Fonction définie par une intégrale : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « fonction définie par une intégrale », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce problème de quatre heures conclut le premier semestre de MP. Il suit une seule fonction \(F\), définie par une intégrale à paramètre, du début à la fin. Vous justifierez d’abord son existence, puis vous calculerez deux valeurs exactes par changement de variable. Ensuite, une relation fonctionnelle très simple livre un développement en série alternée. La troisième partie établit la régularité de \(F\) par domination, et la quatrième donne ses équivalents en \(0\) et en \(+\infty\). Enfin, la dérivation terme à terme d’une série de fonctions fait apparaître la constante de Catalan, que vous encadrerez sans calculatrice. Comme dans un écrit de concours, chaque partie de ce contrôle réutilise les résultats des précédentes.
Ce qu’évalue le contrôle : fonction définie par une intégrale
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée4 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Convergence des suites et séries de fonctions et Intégrabilité sur un intervalle quelconque et Convergence dominée et intégrales à paramètre (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Justifier l’existence d’une intégrale à paramètre et la calculer par changement de variable pour deux valeurs
- Établir une relation fonctionnelle et en déduire un développement en série alternée
- Prouver la classe C¹ d’une intégrale à paramètre par domination locale
- Obtenir des équivalents aux bornes grâce à la monotonie et à la relation fonctionnelle
- Dériver une série de fonctions terme à terme pour exprimer et encadrer la constante de Catalan
Avant de commencer le devoir
Traitez les parties dans l’ordre, car chacune s’appuie sur les précédentes ; si une question vous résiste, admettez son résultat et continuez. Pour chaque théorème d’échange, écrivez toutes les hypothèses et donnez la fonction dominante explicitement. Ensuite, dans la deuxième partie, la relation fonctionnelle remplace avantageusement un calcul de série sous l’intégrale. Enfin, pour les équivalents, combinez la monotonie de \(F\) avec cette relation.
Le sujet du contrôle : fonction définie par une intégrale
Dans tout le problème, on pose, pour \(x \in \mathbb{R}\) et \(t \in \left[0\,;+\infty\right[\) :
\[f(x, t) = \frac{\mathrm{e}^{-xt}}{1 + \mathrm{e}^{-2t}} \quad \text{et} \quad F(x) = \int_0^{+\infty} f(x, t)\,\mathrm{d}t \text{ lorsque cette intégrale converge.}\]
Exercice 1 – Existence et deux valeurs exactes (3 points)
La figure montre l’allure de \(t \mapsto f(x, t)\) pour trois valeurs du paramètre. Toutes les courbes partent du point \(\left(0\,;\frac{1}{2}\right)\).
- Montrer que \(t \mapsto f(x, t)\) est intégrable sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) si et seulement si \(x > 0\). Ainsi, \(F\) est définie sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).
- À l’aide du changement de variable \(u = \mathrm{e}^{-t}\), justifié avec soin, calculer \(F(1)\).
- Calculer de même \(F(2)\).
Exercice 2 – Relation fonctionnelle et série alternée (4 points)
Cette partie exprime \(F\) comme somme d’une série numérique, sans intégrer terme à terme.
- Montrer que, pour tout \(x > 0\), on a \(F(x) + F(x + 2) = \frac{1}{x}\).
- Établir par récurrence que, pour tout \(x > 0\) et tout \(N \in \mathbb{N}\) :
\[F(x) = \sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^k}{x + 2k} + (-1)^{N+1} F(x + 2N + 2).\] - Vérifier que \(0 \leq F(y) \leq \frac{1}{y}\) pour tout \(y > 0\). En déduire alors que \(F(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{x + 2k}\) pour tout \(x > 0\).
- On a aussi \(f(x, t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \mathrm{e}^{-(x + 2k)t}\) pour \(t > 0\). Expliquer pourquoi le théorème d’intégration terme à terme ne permet pas d’obtenir directement le résultat précédent.
Exercice 3 – Régularité et limite à l’infini (4 points)
- Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) et que \(F^{\prime}(x) = -\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{t\,\mathrm{e}^{-xt}}{1 + \mathrm{e}^{-2t}}\,\mathrm{d}t\). On travaillera sur \(\left[a\,;+\infty\right[\) avec \(a > 0\).
- En déduire le sens de variation de \(F\).
- Pour \(N \in \mathbb{N}\) et \(x > 0\), on note \(R_N(x) = \displaystyle\sum_{k=N+1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{x + 2k}\). Montrer que la série de fonctions de l’exercice 2 converge uniformément sur \(\left]0\,;+\infty\right[\). Retrouver ensuite la limite de \(F\) en \(+\infty\) par le théorème de la double limite.
Exercice 4 – Comportement aux deux bornes (4 points)
La figure donne la courbe de \(F\) ainsi que celles de \(x \mapsto \frac{1}{x}\) et \(x \mapsto \frac{1}{2x}\).
- À l’aide de la relation fonctionnelle et de la continuité de \(F\) en \(2\), montrer que \(F(x) = \frac{1}{x} – \frac{\ln 2}{2} + o(1)\) quand \(x \to 0^+\). Donner alors un équivalent de \(F\) en \(0^+\).
- Pour \(x > 2\), établir l’encadrement \(\frac{1}{2x} \leq F(x) \leq \frac{1}{2(x – 2)}\), puis en déduire un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
- Justifier que la courbe de \(F\) reste sous celle de \(x \mapsto \frac{1}{x}\), et préciser la limite de l’écart vertical entre ces deux courbes en \(0^+\).
Exercice 5 – Problème : la constante de Catalan (5 points)
On pose \(G = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k + 1)^2}\), appelée constante de Catalan.
- Montrer que la série \(\displaystyle\sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k}{x + 2k}\) peut être dérivée terme à terme sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), puis écrire \(F^{\prime}(x)\) comme somme d’une série.
- Comparer avec l’exercice 3 pour obtenir \(G = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{t}{\mathrm{e}^{t} + \mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm{d}t\).
- Par le changement de variable \(u = \mathrm{e}^{-t}\), prouver que \(G = -\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln u}{1 + u^2}\,\mathrm{d}u\).
- Démontrer l’encadrement \(\frac{10016}{11025} \leq G \leq \frac{209}{225}\), sans calculatrice.
Réviser fonction définie par une intégrale avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours convergence des suites et séries de fonctions puis intégrabilité sur un intervalle quelconque puis convergence dominée et intégrales à paramètre ; entraînez-vous sur les exercices convergence des suites et séries de fonctions et intégrabilité sur un intervalle quelconque et convergence dominée et intégrales à paramètre avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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