Séries et sommation des équivalents en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois séries à factorielles

Déterminer la nature des séries de terme général suivant, pour \(n\geqslant 1\).

1. \(a_n=\dfrac{n^3\,7^n}{n!}\).
2. \(b_n=\dbinom{2n}{n}\dfrac{1}{5^n}\).
3. \(c_n=\dfrac{3^n\,n!}{n^n}\).

Exercice 2 – Divergence grossière ou non

Pour chacune des séries suivantes, dire d’abord si elle diverge grossièrement. Déterminer ensuite sa nature.

1. \(\sum_{n\geqslant 1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\).
2. \(\sum_{n\geqslant 1}\left(\cos\frac{1}{n}-1\right)\).
3. \(\sum_{n\geqslant 1}n\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\).
4. \(\sum_{n\geqslant 1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\).

Exercice 3 – Série géométrique de matrices

On considère \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), muni de la norme \(N(M)=\max_{i,j}|m_{i,j}|\).

1. Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. Montrer que la série \(\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{A^n}{3^n}\) est absolument convergente.
3. Calculer sa somme \(S\), puis vérifier que \(S\left(I_2-\frac{1}{3}A\right)=I_2\).

Exercice 4 – Reste de la série des inverses des cubes

On note \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^3}\) pour \(n\geqslant 1\). La figure représente l’aire \(1/k^3\) posée sur l’intervalle \([k-1,k]\), sous la courbe.

1. Montrer que \(\dfrac{1}{2(n+1)^2}\leqslant R_n\leqslant\dfrac{1}{2n^2}\).
2. En déduire un équivalent de \(R_n\).
3. Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel le majorant garantit \(R_n\leqslant 10^{-4}\).

Exercice 5 – Moyennes de Cesàro de suites simples

1. Déterminer la limite de \(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\sin\left(\frac{1}{k}\right)\).
2. Déterminer la limite de \(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\).
3. Déterminer la limite de \(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k^{1/k}\).
4. Montrer, à l’aide de \(a_n=(-1)^n\), que la réciproque du théorème de Cesàro est fausse.

Exercice 6 – Somme des racines carrées des entiers

On pose \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}\) pour \(n\geqslant 1\).

1. Montrer que \(\dfrac{2}{3}n^{3/2}\leqslant S_n\leqslant\dfrac{2}{3}\left((n+1)^{3/2}-1\right)\).
2. En déduire que \(S_n\sim\dfrac{2}{3}n^{3/2}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Somme des logarithmes divisés par k

Soit \(f(t)=\dfrac{\ln t}{t}\) sur \([1,+\infty[\).

1. Étudier les variations de \(f\).
2. Montrer que, pour \(n\geqslant 4\), \(\displaystyle\int_4^{n+1}f(t)\,\mathrm{d}t\leqslant\sum_{k=4}^{n}f(k)\leqslant\int_3^{n}f(t)\,\mathrm{d}t\).
3. En déduire que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}\sim\frac{(\ln n)^2}{2}\).

Exercice 8 – Reste d’une série en cosinus

1. Montrer que la série \(\sum_{k\geqslant 1}\left(1-\cos\frac{1}{k}\right)\) converge.
2. Calculer \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k(k-1)}\), puis en déduire un équivalent de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}\).
3. En déduire un équivalent du reste \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(1-\cos\frac{1}{k}\right)\).
4. Déterminer la nature de la série \(\sum R_n\).

Exercice 9 – Trois termes pour la somme des inverses des racines

On pose \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\) et, pour \(k\geqslant 2\), \(v_k=\frac{1}{\sqrt{k}}-2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\).

1. Montrer que \(v_k=-\dfrac{1}{\sqrt{k}\left(\sqrt{k}+\sqrt{k-1}\right)^2}\), puis que \(v_k\sim-\dfrac{1}{4k^{3/2}}\).
2. Exprimer \(S_n\) à l’aide de \(\sum_{k=2}^{n}v_k\). En déduire l’existence d’une constante \(C\) telle que \(S_n=2\sqrt{n}+C+o(1)\).
3. Montrer que \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^{3/2}}\sim\frac{2}{\sqrt{n}}\).
4. En déduire que \(S_n=2\sqrt{n}+C+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}+o\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\).

Exercice 10 – Itération de l’arctangente

On définit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\arctan(u_n)\). La figure montre l’escalier construit par les premières itérations.

1. Montrer que \((u_n)\) est positive, décroissante, et qu’elle tend vers 0.
2. Montrer que \(\dfrac{1}{\arctan^2 x}-\dfrac{1}{x^2}\) tend vers \(\dfrac{2}{3}\) quand \(x\to 0^+\).
3. En déduire que \(u_n\sim\sqrt{\dfrac{3}{2n}}\).
4. Déterminer la nature des séries \(\sum u_n^2\) et \(\sum u_n^3\).

Exercice 11 – Itération de x multiplié par exponentielle de moins x

On définit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n\,e^{-u_n}\).

