Matrices symétriques réelles en maths spé (MP) : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Adjoint pour un produit scalaire à poids

On munit \(\mathbf{R}^2\) du produit scalaire \(\langle x, y \rangle = 2x_1 y_1 + x_2 y_2\). Soit \(u\) l’endomorphisme défini par \(u(x_1, x_2) = (x_2, x_1)\).

1. Déterminer l’expression de \(u^{*}(y_1, y_2)\) pour ce produit scalaire.
2. Écrire les matrices de \(u\) et de \(u^{*}\) dans la base canonique. La seconde est-elle la transposée de la première ?
3. Vérifier que \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0), (0,1)\right)\) est une base orthonormée, puis y écrire les matrices de \(u\) et de \(u^{*}\). Conclure : \(u\) est-il autoadjoint ?

Exercice 2 – Diagonalisation orthogonale en dimension 2

Soit \(S = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(S\).
2. Écrire \(S = P D P^{T}\), avec \(P\) orthogonale à déterminer et \(D\) diagonale.
3. La matrice \(S\) est-elle positive ? Décrire l’allure des courbes d’équation \(7x^2 + 12xy – 2y^2 = c\) pour \(c = 10\) et \(c = -5\).

Exercice 3 – Projecteur orthogonal sur un plan de l’espace

Dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien canonique, on considère \[P = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 8 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{pmatrix}, \qquad n = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}.\]

1. Calculer \(Pn\), ainsi que \(Pw_1\) et \(Pw_2\) où \(w_1 = (2, 1, 0)\) et \(w_2 = (0, 1, 1)\).
2. En déduire que \(P\) est la matrice d’un projecteur dont on précisera le noyau et l’image.
3. Montrer que ce projecteur est orthogonal, et retrouver l’égalité \(P = I_3 – \frac{1}{9} n n^{T}\).

Exercice 4 – Une matrice définie positive par deux méthodes

Soit \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\) et \(q(x, y) = 5x^2 + 4xy + 2y^2\) la forme quadratique associée. La figure montre quelques lignes de niveau de \(q\).

1. Calculer le spectre de \(A\) et conclure que \(A \in \mathcal{S}_2^{++}(\mathbf{R})\).
2. Écrire \(q(x, y)\) comme une somme de deux carrés et retrouver le résultat sans valeur propre.
3. Lorsque \(x^2 + y^2 = 1\), entre quelles bornes optimales \(q(x, y)\) varie-t-il ? Préciser en quels points chaque borne est atteinte.

Exercice 5 – Matrice de Gram d’une famille de colonnes

On considère une matrice réelle \(A\) à \(p\) lignes et \(n\) colonnes, avec \(p, n \geqslant 1\).

1. Justifier que la matrice carrée \(A^{T} A\) est symétrique et positive.
2. Prouver qu’elle est définie positive exactement lorsque le rang de \(A\) vaut \(n\).
3. Application : calculer \(A^{T} A\) pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), puis vérifier le résultat de la question précédente sur ses valeurs propres.

Exercice 6 – Trois contre-exemples à connaître

Chacune des questions suivantes illustre une hypothèse indispensable du cours.

1. Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & -1 \end{pmatrix}\). Calculer \(M^2\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ? Le théorème spectral est-il mis en défaut ?
2. Soit \(B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\). Montrer que \(B\) n’est pas positive, bien que tous ses coefficients le soient.
3. Soit \(C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Montrer que \(X^{T} C X > 0\) pour tout \(X \neq 0\), mais que \(C\) n’est pas diagonalisable. Commenter ce contraste.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Spectre d’une matrice symétrique d’ordre 3

Soit \(S = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que le polynôme caractéristique de \(S\) est \(\chi_S(X) = X(X – 3)(X – 6)\).
2. Pour chaque valeur propre, donner un vecteur propre de norme 1. Construire avec eux une matrice orthogonale \(P\) qui rend \(P^{T} S P\) diagonale.
3. La matrice \(S\) est-elle positive ? définie positive ? Déterminer son noyau.

