Développer en série entière : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « développer en série entière », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cette interrogation d’une heure trente porte sur les fonctions développables en série entière, au programme du premier semestre de MP. Elle se place juste après le chapitre, une fois le rayon de convergence bien maîtrisé. Vous développerez d’abord trois fonctions par opérations sur les développements usuels, puis vous appliquerez la méthode de l’équation différentielle à une fonction construite avec Arcsin. Ensuite, un exercice montre qu’une fonction de classe C infini peut ne pas être développable. Enfin, le problème relie une série génératrice au dénombrement de permutations. Dans tout le contrôle, chaque rayon de convergence doit être justifié.
Ce qu’évalue le contrôle : développer en série entière
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Fonctions développables en série entière (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Développer une fraction rationnelle, un produit de fonctions hyperboliques et circulaires ou un logarithme par opérations sur les développements usuels
- Obtenir le développement d’une fonction liée à Arcsin grâce à une équation différentielle linéaire et au théorème de Cauchy
- Justifier chaque rayon de convergence par un argument explicite, et non par simple lecture
- Construire une fonction de classe C infini dont la série de Taylor en 0 ne la représente sur aucun voisinage
- Exploiter une série génératrice exponentielle pour dénombrer des permutations
Avant de commencer le devoir
Commencez par l’exercice 1, car il rapporte vite des points si les développements usuels sont sus sans hésiter. Pour la méthode de l’équation différentielle, rédigez en deux temps : d’abord la recherche des coefficients, puis la preuve que la somme obtenue coïncide avec la fonction, grâce au théorème de Cauchy linéaire. Dans le problème, vérifiez aussi la relation de récurrence sur les petites valeurs avant de l’utiliser. Enfin, gardez dix minutes pour relire les intervalles de validité.
Le sujet du contrôle : développer en série entière
Exercice 1 – Trois développements par opérations (4 points)
Pour chacune des fonctions suivantes, donner le développement en série entière au voisinage de 0, préciser le rayon de convergence avec une justification, puis indiquer un intervalle sur lequel l’égalité est valable.
- \(g(x) = \dfrac{7}{(1 + 3x)(2 – x)}\), après décomposition en éléments simples.
- \(h(x) = \operatorname{sh}(x) \sin(x)\). On pourra d’abord exprimer \(h(x)\) comme la partie imaginaire de \(\operatorname{ch}\big((1 + i)x\big)\) pour \(x\) réel.
- \(k(x) = \ln(1 – x + x^2)\), en remarquant que \((1 + x)(1 – x + x^2) = 1 + x^3\).
Exercice 2 – Arcsinus divisé par une racine (5 points)
On définit sur \(]-1, 1[\) la fonction \(f\) par \(f(x) = \dfrac{\operatorname{Arcsin}(x)}{\sqrt{1 – x^2}}\). La figure donne son allure, ainsi que le point d’abscisse \(\frac{1}{2}\) de sa courbe.
- Justifier que \(f\) est impaire et de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-1, 1[\), puis montrer qu’elle vérifie l’équation \((E)\) : \((1 – x^2)\,y^{\prime} – x\,y = 1\).
- Soit \(\sum a_n x^n\) une série entière de rayon \(R > 0\), dont la somme \(S\) vérifie \((E)\) sur \(]-R, R[\) et s’annule en 0. Établir une relation de récurrence entre \(a_{n+1}\) et \(a_{n-1}\), puis en déduire que \(a_{2p} = 0\) et \(a_{2p+1} = \dfrac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!}\) pour tout entier \(p\).
- Réciproquement, déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{p \geq 0} \dfrac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} x^{2p+1}\).
- Démontrer que la somme de cette série est égale à \(f\) sur \(]-1, 1[\).
- En évaluant en \(x = \frac{1}{2}\), calculer \(\sum_{p = 0}^{+\infty} \dfrac{(p!)^2}{(2p+1)!}\).
Exercice 3 – Régularité ne veut pas dire développable (4 points)
On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x) = \mathrm{e}^{-1/x}\) si \(x > 0\) et \(\varphi(x) = 0\) si \(x \leq 0\). Elle est représentée ci-dessous, avec en pointillés la somme de sa série de Taylor en 0.
- Établir, en raisonnant sur \(n \in \mathbb{N}\), l’existence d’un polynôme \(P_n\) vérifiant \(\varphi^{(n)}(x) = P_n\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{-1/x}\) sur \(]0, +\infty[\).
- Prouver ensuite la régularité \(\mathcal{C}^\infty\) de \(\varphi\) sur toute la droite réelle, ainsi que la nullité de chaque dérivée \(\varphi^{(n)}(0)\).
- Conclure alors que \(\varphi\) n’admet aucun développement en série entière autour de l’origine.
- La fonction \(u : x \mapsto \frac{1}{1 + x^2}\) est, elle aussi, de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). Donner son développement en série entière en 0 et son rayon. Ensuite, expliquer le comportement des sommes partielles \(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n x^{2n}\) visible sur la figure lorsque \(\lvert x \rvert > 1\).
Exercice 4 – Problème : les permutations de cube égal à l’identité (7 points)
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on note \(u_n\) le nombre de permutations \(\sigma\) de \([\![1, n]\!]\) telles que \(\sigma^3 = \mathrm{id}\), et l’on pose \(u_0 = 1\). La figure représente, par exemple, la permutation \(\sigma = (1\;4\;6)(2\;7\;5)\) de \([\![1, 7]\!]\), qui fixe 3.
- Expliquer pourquoi une permutation vérifie \(\sigma^3 = \mathrm{id}\) si et seulement si tous ses cycles sont de longueur 1 ou 3. Calculer alors \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
- En distinguant selon que \(n + 1\) est fixe ou non, démontrer que \(u_{n+1} = u_n + n(n-1)\,u_{n-2}\) pour tout \(n \geq 2\).
- Justifier que \(u_n \leq n!\), puis que le rayon \(R\) de la série entière \(\sum_{n \geq 0} \dfrac{u_n}{n!} x^n\) vérifie \(R \geq 1\). On note \(U\) sa somme sur \(]-1, 1[\).
- Montrer que \(U^{\prime}(x) = (1 + x^2)\,U(x)\) pour tout \(x \in \,]-1, 1[\).
- Résoudre cette équation et en déduire une expression simple de \(U(x)\).
- Par un produit de Cauchy, établir enfin que \(u_n = \sum_{k=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \dfrac{n!}{3^k\, k!\, (n – 3k)!}\). Vérifier cette formule pour \(n = 6\) en calculant \(u_6\).
Réviser développer en série entière avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours fonctions développables en série entière ; entraînez-vous sur les exercices fonctions développables en série entière avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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