1. Montrer que \((u_n)\) est strictement positive, décroissante, et qu’elle tend vers 0.
2. Montrer que \(\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}\) tend vers 1.
3. En déduire un équivalent simple de \(u_n\).
4. Déterminer la nature de \(\sum u_n\) et de \(\sum u_n^2\).

Exercice 12 – Coefficients binomiaux centraux et cas limite

Pour \(x>0\) et \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(u_n=\dbinom{2n}{n}x^n\).

1. À l’aide de la règle de d’Alembert, étudier la nature de \(\sum u_n\) lorsque \(x\neq\frac{1}{4}\).
2. On suppose \(x=\frac{1}{4}\). Calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et montrer que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant\dfrac{n}{n+1}\) pour \(n\geqslant 1\).
3. En déduire que \(u_n\geqslant\dfrac{1}{2n}\) pour \(n\geqslant 1\), puis la nature de \(\sum u_n\).

Exercice 13 – Deux équivalents de signe variable

Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n^{1/3}}\) et \(w_n=\ln\left(1+\dfrac{(-1)^n}{n^{1/3}}\right)\).

1. Justifier que \(w_n\) est bien défini et que \(w_n\sim u_n\).
2. Montrer que \(\sum u_n\) converge.
3. Établir que \(w_n=u_n-\dfrac{1}{2n^{2/3}}+\dfrac{(-1)^n}{3n}+O\left(\dfrac{1}{n^{4/3}}\right)\), puis en déduire la nature de \(\sum w_n\).
4. Quelle hypothèse du théorème de sommation des équivalents fait défaut ici ?

Exercice 14 – Racine n-ième et rapport de termes consécutifs

Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs telle que \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to\ell\), avec \(\ell>0\).

1. En appliquant le théorème de Cesàro à une suite bien choisie, montrer que \(a_n^{1/n}\to\ell\).
2. En déduire la limite de \(\dfrac{(n!)^{1/n}}{n}\).
3. En déduire la limite de \(\dbinom{2n}{n}^{1/n}\).
4. À l’aide de \(a_n=2^{\,n+(-1)^n}\), montrer que la réciproque de la question 1 est fausse.

Exercice 15 – Somme pondérée de logarithmes

On pose \(S_n=\sum_{k=1}^{n}k^2\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\) pour \(n\geqslant 1\).

1. Montrer que \(k^2\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=k-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3k}+O\left(\dfrac{1}{k^2}\right)\).
2. En déduire l’existence d’une constante \(C\) telle que \(S_n=\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{1}{3}\ln n+C+o(1)\).
3. Donner un équivalent simple de \(S_n\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Reste de la série harmonique alternée

On note \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}\) et \(I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{t^n}{1+t}\,\mathrm{d}t\) pour \(n\in\mathbb{N}\).

1. Justifier l’existence de \(R_n\).
2. Montrer que \(R_n=(-1)^{n+1}I_n\). On pourra écrire \(\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}\,\mathrm{d}t\) et sommer jusqu’à un rang \(N\) fini.
3. Intégrer par parties pour établir que \(I_n=\dfrac{1}{2(n+1)}+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\).
4. En déduire un équivalent de \(R_n\), puis la nature de la série \(\sum R_n\).

Exercice 17 – Deux termes pour une suite logistique

On définit \(u_0=\frac{1}{2}\) et \(u_{n+1}=u_n-u_n^2\).

1. Montrer que \(u_n\in\left]0,\frac{1}{2}\right]\) pour tout \(n\), que \((u_n)\) décroît et qu’elle tend vers 0.
2. Montrer que \(\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{1-u_n}\), puis que \(u_n\sim\dfrac{1}{n}\).
3. Établir que \(\dfrac{1}{u_n}=n+2+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{u_k}{1-u_k}\).
4. En déduire que \(\dfrac{1}{u_n}=n+\ln n+o(\ln n)\), puis que \(u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{\ln n}{n^2}+o\left(\dfrac{\ln n}{n^2}\right)\).

Exercice 18 – Problème – Une suite qui croît comme la racine de 2n

On définit \(x_0=1\) et \(x_{n+1}=x_n+\dfrac{1}{x_n}\) pour \(n\in\mathbb{N}\).

1. Montrer que \(x_n\geqslant 1\) pour tout \(n\), que \((x_n)\) est croissante et qu’elle tend vers \(+\infty\).
2. Exprimer \(x_{n+1}^2-x_n^2\) en fonction de \(x_n\). En déduire que \(x_n\sim\sqrt{2n}\).
3. Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{x_k^2}\sim\frac{1}{2}\ln n\).
4. En déduire que \(x_n^2=2n+\frac{1}{2}\ln n+o(\ln n)\), puis que \(x_n=\sqrt{2n}+\dfrac{\ln n}{4\sqrt{2n}}+o\left(\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}\right)\).
5. Déterminer la nature des séries \(\sum\frac{1}{x_n}\) et \(\sum\frac{1}{x_n^3}\).
6. Donner un équivalent de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{x_k}\) par sommation des équivalents, puis retrouver ce résultat directement à partir de la relation de récurrence.

Pour aller plus loin

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