Exercice 8 – Adjoints sur l’espace des matrices carrées

L’espace des matrices réelles carrées d’ordre \(n\) est muni de \((A, B) \mapsto \mathrm{tr}(A^{T} B)\). Une matrice \(M\) étant fixée, on considère la multiplication à gauche \(\varphi_M : A \mapsto MA\), la multiplication à droite \(\psi_M : A \mapsto AM\) et la transposition \(\tau\).

1. Déterminer l’adjoint de \(\varphi_M\), puis celui de \(\psi_M\).
2. Caractériser les matrices \(M\) pour lesquelles \(\varphi_M\) coïncide avec son adjoint.
3. Établir que \(\tau\) est autoadjoint. Quelle est la nature géométrique de \(\tau\) ? Qu’en tirer pour les matrices symétriques et antisymétriques ?

Exercice 9 – Plans stables par passage à l’adjoint

On travaille dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien canonique. L’endomorphisme \(u\) y est représenté, en base canonique, par \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Pour \(a \neq 0\), on pose \(H = a^{\perp}\). Prouver l’équivalence : \(u(H) \subset H\) lorsque \(a\) est vecteur propre de \(u^{*}\), et seulement dans ce cas.
2. Déterminer les vecteurs propres de \(A^{T}\).
3. En déduire tous les plans stables par \(u\), en donnant une équation de chacun, et vérifier directement leur stabilité.

Exercice 10 – Une matrice de Hilbert décalée

Soit \(n \geqslant 1\) et \(H \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) de coefficients \(h_{ij} = \frac{1}{i + j + 1}\) pour \(1 \leqslant i, j \leqslant n\).

1. Pour \(X = (x_1, \dots, x_n)\), montrer que \(X^{T} H X = \displaystyle\int_0^1 \left( \sum_{i=1}^{n} x_i t^{i} \right)^2 \mathrm{d}t\).
2. Justifier que \(H\) est symétrique définie positive. Quel est le signe de \(\det H\) ?
3. Vérifier ce résultat pour \(n = 2\) en calculant \(\det H\).

Exercice 11 – Encadrer la somme des doubles produits

Sur \(\mathbf{R}^3\), on étudie \(q(x, y, z) = 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx)\).

1. Donner la matrice symétrique \(S\) telle que \(q(X) = X^{T} S X\). Trouver son spectre et ses espaces propres.
2. Quelles sont la plus grande et la plus petite valeur prise par \(q\) quand \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) ? Décrire l’ensemble des points où chacune est obtenue.
3. En déduire que pour tous réels \(x, y, z\) : \(-\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2) \leqslant xy + yz + zx \leqslant x^2 + y^2 + z^2\), et étudier les cas d’égalité.

Exercice 12 – Racine carrée d’une matrice positive

1. Soit \(S \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(R \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbf{R})\) telle que \(R^2 = S\).
2. Cas particulier : \(S = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\). Diagonaliser \(S\) en base orthonormée, puis expliciter la matrice \(R\) construite à la question 1.
3. Trouver deux réels \(a, b\) tels que \(R = aS + bI_2\), et vérifier directement que \(R^2 = S\).

Exercice 13 – Coefficients d’une matrice positive

Soit \(S = (s_{ij}) \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(s_{ii} \geqslant 0\) pour tout \(i\).
2. Soit \(i \neq j\). En étudiant \(t \mapsto (tE_i + E_j)^{T} S (tE_i + E_j)\), montrer que \(s_{ij}^2 \leqslant s_{ii} s_{jj}\).
3. En déduire que si \(s_{ii} = 0\), alors toute la ligne \(i\) de \(S\) est nulle.
4. Montrer sans calcul de valeur propre que \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) n’est pas positive.

Exercice 14 – Norme euclidienne d’une matrice de cisaillement

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\). Sur le dessin, le cercle unité et sa transformée par \(A\) sont superposés.

1. Calculer \(A^{T} A\) et ses valeurs propres. Vérifier que la plus grande vaut \(\varphi^2\).
2. En déduire \(\max_{\|X\| = 1} \|AX\| = \varphi\) et \(\min_{\|X\| = 1} \|AX\| = \frac{1}{\varphi}\).
3. Préciser un vecteur unitaire où le maximum est atteint et interpréter géométriquement la figure.

