Raccordements, wronskien et exp(tA) : contrôle de maths en MP

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MP PDF à imprimer Voir le livre ›

Ce qu’évalue le contrôle : raccordements, wronskien et exp(tA)

Le sujet du contrôle : raccordements, wronskien et exp(tA)

Exercice 1 – Un système fondamental par le wronskien (4 points)

Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(p, q\) deux fonctions continues sur \(I\). Quand \(y_1\) et \(y_2\) résolvent \(y^{\prime\prime} = -p(t)\,y^{\prime} – q(t)\,y\) sur \(I\), leur wronskien est la fonction \(W = y_2^{\prime} y_1 – y_2 y_1^{\prime}\). Ensuite, on travaille sur \(J = \left] -\frac{1}{2}, +\infty \right[\) avec les deux équations suivantes :

\[(E_0) \quad (2t+1)\,y^{\prime\prime} – 4(t+1)\,y^{\prime} + 4y = 0,\]

\[(E) \quad (2t+1)\,y^{\prime\prime} – 4(t+1)\,y^{\prime} + 4y = (2t+1)^2\,\mathrm{e}^{2t}.\]

1. Question de cours. Montrer que \(W^{\prime} = -pW\) sur \(I\), puis en déduire que \(W\) est soit identiquement nulle, soit sans zéro sur \(I\). (1 point)
2. Vérifier que \(\varphi_2 : t \mapsto \mathrm{e}^{2t}\) est solution de \((E_0)\) sur \(J\), puis déterminer une solution polynomiale \(\varphi_1\) de degré 1 telle que \(\varphi_1(0) = 1\). Calculer alors le wronskien de \((\varphi_1, \varphi_2)\) et le retrouver par la question 1. Conclure. (1 point)
3. En faisant ensuite varier les deux constantes, résoudre complètement \((E)\) sur \(J\). (1,5 point)
4. Donner enfin la solution de \((E)\) qui vérifie \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). (0,5 point)

Exercice 2 – Deux équations singulières en 0 (3,5 points)

On étudie les deux équations différentielles suivantes, dont le coefficient de \(y^{\prime}\) s’annule en 0 :

\[(E_1) \quad t\,y^{\prime} – 3y = 2t^5, \qquad (E_2) \quad 2t\,y^{\prime} – y = 3t^2.\]

Par définition, on appelle ici solution sur \(\mathbb{R}\) toute fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) satisfaisant l’équation pour chaque réel \(t\), y compris \(t = 0\). Par ailleurs, la figure suivante montre quelques solutions de \((E_2)\) sur \(\left]0, +\infty\right[\) (traits pleins) et sur \(\left]-\infty, 0\right[\) (pointillés).

1. Résoudre \((E_1)\) sur chacun des intervalles \(\left]0, +\infty\right[\) et \(\left]-\infty, 0\right[\). (0,5 point)
2. Déterminer les solutions de \((E_1)\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer qu’elles forment un espace affine de dimension 2. Pour un réel \(\alpha\), combien de solutions vérifient \(y(0) = \alpha\) ? Ce constat est-il compatible avec le théorème de Cauchy linéaire ? Argumenter, car la réponse dépend des hypothèses. (1,5 point)
3. Résoudre \((E_2)\) sur chacun des deux intervalles précédents, puis montrer que \((E_2)\) possède une unique solution sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
4. Sur la figure, les courbes autres que la parabole semblent arriver verticalement en l’origine. Justifier cette observation par un calcul de limite. (0,5 point)

Exercice 3 – Une solution développable en série entière (4 points)

Cet exercice étudie l’équation différentielle \((F) \quad x\,y^{\prime\prime} + 3y^{\prime} – x\,y = 0\), dont le coefficient dominant s’annule en 0. Ainsi, le théorème de Cauchy linéaire ne s’applique pas sur un intervalle contenant 0.

