Séries génératrices et loi faible : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « séries génératrices et loi faible », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cette interrogation d’une heure trente clôt le chapitre sur les variables aléatoires discrètes. D’abord, vous reconnaissez quatre lois à partir de leur série génératrice, en développant chacune en série entière. Ensuite, le deuxième exercice obtient l’espérance et la variance par dérivation au point 1, puis interprète la variable comme une somme de deux variables indépendantes. Le troisième démontre l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et cherche un nombre de lancers suffisant pour une précision imposée. Enfin, le problème suit des clients qui achètent au hasard : la génératrice du nombre d’acheteurs révèle une loi de Poisson, et la loi faible des grands nombres contrôle la moyenne sur plusieurs jours. Les espaces euclidiens restent hors de ce contrôle.
Ce qu’évalue le contrôle : séries génératrices et loi faible
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Loi faible des grands nombres et séries génératrices (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Identifier la loi d’une variable aléatoire à valeurs entières à partir de sa série génératrice
- Calculer une espérance et une variance en dérivant la série génératrice au point 1
- Démontrer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à partir de l’inégalité de Markov
- Déterminer un nombre de répétitions suffisant pour estimer une probabilité avec une précision et un risque donnés
- Appliquer la loi faible des grands nombres à une moyenne de variables indépendantes de même loi
Avant de commencer le devoir
Pour reconnaître une loi, mettez d’abord la génératrice sous une forme connue, puis invoquez l’unicité des coefficients d’une série entière. Avant de dériver en 1, vérifiez ensuite que le rayon dépasse strictement 1, sinon la dérivation demande un autre argument. Pour un nombre de lancers, majorez enfin \(p(1-p)\) par \(\frac{1}{4}\), car \(p\) est inconnu, et arrondissez toujours à l’entier supérieur. Gardez une demi-heure pour le problème.
Le sujet du contrôle : séries génératrices et loi faible
Exercice 1 – Lois cachées derrière quatre génératrices (4 points)
Pour une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on note \(G_X(t) = \mathrm{E}\left(t^X\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X = n)\, t^n\) sa série génératrice. Dans chaque cas, reconnaître la loi de la variable dont on donne la génératrice, en justifiant la réponse.
- \(G_X(t) = \left( \frac{1 + 2t}{3} \right)^5\) pour tout réel \(t\).
- \(G_Y(t) = t\, \mathrm{e}^{3(t – 1)}\) pour tout réel \(t\) ; on exprimera la loi de \(Y – 1\).
- \(G_Z(t) = \frac{2t}{3 – t}\) pour \(|t| < 3\).
- \(G_W(t) = \frac{\left(1 + t + t^2 + t^3\right)^2}{16}\) pour tout réel \(t\). Donner alors \(P(W = 3)\), puis interpréter \(W\) comme une somme de deux variables indépendantes.
Exercice 2 – Moments par dérivation en 1 (5 points)
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont la série génératrice vaut \(G_X(t) = \frac{4}{(3 – t)^2}\) pour \(|t| < 3\).
- Développer \(G_X\) en série entière, puis en déduire \(P(X = n)\) pour tout entier \(n\).
- Justifier que \(X\) admet une espérance et une variance, puis les calculer à l’aide des dérivées de \(G_X\) en 1.
- Soit \(X_1\) et \(X_2\) indépendantes, de génératrice commune \(t \mapsto \frac{2}{3 – t}\). Montrer que \(X_1 + X_2\) a même loi que \(X\). Reconnaître ensuite la loi de \(X_1\) et retrouver ainsi les moments de \(X\).
- Calculer exactement \(P(X \geq 3)\). Comparer enfin cette valeur au majorant fourni par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(P\left(|X – 1| \geq 2\right)\).
Exercice 3 – La punaise de Maëlle (4 points)
Maëlle lance une punaise, qui retombe pointe en l’air avec une probabilité \(p\) inconnue, où \(0 < p < 1\). Les lancers sont indépendants. Après \(n\) lancers, elle note \(F_n\) la fréquence des chutes pointe en l’air. La figure montre une simulation de \(F_n\) jusqu’à \(n = 2000\), réalisée avec \(p = 0{,}6\), ainsi que la bande de largeur \(0{,}05\) de part et d’autre de \(p\).
- Énoncer l’inégalité de Markov et la démontrer. En déduire ensuite l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Montrer que \(p(1 – p) \leq \frac{1}{4}\) pour tout \(p \in \left[ 0, 1 \right]\).
- Calculer \(\mathrm{E}(F_n)\) et \(\mathrm{V}(F_n)\). Prouver alors que \(P\left(|F_n – p| \geq 0{,}05\right) \leq \frac{100}{n}\).
- Combien de lancers suffisent pour que \(F_n\) soit à moins de \(0{,}05\) de \(p\) avec une probabilité d’au moins \(0{,}9\) ?
Exercice 4 – Problème : clients et acheteurs (7 points)
Dans une librairie, le nombre \(N\) de clients d’une journée suit la loi de Poisson \(\mathcal{P}(8)\). Chaque client achète un livre avec la probabilité \(\frac{1}{4}\), indépendamment des autres et de \(N\). On note \(S\) le nombre d’acheteurs de la journée, comme sur le schéma.
- Calculer \(G_N(t)\) pour tout réel \(t\), puis rappeler \(\mathrm{E}(N)\) et \(\mathrm{V}(N)\).
- Justifier que \(P(S = k \mid N = n) = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{n-k}\) pour \(0 \leq k \leq n\). Pour \(t \in \left[ -1, 1 \right]\), démontrer ensuite que \(G_S(t) = G_N\left(\frac{3 + t}{4}\right)\), puis reconnaître la loi de \(S\).
- Retrouver \(\mathrm{E}(S)\) et \(\mathrm{V}(S)\) par dérivation de \(G_S\) en 1.
- On observe \(n\) journées indépendantes, de nombres d’acheteurs \(S_1, \ldots, S_n\), et l’on pose \(M_n = \frac{S_1 + \cdots + S_n}{n}\). Majorer \(P\left(|M_n – 2| \geq 0{,}1\right)\), puis trouver un nombre de journées qui rend cette probabilité inférieure à \(0{,}05\).
- Soit \(Z_n\) le nombre de journées sans aucun acheteur parmi les \(n\). Montrer que, pour tout \(\varepsilon > 0\), \(P\left(\left|\frac{Z_n}{n} – \mathrm{e}^{-2}\right| \geq \varepsilon\right)\) tend vers 0 quand \(n \to +\infty\).
Réviser séries génératrices et loi faible avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours loi faible des grands nombres et séries génératrices ; entraînez-vous sur les exercices loi faible des grands nombres et séries génératrices avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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