Exercice 15 – Produit de deux endomorphismes autoadjoints

Soit \(E\) un espace euclidien et \(u, v \in \mathcal{S}(E)\).

1. Montrer que \(u \circ v\) est autoadjoint si et seulement si \(u \circ v = v \circ u\).
2. Montrer que \(u \circ v + v \circ u\) est toujours autoadjoint, et que \(w = u \circ v – v \circ u\) vérifie \(w^{*} = -w\).
3. Déduire de la question précédente que \(\langle w(x), x \rangle = 0\) pour tout \(x \in E\).
4. Donner deux matrices symétriques réelles d’ordre 2 dont le produit n’est pas symétrique.

Exercice 16 – Noyau et image d’un endomorphisme autoadjoint

Soit \(E\) un espace euclidien et \(u \in \mathcal{S}(E)\).

1. Montrer que \(\ker u\) et \(\mathrm{Im}\, u\) sont orthogonaux, puis que \(\mathrm{Im}\, u = (\ker u)^{\perp}\).
2. Montrer que \(\ker(u^2) = \ker u\), en calculant \(\langle u^2(x), x \rangle\).
3. Montrer que le rang de \(u\) est égal au nombre de valeurs propres non nulles, comptées avec multiplicité.
4. Application : avec la matrice \(S\) de l’exercice 7, donner une équation de l’image de \(S\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Projecteurs qui ne font pas grandir la norme

On fixe un projecteur \(p\) d’un espace euclidien \(E\). Établir que les trois énoncés ci-dessous sont équivalents :

1. \(p\) est autoadjoint ;
2. \(\ker p\) et \(\mathrm{Im}\, p\) sont orthogonaux ;
3. pour tout \(x \in E\), \(\|p(x)\| \leqslant \|x\|\).

Pour l’implication de la troisième propriété vers la deuxième, on pourra fixer \(a \in \mathrm{Im}\, p\), \(b \in \ker p\) et étudier \(t \mapsto \|a + tb\|^2\). Donner enfin un projecteur de \(\mathbf{R}^2\) et un vecteur \(x\) tels que \(\|p(x)\| > \|x\|\).

Exercice 18 – Codiagonalisation de deux matrices symétriques

Soit \(S, T \in \mathcal{S}_n(\mathbf{R})\) telles que \(ST = TS\).

1. Prouver que \(T\) laisse invariant tout sous-espace propre de \(S\).
2. En déduire qu’il existe \(P \in \mathcal{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P^{T} S P\) et \(P^{T} T P\) soient toutes deux diagonales.
3. Montrer la réciproque : deux matrices diagonalisables dans une même base commutent.
4. Application : vérifier que \(S = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\) et \(T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) commutent. Exhiber une matrice orthogonale \(P\) qui les rend diagonales toutes les deux.

Exercice 19 – Problème sur l’inégalité de Hadamard

Soit \(n \geqslant 2\) et \(S = (s_{ij}) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbf{R})\), de valeurs propres \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\).

1. Montrer que \(\det S > 0\) et que \(S^{-1} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).
2. Montrer que \(\lambda_{\min} \leqslant s_{ii} \leqslant \lambda_{\max}\) pour tout \(i\). En déduire que \(s_{ii} > 0\).
3. Soit \(\Delta\) la matrice diagonale de coefficients \(1/\sqrt{s_{ii}}\), et \(T = \Delta S \Delta\). Vérifier que \(T\) est encore symétrique définie positive, avec une diagonale formée de 1.
4. Que vaut la trace de \(T\) ? Comparer moyenne arithmétique et moyenne géométrique des valeurs propres de \(T\) pour obtenir \(\det T \leqslant 1\). Conclure : \(\det S \leqslant s_{11} s_{22} \cdots s_{nn}\) (inégalité de Hadamard).
5. Étendre cette majoration aux matrices symétriques positives. Lorsque \(S\) est définie positive, caractériser le cas où la majoration est une égalité.
6. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) de colonnes \(C_1, \dots, C_n\). Montrer que \(|\det A| \leqslant \|C_1\| \, \|C_2\| \cdots \|C_n\|\). Interpréter en termes de volume.
7. Vérifier l’inégalité pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «matrices symétriques réelles en maths spé (MP) : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 432 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.