1. Soit \(\sum a_n x^n\) une série entière de rayon \(R > 0\), de somme \(S\) sur \(\left]-R, R\right[\). Montrer que \(S\) est solution de \((F)\) sur cet intervalle si et seulement si \(a_1 = 0\) et \(n(n+2)\,a_n = a_{n-2}\) pour tout \(n \geq 2\). (1 point)
2. En déduire l’expression de \(a_{2k}\) en fonction de \(a_0\) et de \(k\), ainsi que la nullité des coefficients impairs. Déterminer ensuite le rayon de convergence obtenu. On note \(y_1\) la solution correspondant à \(a_0 = 1\) : que dire de l’ensemble des solutions de \((F)\) développables en série entière ? (1 point)
3. On se place désormais sur \(\left]0, +\infty\right[\). Montrer que le wronskien de deux solutions quelconques de \((F)\) s’écrit \(x \mapsto \frac{K}{x^3}\), avec \(K\) une constante réelle. (0,5 point)
4. Soit \(y_2\) une solution de \((F)\) sur \(\left]0, +\infty\right[\) telle que \((y_1, y_2)\) soit un système fondamental. Vérifier que \(y_1\) ne s’annule pas, puis calculer la dérivée de \(\frac{y_2}{y_1}\). En déduire un équivalent de \(y_2(x)\) quand \(x\) tend vers 0. Conclure enfin : quelles sont les solutions de \((F)\) sur \(\left]0, +\infty\right[\) bornées au voisinage de 0 ? (1,5 point)

Exercice 4 – Un bloc de Jordan déguisé (3,5 points)

On pose \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\) et \(N = A – I_2\). On étudie le système différentiel \(X^{\prime} = AX\), d’inconnue \(X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\). La figure représente plusieurs trajectoires de ce système, la droite \(D\) d’équation \(y = 2x\) et, en violet, la trajectoire issue de \(X_0 = (1, 1)\).

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(A\). Justifier que \(A\) n’est pas diagonalisable et que \(N^2 = 0\). (1 point)
2. Pour tout réel \(t\), établir que \(\exp(tA) = \mathrm{e}^{t}\,(I_2 + tN)\), puis écrire cette matrice. (1 point)
3. Résoudre le système avec la condition \(X(0) = X_0\). Pour une condition initiale \(X(0) = (x_0, y_0)\) hors de \(D\), montrer ensuite que la direction de \(X(t)\) tend vers celle de \(D\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\). (1 point)
4. Déterminer le spectre de \(\exp(A)\) et vérifier que \(\det \exp(tA) = \mathrm{e}^{t \operatorname{tr} A}\). (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : le flot d’une matrice à deux valeurs propres (5 points)

Parmi les matrices réelles de taille 3, on note \(J\) celle dont tous les coefficients valent 1, puis on pose \(M = 2J – I_3\) et \(P = \frac{1}{3}J\). Ainsi :

\[M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.\]

On note \(u = (1, 1, 1)\), \(\Pi\) le plan d’équation \(x + y + z = 0\) et \(v = (1, -1, 0)\). Les vecteurs sont identifiés à des colonnes.

1. Calculer \(J^2\), puis montrer que \(M^2 = 4M + 5I_3\). En déduire que \(M\) est diagonalisable, donner son spectre et ses sous-espaces propres. (1,25 point)
2. Vérifier que \(P^2 = P\) et que \(M = 5P – (I_3 – P)\). Montrer alors que \(M^k = 5^k P + (-1)^k (I_3 – P)\) pour tout entier \(k\), puis que \(\exp(tM) = \mathrm{e}^{5t} P + \mathrm{e}^{-t} (I_3 – P)\). Écrire enfin les coefficients de \(\exp(tM)\). (1,25 point)
3. Résoudre le système \(X^{\prime} = MX\) avec \(X(0) = (a, b, c)\). Pour quelles conditions initiales la solution est-elle bornée sur \(\left[0, +\infty\right[\) ? Quelle est alors sa limite ? (0,75 point)
4. Calculer \(\det \exp(tM)\) de deux façons. Interpréter le résultat en termes de volume. (0,5 point)
5. On ajoute un second membre : \(X^{\prime} = MX + \mathrm{e}^{-t} v\). Par la formule de variation des constantes, déterminer la solution nulle en \(t = 0\), puis vérifier le résultat. (0,75 point)
6. Soit \(X = (x, y, z)\) une solution de \(X^{\prime} = MX\). Montrer que \(X\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) et que \(x^{\prime\prime} – 4x^{\prime} – 5x = 0\). Retrouver ainsi la forme de \(x(t)\) obtenue à la question 3. (0,5 point)

Réviser raccordements, wronskien et exp(tA) avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours théorème de cauchy linéaire et wronskien puis exponentielle de matrice et systèmes x’ = ax ; entraînez-vous sur les exercices théorème de cauchy linéaire et wronskien et exponentielle de matrice et systèmes x’ = ax avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MP PDF à imprimer Voir le livre ›

Télécharger ou imprimer cette fiche «raccordements, wronskien et exp(tA) : contrôle de maths en MP» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 224 438 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.