QCM : Espérance, variance et covariance en maths spé (MP)

Réponse C.

On écrit \(X=\sum_{n\ge1}\mathbf{1}_{X\ge n}\), puisque exactement \(X\) indicatrices valent \(1\). En prenant l’espérance de cette somme positive, on obtient la formule. Ainsi, la somme commencée à \(n=0\) ajoute le terme \(P(X\ge0)=1\) et donne \(E(X)+1\). De même, la version avec \(P(X>n)\) décale d’un cran dans l’autre sens. Le facteur \(n\) confond avec la définition de l’espérance.

Réponse B.

On retranche l’espérance pour centrer, puis on divise par l’écart type pour réduire. Dans ce cas, la variable obtenue a une espérance nulle et une variance \(\frac{4}{4}=1\). La division par \(4\) utilise la variance au lieu de l’écart type, ce qui donne une variance \(\frac14\). La forme \(\frac{X}{2}-5\) n’est pas centrée : son espérance vaut \(\frac52-5\), non nulle.

Réponse B.

La croissance de l’espérance pour les variables positives donne \(E(|X|)\le E(Y)<+\infty\). Par conséquent, \(X\) est d’espérance finie, et l’inégalité \(|E(X)|\le E(|X|)\) conclut. Le signe de \(X\) n’intervient pas, car on domine sa valeur absolue. L’indépendance ne joue aucun rôle ici : elle sert seulement pour l’espérance d’un produit.

Réponse A.

L’espérance est la somme des \(\frac{c}{n^2}\), série de Riemann convergente. En revanche, \(E(X^2)\) est la somme des \(\frac{c}{n}\), qui diverge : il n’y a donc pas de variance. Une variance sans espérance finie est impossible, car l’existence d’un moment d’ordre \(2\) entraîne celle de l’espérance. Le piège « pas d’espérance finie » se trompe d’exposant dans la série de Riemann.

Réponse D.

Pour la loi géométrique, la variance vaut \(\frac{1-p}{p^2}\). Ici, on trouve \(\frac{3/4}{1/16}=12\). La réponse \(3\) divise par \(p\) au lieu de \(p^2\). La réponse \(4\) est l’espérance \(\frac1p\), confondue avec la variance. Enfin, \(16\) oublie le facteur \(1-p\) du numérateur.

Réponse C.

Pour une loi de Poisson, l’espérance et la variance valent toutes deux \(\lambda\). La formule de König-Huygens donne alors \(E(X^2)=V(X)+E(X)^2=3+9=12\). On peut aussi passer par \(E(X(X-1))=\lambda^2\). La réponse \(9\) prend \(E(X)^2\) pour \(E(X^2)\). Quant à \(3\), c’est la variance seule.

Réponse D.

Par indépendance, la covariance est nulle, donc \(V(X-2Y)=V(X)+(-2)^2V(Y)=1+16=17\). Le coefficient passe au carré, ce qui rend aussi le signe moins sans effet. La réponse \(9\) multiplie \(V(Y)\) par \(2\) au lieu de \(4\). De même, \(5\) oublie le coefficient. Enfin, \(-15\) soustrait les variances, alors qu’une variance n’est jamais négative.

Réponse D.

La formule des queues s’écrit aussi \(E(X)=\sum_{n\ge0}P(X>n)\). Or \(\frac{2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}\), donc la somme télescope et vaut \(2\). La réponse \(1\) démarre la somme à \(n=1\) et perd le terme \(P(X>0)=1\). La réponse \(+\infty\) croit à tort que la série diverge, alors que ses termes sont en \(\frac{2}{n^2}\).

Réponse A.

On calcule \(\sum_{k\ge0}\frac{1}{k+1}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\ge0}\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}\). La dernière somme vaut \(e^{\lambda}-1\), car il manque le terme d’indice \(0\). Le piège \(\frac{1}{\lambda+1}\) remplace \(X\) par son espérance, ce qui est faux pour une fonction non affine. De son côté, \(\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\) oublie de sommer.

Réponse A.

L’inégalité donne \(|E(XY)|\le\sqrt{E(X^2)E(Y^2)}=\sqrt{36}=6\). De plus, cette borne est atteinte pour \(Y=\frac32X\), cas d’égalité. La valeur \(\frac{13}{2}\) vient de la majoration \(XY\le\frac{X^2+Y^2}{2}\), exacte mais moins fine. Quant à \(36\), elle oublie la racine carrée.

Réponse C.

On a \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(X^3)-E(X)E(X^2)\), et les deux termes sont nuls par symétrie. Cependant, \(P(X=0,Y=1)=0\) alors que \(P(X=0)P(Y=1)=\frac13\cdot\frac23\), donc les variables sont dépendantes. Une covariance nulle ne prouve jamais l’indépendance : c’est le piège principal. La valeur \(\frac23\) est en fait \(E(Y)\), pas la covariance.

Réponse B.

La variance d’une somme vaut la somme des variances plus deux fois la somme des covariances sur les paires. Ici, on trouve \(3\cdot\frac14+2\cdot3\cdot\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac34-\frac12=\frac14\). Le piège \(\frac34\) traite les variables comme indépendantes. Le piège \(\frac12\) compte chaque paire une seule fois. Enfin, \(\frac54\) ajoute les covariances au lieu de tenir compte de leur signe.