QCM : Matrices orthogonales et rotations en maths spé (MP)

Réponse A.

En base orthonormée, \(\langle a,v\rangle\) est la somme des produits des coordonnées. Il suffit donc de lire les coefficients de \(\varphi\). L’unicité de ce vecteur est le théorème de représentation des formes linéaires. Le piège \((2,1,3)\) perd le signe du coefficient de \(y\). Quant aux inverses des coefficients, ils confondent produit scalaire et division terme à terme.

Réponse D.

L’homothétie \(x\mapsto2x\) conserve l’orthogonalité, cependant elle double les normes : ce n’est donc pas une isométrie. En revanche, conserver la norme équivaut à conserver le produit scalaire, grâce aux identités de polarisation. De même, l’image d’une base orthonormée reste orthonormée exactement pour une isométrie. Enfin, la matrice en base orthonormée vérifie alors \(M^{T}M=I_n\).

Réponse D.

Chaque colonne a pour norme \(\frac13\sqrt{9}=1\), et les produits scalaires deux à deux sont nuls : \(M\) est donc orthogonale. Le déterminant de la matrice entière vaut \(-27\), puis on divise par \(3^3=27\). Ainsi \(\det M=-1\), et \(M\) n’est pas dans \(SO_3(\mathbb{R})\). Le piège \(-27\) oublie que le facteur \(\frac13\) sort au cube.

Réponse A.

La matrice est orthogonale de déterminant \(-1\) : il s’agit donc d’une réflexion, pas d’une rotation. Son axe est le noyau de \(M-I_2\), donné par \(-2x+4y=0\), soit la droite dirigée par \((2,1)\). Le vecteur \((1,-2)\) est au contraire envoyé sur son opposé : c’est la normale à l’axe. Enfin, l’image de \((1,2)\) vaut \(\left(\frac{11}{5},-\frac25\right)\), donc ce vecteur n’est pas fixe.

Réponse C.

Avec la normale \(n=(1,1,0)\), la réflexion s’écrit \(x\mapsto x-2\frac{\langle n,x\rangle}{\|n\|^2}n\), donc sa matrice vaut \(I_3-nn^{T}\) car \(\|n\|^2=2\). La matrice avec des \(-2\) oublie de diviser par \(\|n\|^2\). Celle avec des \(+1\) est la réflexion par rapport au plan \(x=y\). Enfin, la matrice terminée par \(-1\) est un retournement autour d’une droite.

Réponse A.

Les valeurs propres complexes d’une isométrie sont de module \(1\). Les valeurs réelles donnent des blocs \(\pm1\), tandis que chaque paire \(e^{\pm i\theta}\) donne un bloc de rotation plane. Par conséquent, une isométrie n’est pas toujours diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) : une rotation plane d’angle \(\frac{\pi}{2}\) en est un contre-exemple. Les blocs de réflexions planes se diagonaliseraient en \(1\) et \(-1\).

Réponse B.

Une rotation plane d’angle \(\theta\) suivie d’une rotation d’angle \(\varphi\) donne la rotation d’angle \(\theta+\varphi\) : le groupe \(SO_2(\mathbb{R})\) est donc commutatif. En revanche, deux quarts de tour de l’espace autour de deux axes orthogonaux ne commutent pas. De même, deux réflexions planes composées dans les deux ordres donnent des rotations d’angles opposés. Par ailleurs, conjuguer une rotation par une réflexion change son angle en l’opposé.

Réponse D.

Le déterminant vaut \((-1)\times(-1)=1\), donc la composée est une rotation et non une réflexion. Elle fixe chaque vecteur de la droite \(P_1\cap P_2\), qui est donc son axe. Dans le plan orthogonal à cet axe, on retrouve deux réflexions planes, dont la composée tourne d’un angle double. L’angle simple est le piège classique. Enfin, aucun axe ne peut être orthogonal à deux plans distincts.

Réponse B.

On écrit \(\det(A-I_n)=\det(A)\det(I_n-A^{T})=\det(I_n-A)\). Or, \(n\) étant impair, \(\det(I_n-A)=-\det(A-I_n)\). Ce déterminant est donc nul, et \(1\) est valeur propre. Ainsi, en dimension \(3\), toute rotation possède un axe fixe. Le piège \(-1\) vaut pour une matrice de déterminant \(-1\). Une rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\) autour d’un axe n’est, quant à elle, ni symétrique ni diagonalisable.

Réponse B.

Une matrice orthogonale et symétrique vérifie \(M^2=I_3\), donc ses valeurs propres valent \(\pm1\). Le déterminant \(-1\) impose un nombre impair de \(-1\), et la trace \(1\) donne exactement le spectre \(1,1,-1\). C’est donc une réflexion. Le retournement a pour spectre \(1,-1,-1\), donc un déterminant égal à \(1\). De son côté, \(x\mapsto-x\) a pour trace \(-3\).

Réponse C.

Le système \(Rx=x\) donne \(-y=x\), \(-z=y\) et \(x=z\) : l’axe est donc dirigé par \((1,-1,1)\). Ensuite, la trace vaut \(1+2\cos\theta=0\), d’où \(\cos\theta=-\frac12\). Le piège \(\frac{\pi}{2}\) oublie le terme \(1\) de la trace. Quant à \(\frac{\pi}{3}\), il se trompe de signe sur le cosinus. Enfin, l’axe \((1,1,1)\) est celui d’une permutation circulaire sans signes moins.

Réponse C.

Le signe de \(\sin\theta\) est celui de \(\det(w,x,Rx)\), pour \(x\) hors de l’axe. Ici, le déterminant des colonnes \((1,-1,1)\), \((1,0,0)\) et \((0,0,1)\) vaut \(1\), qui est positif. Ainsi \(\theta=\frac{2\pi}{3}\). Le piège \(-\frac{2\pi}{3}\) inverse l’orientation ou l’ordre des vecteurs dans le déterminant. Les angles en \(\frac{\pi}{3}\) reprennent l’erreur de signe sur le cosinus.