Quiz moments des variables discrètes en MP

Quiz moments des variables discrètes en maths spé (MP)

Dix calculs rapides pour vérifier que tu manies sans hésiter espérance, variance, covariance et moments des lois géométrique et de Poisson.

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express travaille les calculs de moments qu'on attend sans réfléchir en probabilités discrètes : espérance et variance des lois géométrique et de Poisson, moment d'ordre deux déduit de la variance, effet d'une transformation affine, centrage et réduction. Il fait aussi appel à la formule des queues, à la formule de transfert, à l'inégalité de Cauchy-Schwarz et à la variance d'une somme de variables non indépendantes, avec la covariance au bon endroit.

Utilise-le avant une colle de probabilités ou au début d'un TD : réponds de tête, puis vérifie chaque résultat en réécrivant la formule complète. Une erreur sur un carré ou un signe de covariance est le signe qu'il faut refaire deux exercices de calcul. Repasse-le quelques jours avant un partiel ou un écrit : ces petits calculs reviennent dans presque tous les problèmes et doivent devenir automatiques.

Aller plus loin sur moments des variables discrètes

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Questions fréquentes : moments des variables discrètes en MP

Une covariance nulle prouve-t-elle l'indépendance ?

Non. L'indépendance entraîne une covariance nulle, mais la réciproque est fausse : avec X uniforme sur {-1, 0, 1} et Y = X², la covariance est nulle et pourtant Y dépend de X.

Quand utiliser la formule des queues ?

Pour une variable à valeurs entières naturelles dont on connaît plus facilement P(X ≥ n) que P(X = n), par exemple un maximum ou un premier temps d'attente.

Comment justifier qu'une espérance existe ?

On montre que la série des x P(X = x) converge absolument, souvent par comparaison, ou que X admet un moment d'ordre deux, ce qui suffit.

Quiz moments des variables discrètes en maths spé (MP)

\(X\) suit la loi géométrique de paramètre \(\frac{1}{4}\). Que vaut \(E(X)\) ?

Même loi géométrique de paramètre \(\frac{1}{4}\). Que vaut \(V(X)\) ?

\(X\) suit la loi de Poisson de paramètre 5. Que vaut \(E(X^2)\) ?

\(V(X) = 4\). Que vaut \(V(2X - 3)\) ?

\(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) avec \(P(X \geq n) = 2^{-n}\) pour tout \(n \geq 1\). Que vaut \(E(X)\) ?

\(V(X) = 3\), \(V(Y) = 5\), \(\mathrm{Cov}(X, Y) = -1\). Que vaut \(V(X + Y)\) ?

\(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\). Les variables sont-elles indépendantes ?

\(E(X^2) = 4\) et \(E(Y^2) = 9\). Plus grande valeur possible de \(|E(XY)|\) ?

Pour calculer \(E(X^3)\), a-t-on besoin de la loi de \(X^3\) ?

\(E(X) = 10\) et \(\sigma(X) = 2\). Variable centrée réduite associée ?

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Questions fréquentes : moments des variables discrètes en MP