois produits qui diffèrent

Soit \(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\).

1. Vérifier que \(A\) et \(B\) ne commutent pas.
2. Calculer \(\exp(A)\) et \(\exp(B)\).
3. Montrer que \(A+B\) est un projecteur et en déduire \(\exp(A+B)\).
4. Comparer \(\exp(A+B)\), \(\exp(A)\exp(B)\) et \(\exp(B)\exp(A)\).

Exercice 8 – Une rotation déguisée

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&-5\\1&-1\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(A^2=-4I_2\).
2. En déduire \(\exp(tA)\) pour tout réel \(t\).
3. Résoudre \(X^{\prime}=AX\) avec \(X(0)=(1,0)\). Montrer que la solution est périodique et donner sa période.
4. Vérifier que la quantité \(q(x,y)=x^2-2xy+5y^2\) est constante le long de chaque solution. Quelle est la nature des trajectoires ?

La figure représente la trajectoire issue de \((1,0)\) et deux autres trajectoires du même système.

Exercice 9 – Valeur propre double non diagonalisable

Soit \(A=\begin{pmatrix}5&-4\\1&1\end{pmatrix}\).

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(A\). La matrice est-elle diagonalisable ?
2. On pose \(N=A-3I_2\). Calculer \(N^2\) et en déduire \(\exp(tA)\).
3. Résoudre \(X^{\prime}=AX\) avec \(X(0)=(0,1)\).

Exercice 10 – Une matrice à diagonale nulle et coefficients 1

Soit \(J\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent \(1\), et \(M=J-I_3\).

1. Calculer \(J^2\) en fonction de \(J\), puis montrer que \(\exp(tJ)=I_3+\frac{\mathrm{e}^{3t}-1}{3}J\).
2. En déduire \(\exp(tM)\), en justifiant chaque étape.
3. Résoudre le système \(x^{\prime}=y+z\), \(y^{\prime}=x+z\), \(z^{\prime}=x+y\) avec \((x,y,z)(0)=(1,0,0)\).

Exercice 11 – Résolution en cascade d’un système triangulaire

Soit \(T=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&-1\end{pmatrix}\). On cherche les solutions \(Y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(Y^{\prime}=TY\).

1. Résoudre l’équation vérifiée par \(y_3\).
2. Injecter \(y_3\) dans l’équation de \(y_2\) et la résoudre.
3. Terminer avec \(y_1\), puis décrire l’espace des solutions.
4. Déterminer les solutions bornées sur \([0,+\infty[\).

Exercice 12 – Spirales selon le signe d’un paramètre

Pour \(a\in\mathbb{R}\), on pose \(A_a=\begin{pmatrix}a&1\\-1&a\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\exp(tA_a)\) en écrivant \(A_a=aI_2+R\), avec \(R\) à préciser.
2. Soit \(X\) une solution de \(X^{\prime}=A_aX\). Montrer que \(\|X(t)\|=\mathrm{e}^{at}\|X(0)\|\) pour la norme euclidienne.
3. Décrire le comportement des solutions selon le signe de \(a\).

La figure trace une solution pour \(a=-0{,}15\), \(a=0\) et \(a=0{,}15\).

Exercice 13 – Quand l’exponentielle vaut l’identité

1. Soit \(\theta\) réel et \(R_\theta=\begin{pmatrix}0&-\theta\\\theta&0\end{pmatrix}\). Calculer \(\exp(R_\theta)\) et trouver les \(\theta\) tels que \(\exp(R_\theta)=I_2\).
2. Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) diagonalisable telle que \(\exp(A)=I_n\). Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont dans \(2\mathrm{i}\pi\mathbb{Z}\).
3. Soit \(N\) nilpotente telle que \(\exp(N)=I_n\). En écrivant \(\exp(N)-I_n=N\,U\) avec \(U\) à préciser, montrer que \(N=0\).

Exercice 14 – Une équation d’ordre deux vue comme un système

On étudie l’équation \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0\).

1. Avec \(X=(y,y^{\prime})\), écrire l’équation sous la forme \(X^{\prime}=AX\).
2. Diagonaliser \(A\) et donner la solution générale de l’équation.
3. Déterminer les solutions \(y\) telles que \(y(0)=1,\ y^{\prime}(0)=0\) puis \(y(0)=0,\ y^{\prime}(0)=1\).
4. En déduire \(\exp(tA)\) sans calculer de matrice de passage inverse.

