QCM : Compacts et applications continues en maths spé (MP)

Réponse C.

La compacité demande une valeur d’adhérence dans \(K\) pour toute suite de \(K\), et non la convergence de la suite entière. Le piège sur les limites décrit seulement une partie fermée, comme \(\mathbb{R}\) lui-même. Ensuite, des suites bornées caractérisent une partie bornée. Enfin, exiger que toute suite converge est bien trop fort : dans \([0,1]\), la suite \((-1)^n/2+1/2\) ne converge pas.

Réponse B.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass s’étend à toute dimension finie, donc fermé borné y équivaut à compact. En revanche, la boule unité fermée de \(\ell^{\infty}\) n’est pas compacte : la suite des vecteurs de base canonique reste à distance \(1\) les uns des autres. Par conséquent, la complétude ne suffit pas, puisque cet espace est complet. Enfin, se limiter à \(\mathbb{R}\) est trop restrictif.

Réponse D.

En dimension finie, il suffit de vérifier fermé et borné. L’ellipse pleine est fermée, image réciproque de \(]-\infty,9]\) par une fonction continue, et bornée, car \(|x|\leq 3\) et \(|y|\leq\frac{3}{2}\). En revanche, le disque ouvert n’est pas fermé. Ensuite, la partie \(|xy|\leq 1\) contient tout l’axe des abscisses, donc elle n’est pas bornée. De même, la branche d’hyperbole est fermée mais non bornée.

Réponse A.

La partie \(K\cap F\) est fermée dans le compact \(K\). Or un fermé contenu dans un compact est compact : une suite de \(K\cap F\) a une extraite qui converge dans \(K\), et sa limite reste dans \(F\), qui est fermé. Ainsi aucune hypothèse supplémentaire n’est utile. Le piège « pas forcément bornée » oublie que \(K\cap F\) est inclus dans \(K\), lui-même borné.

Réponse A.

Le théorème de Heine affirme qu’une fonction continue sur un compact y est uniformément continue. Or \([0,5]\) est compact, donc la racine carrée convient, malgré sa tangente verticale en \(0\). En revanche, \(x^2\) varie de plus en plus vite à l’infini. De plus, \(1/x\) et \(\sin(1/x)\) oscillent ou explosent près de \(0\), et \(]0,1]\) n’est pas fermé. Le piège est de croire qu’une dérivée infinie empêche l’uniforme continuité.

Réponse C.

L’application \(k\mapsto\|a-k\|\) est continue, et même lipschitzienne, sur le compact non vide \(K\). Elle atteint donc sa borne inférieure en un point \(k_0\). Comme \(a\notin K\), on a \(a\neq k_0\), donc la distance est strictement positive. Le piège « peut être nulle » oublie que l’infimum est un minimum. Par ailleurs, la distance à un fermé est nulle seulement pour un point de ce fermé.

Réponse B.

La partie \(x\neq y\) est la réunion de deux demi-plans ouverts. Un chemin continu \(\gamma\) reliant \((1,0)\) à \((0,1)\) donnerait une fonction continue \(t\mapsto x(t)-y(t)\) passant de \(1\) à \(-1\) sans s’annuler, ce qui contredit les valeurs intermédiaires. En revanche, le plan privé d’un point reste connexe par arcs, car on contourne l’origine. Enfin, convexe implique étoilé, qui implique connexe par arcs.

Réponse C.

L’image continue d’une partie connexe par arcs est un intervalle de \(\mathbb{R}\). Or le plan privé de l’origine est connexe par arcs, donc \(f\) prend toutes les valeurs entre \(-1\) et \(2\), en particulier \(0\). Le piège de la convexité confond une condition suffisante avec une condition nécessaire. Par ailleurs, le domaine n’est pas compact, donc rien n’oblige \(f\) à être bornée ni à atteindre \(3\).

Réponse B.

Une application linéaire est continue si et seulement s’il existe \(C\) tel que \(\|D(P)\|\leq C\|P\|\) pour tout \(P\). Or \(D(X^n)=nX^{n-1}\), de norme \(n\), tandis que \(\|X^n\|=1\). Aucune constante ne convient, donc \(D\) n’est pas continue. Le piège consiste à appliquer les résultats de dimension finie à \(\mathbb{R}[X]\), qui est de dimension infinie. Quant à la complétude, elle ne joue aucun rôle ici.

Réponse D.

Pour tout vecteur \(x\), on a \(\|ABx\|_{\infty}\leq 2\|Bx\|_{\infty}\leq 6\|x\|_{\infty}\). Donc \(N(AB)\leq 6\) : c’est la sous-multiplicativité. Cependant, il n’y a pas égalité en général. Par exemple, \(A=\operatorname{diag}(2,0)\) et \(B=\operatorname{diag}(0,3)\) vérifient les hypothèses, alors que \(AB=0\). Le piège consiste à transformer l’inégalité en égalité. Quant à \(5\), il additionne les normes au lieu de les multiplier.

Réponse D.

Pour la norme infinie, la norme subordonnée est le maximum des sommes des modules sur chaque ligne. On obtient ainsi \(1+2=3\) et \(3+4=7\), donc \(7\). Elle est atteinte en \(x=(1,1)\), dont l’image \((-1,7)\) a pour norme \(7\). Le piège \(6\) somme les colonnes, ce qui correspond à la norme \(\|\cdot\|_1\). Ensuite, \(10\) additionne tous les coefficients, et \(4\) prend le plus grand d’entre eux.

Réponse A.

Le déterminant est une fonction polynomiale des coefficients, donc continue en dimension finie. Ainsi l’image réciproque de l’ouvert \(\mathbb{R}^*\) est ouverte. Le piège de l’image directe se trompe de sens : une application continue ne transporte pas les ouverts. Par ailleurs, \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est pas convexe, car le segment de \(I_n\) à \(-I_n\) passe par \(0\). Enfin, il n’est pas borné, donc pas compact.