Exercice 15 – Déterminant de l’exponentielle sans trigonaliser

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\psi(t)=\det\bigl(\exp(tA)\bigr)\).

1. Montrer que \(\psi(t+h)=\psi(t)\,\psi(h)\) pour tous réels \(t\) et \(h\).
2. Établir que \(\exp(hA)=I_n+hA+h^2R(h)\), où \(R\) est bornée au voisinage de \(0\).
3. En admettant que \(\det(I_n+hB)=1+h\,\mathrm{tr}(B)+O(h^2)\) pour \(B\) bornée, montrer que \(\psi\) est dérivable en \(0\) avec \(\psi^{\prime}(0)=\mathrm{tr}A\).
4. En déduire que \(\psi^{\prime}=\mathrm{tr}(A)\,\psi\), puis que \(\det\exp(A)=\mathrm{e}^{\mathrm{tr}A}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Exponentielle comme limite de puissances

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\|\cdot\|\) une norme d’algèbre sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Pour \(k\geqslant 1\), on pose \(M_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k\).

1. Écrire \(M_k=\sum_{j=0}^k\alpha_{k,j}A^j\) avec \(\alpha_{k,j}=\binom{k}{j}\frac{1}{k^j}\). Montrer que \(0\leqslant\alpha_{k,j}\leqslant\frac{1}{j!}\).
2. En posant \(\alpha_{k,j}=0\) pour \(j>k\), établir que \(\|\exp(A)-M_k\|\leqslant\sum_{j\geqslant 0}\left(\frac{1}{j!}-\alpha_{k,j}\right)\|A\|^j\).
3. Calculer ce majorant et conclure que \(M_k\to\exp(A)\) quand \(k\to+\infty\).
4. Application : en déduire de nouveau que \(\det\exp(A)=\lim_k\left(\det\left(I_n+\frac Ak\right)\right)^k\), puis retrouver \(\det\exp(A)=\mathrm{e}^{\mathrm{tr}A}\) lorsque \(A\) est triangulaire.

Exercice 17 – Matrices qui ne sont pas des exponentielles

1. Montrer que l’exponentielle envoie \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dans l’ensemble des matrices de déterminant strictement positif.
2. Soit \((a,b)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\). On écrit \(a+\mathrm{i}b=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) avec \(r>0\). Montrer que \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=\exp\begin{pmatrix}\ln r&-\theta\\\theta&\ln r\end{pmatrix}\).
3. Soit \(M=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}\). Vérifier que \(\det M>0\) et que \(M\) n’est pas diagonalisable sur \(\mathbb{C}\).
4. On suppose \(M=\exp(B)\) avec \(B\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Montrer que les valeurs propres complexes de \(B\) sont non réelles et conjuguées, puis distinctes. En déduire une contradiction.

Exercice 18 – Problème sur les rotations de l’espace

Dans cet énoncé, \(\mathbb{R}^3\) est muni de son produit scalaire usuel.

Partie A : cas général. Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) antisymétrique, c’est-à-dire \(A^{\top}=-A\).

1. Montrer que \(\exp(A)^{\top}\exp(A)=I_n\) et que \(\det\exp(A)=1\).
2. Soit \(X\) une solution de \(X^{\prime}=AX\). Montrer que \(\|X(t)\|\) est constante.

Partie B : un exemple dans l’espace. On pose \(w=(1,2,2)\) et \(A=\begin{pmatrix}0&-2&2\\2&0&-1\\-2&1&0\end{pmatrix}\), de sorte que \(AX=w\wedge X\) pour tout \(X\in\mathbb{R}^3\).

3. Vérifier que \(Aw=0\) et que \(A^2=ww^{\top}-9I_3\). En déduire que \(A^3=-9A\).
4. Établir que, pour tout réel \(t\) :
   \[\exp(tA)=I_3+\frac{\sin(3t)}{3}A+\frac{1-\cos(3t)}{9}A^2.\]
5. Montrer que \(\exp(tA)w=w\) et que \(t\mapsto\exp(tA)\) est périodique ; préciser sa plus petite période.
6. Calculer la trace de \(\exp(tA)\) et en déduire les valeurs propres complexes de \(\exp(tA)\).
7. Résoudre \(X^{\prime}=AX\) avec \(X(0)=(2,-1,0)\), puis décrire la trajectoire.

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